立体几何垂直证明题常见模型及方法分解

证明空间线面垂直需注意以下几点：

①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。

③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。

垂直转化：线线垂直 线面垂直 面面垂直；

                      基础篇

类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）

（1）共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以下几种模型）

等腰（等边）三角形中的中线      

菱形（正方形）的对角线互相垂直    勾股定理中的三角形

  1:1:2 的直角梯形中利用相似或全等证明直角。

例：在正方体中，O为底面ABCD的中心，E为,求证： 

（2）异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图）

例1  在正四面体ABCD中，求证

变式1 如图，在四棱锥中，底面是矩形，已知．

证明：；

变式2  如图，在边长为的正方形中，点是的中点，点是的中点，将△AED,△DCF分别沿折起，使两点重合于.

求证:；

变式3如图，在三棱锥中，⊿是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º证明：AB⊥PC

类型二：线面垂直证明 

方法利用线面垂直的判断定理 

例2：在正方体中，O为底面ABCD的中心，E为,求证： 

变式1：在正方体中，,求证： 

变式2：如图：直三棱柱ABC－A1B1C1中，  AC=BC=AA1=2，∠ACB=90.E为BB1的中点，D点在AB上且DE=.

求证：CD⊥平面A1ABB1；

变式3：如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点， 

求证：平面BCD；

变式4  如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，

，，平面．，，， 

求证：平面

利用面面垂直的性质定理

例3：在三棱锥P-ABC中，,，。

方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直。

变式1, 在四棱锥，底面ABCD是正方形，侧面PAB是等腰三角形，且,求证： 

变式2：

类型3：面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直)

   例1  如图，已知平面，平面，△为等边三角形，

，为的中点.

(1) 求证：平面；

(2) 求证：平面平面；

例2   如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点．

（1）证明；  （2）证明平面；

变式1已知直四棱柱ABCD—A′B′C′D′的底面是菱形，，E、F分别是棱CC′与BB′上的点，且EC=BC=2FB=2．

（1）求证：平面AEF⊥平面AA′C′C；

举一反三

1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题：

①   ②  ③b∥M   ④b⊥M.

其中正确的命题是    (    )

A.①②      B.①②③      C.②③④      D.①②④

2.下列命题中正确的是    (    )

A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面

B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面

C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线

D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面

3.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必有    (    )

第3题图

A.DP⊥平面PEF   B.DM⊥平面PEF   C.PM⊥平面DEF   D.PF⊥平面DEF

4.设a、b是异面直线，下列命题正确的是    (    )

A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交

B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直

C.过a一定可以作一个平面与b垂直

D.过a一定可以作一个平面与b平行

5.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,mα和m⊥γ,那么必有   (    )

A.α⊥γ且l⊥m   B.α⊥γ且m∥β   C.m∥β且l⊥m   D.α∥β且α⊥γ

6.AB是圆的直径，C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若BC=1,AC=2,PC=1，则P到AB的距离为    (    )

A.1      B.2      C.       D. 

7.有三个命题：

①垂直于同一个平面的两条直线平行；

②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直； 

③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直

其中正确命题的个数为   (    )

A.0        B.1        C.2        D.3

8.d是异面直线a、b的公垂线，平面α、β满足a⊥α，b⊥β，则下面正确的结论是  (    )

A.α与β必相交且交线m∥d或m与d重合

B.α与β必相交且交线m∥d但m与d不重合

C.α与β必相交且交线m与d一定不平行

D.α与β不一定相交

9.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题

1若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α，

其中真命题的序号是    (    )

A.①②③        B.①②④       C.②③④      D.①③④

10.已知直线l⊥平面α，直线m平面β，给出下列四个命题：

①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β.

其中正确的命题是   (    )

A.③与④     B.①与③     C.②与④    D.①与②

二、思维激活

第12题图

11.如图所示，△ABC是直角三角形，AB是斜边，三个顶点在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为A′，B′，C′，如果△A′B′C′是正三角形，且AA′＝3cm，BB′＝5cm，CC′＝4cm，则△A′B′C′的面积是        . 

第11题图

第13题图

12.如图所示,在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件       时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)

13.如图所示，在三棱锥V—ABC中，当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件         时，有VC⊥AB.(注：填上你认为正确的一种条件即可)

三、能力提高

14.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的高.

第14题图

(1)求证:VC⊥AB;

(2)若二面角E—AB—C的大小为30°,求VC与平面ABC

所成角的大小.

15.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.

第15题图

(1)求证：MN∥平面PAD.

(2)求证：MN⊥CD.

(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.

16.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，AB＝4，AD＝2，侧棱PB＝，PD＝.

(1)求证：BD⊥平面PAD. 

(2)若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角P—BC—A的大小.

第16题图

17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M． 

18.如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.

(1)求证：NP⊥平面ABCD. 

第18题图

(2)求平面PNC与平面CC′D′D所成的角.

(3)求点C到平面D′MB的距离.

第4课  线面垂直习题解答

1.A  两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行.

2.C  由线面垂直的性质定理可知.

3.A  折后DP⊥PE,DP⊥PF，PE⊥PF.

4.D  过a上任一点作直线b′∥b,则a，b′确定的平面与直线b平行.

5.A 依题意,m⊥γ且mα,则必有α⊥γ,又因为l=β∩γ则有lγ,而m⊥γ则l⊥m,故选A.

6.D 过P作PD⊥AB于D，连CD，则CD⊥AB，AB=，，

∴PD=.

7.D  由定理及性质知三个命题均正确.

8.A  显然α与β不平行.

9.D  垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直.

10.B  ∵α∥β，l⊥α，∴l⊥m

11. cm2   设正三角A′B′C′的边长为a.

∴AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB２=a2+4，

又AC2+BC2=AB2，∴a2=2．

S△A′B′C′=cm2．

12.在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中当底面四边形ABCD满足条件AC⊥BD(或任何能推导出这个条件的其它条件，例如ABCD是正方形，菱形等)时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形).

点评：本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.

13.VC⊥VA，VC⊥AB.  由VC⊥VA，VC⊥AB知VC⊥平面VAB.

14.(1)证明:∵H为△VBC的垂心,

∴VC⊥BE,又AH⊥平面VBC,

∴BE为斜线AB在平面VBC上的射影,∴AB⊥VC.

(2)解:由(1)知VC⊥AB,VC⊥BE,

∴VC⊥平面ABE,在平面ABE上,作ED⊥AB,又AB⊥VC,

∴AB⊥面DEC.

∴AB⊥CD,∴∠EDC为二面角E—AB—C的平面角，

∴∠EDC=30°,∵AB⊥平面VCD,

∴VC在底面ABC上的射影为CD.

∴∠VCD为VC与底面ABC所成角,又VC⊥AB,VC⊥BE,

∴VC⊥面ABE,∴VC⊥DE,

∴∠CED=90°,故∠ECD=60°,

∴VC与面ABC所成角为60°.

15.证明：(1)如图所示，取PD的中点E，连结AE，EN，

则有EN∥CD∥AB∥AM，EN＝CD＝AB＝AM，故AMNE为平行四边形.

∴MN∥AE.

第15题图解

∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD.

(2)∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥AB.

又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD.

∴AB⊥AE，即AB⊥MN.

又CD∥AB，∴MN⊥CD.

(3)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.

又∠PDA＝45°，E为PD的中点.

∴AE⊥PD，即MN⊥PD.又MN⊥CD，

∴MN⊥平面PCD.

16.如图(1)证：由已知AB＝4，AD＝２，∠BAD＝60°，

第16题图解

故BD2＝AD2+AB2-2AD·ABcos60°＝4+16-2×2×4×＝12.

又AB2＝AD2+BD2，

∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，

即AD⊥BD.在△PDB中，PD＝，PB＝，BD＝，

∴PB2＝PD2+BD2，故得PD⊥BD.又PD∩AD＝D，

∴BD⊥平面PAD.

(2)由BD⊥平面PAD，BD平面ABCD.

∴平面PAD⊥平面ABCD.作PE⊥AD于E，

又PE平面PAD，

∴PE⊥平面ABCD，∴∠PDE是PD与底面ABCD所成的角.

∴∠PDE＝60°，∴PE＝PDsin60°＝.

作EF⊥BC于F，连PF，则PF⊥BF，

∴∠PFE是二面角P—BC—A的平面角.

又EF＝BD＝，在Rt△PEF中，

tan∠PFE＝.

故二面角P—BC—A的大小为arctan.

17.连结AC1，∵.

∴Rt△ACC1∽Rt△MC1A1，

∴∠AC1C=∠MA1C1，

∴∠A1MC1+∠AC1C=∠A1MC1+∠MA1C1=90°.

∴A1M⊥AC1,又ABC-A1B1C1为直三棱柱，

∴CC1⊥B1C1，又B1C1⊥A1C1，∴B1C1⊥平面AC1M.

由三垂线定理知AB1⊥A1M. 

点评：要证AB1⊥A1M，因B1C1⊥平面AC1，由三垂线定理可转化成证AC1⊥A1M，而AC1⊥A1M一定会成立．

18.(1)证明：在正方形ABCD中，

∵△MPD∽△CPB，且MD＝BC，

∴DP∶PB＝MD∶BC＝1∶2.

又已知D′N∶NB＝1∶2，

由平行截割定理的逆定理得NP∥DD′，又DD′⊥平面ABCD，

∴NP⊥平面ABCD.

(2)∵NP∥DD′∥CC′，

∴NP、CC′在同一平面内，CC′为平面NPC与平面CC′D′D所成二面角的棱.

又由CC′⊥平面ABCD，得CC′⊥CD，CC′⊥CM，

∴∠MCD为该二面角的平面角.

在Rt△MCD中可知

∠MCD＝arctan，即为所求二面角的大小.

(3)由已知棱长为a可得，等腰△MBC面积S1＝，等腰△MBD′面积S2＝，设所求距离为h，即为三棱锥C—D′MB的高.

∵三棱锥D′—BCM体积为，

∴

空间中的计算

                       基础技能篇

类型一：点到面的距离

     方法1：直接法—把点在面上的射影查出来，然后在直角三角形中计算

例1：在正四面体ABCD中，边长为a，求点A到面BCD的距离。

 变式1 在正四棱锥V-ABCD中，底面ABCD边长为a,侧棱长为b.求顶点V到底面ABCD的距离。

变式2在正四棱锥V-ABCD中，底面ABCD边长为a,侧棱长为b.求顶点A到底面VCD的距离。

方法2：等体积法求距离---在同一个三棱锥中利用体积不变原理，通过转换不同的底和高来达到目的。

例2已知在三棱锥V—ABC中，VA,VB,VC两两垂直，VA=VB=3，VC=4，求点V到面ABC的距离。

变式1：如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截而得到的，其中． 

   （1）求的长；

   （2）求点到平面的距离． 

变式2  如图，在四棱锥中，底面ABCD是四边长为1的菱形，,面, ,．求点B到平面OCD的距离．

变式3在正四面体ABCD中，边长为a，求它的内切求的半径。

类型二：其它种类的距离的计算（点到线，点到点 ）

例3 如图，在四棱锥中，底面ABCD是四边长为1的菱形，,面, ,M为OC的中点，求AM和点A到直线OC的距离．

举一反三

1．正三棱锥P-ABC高为2，侧棱与底面所成角为，则点到侧面的距离是

A．        B．       C．6      D． 

2．如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点

出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为

  A．10        B．20      C．30       D．40

二、填空题：

3．太阳光照射高为m的竹竿时，它在水平地面上的射影

为1m，同时，照射地面上一圆球时，如图所示，其影子

的长度AB等于cm,则该球的体积为_________．

4．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为___    ．

三、解答题：

5．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝2C1N．求点B1到平面AMN的距离．

6．一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中M、N分别是AF、BC的中点）. 

（1）求证：MN∥平面CDEF；   

（2）求多面体A—CDEF的体积．

7．一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点.

（1）求证： 

（2）当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP//平面FMC,并给出证明．

8．如图，已知正四棱锥,设为的中点，为的中点，为边上的点．

（1）求证：平面；

（2）试确定点的位置，使得平面底面．

9一个多面体的直观图、主视图、左视图、俯视图如图所示，、分别为、的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面．（3）求点A到面ANM的距离

10正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4.  E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD=G.

（Ⅰ）求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；

（Ⅱ）求点D1到平面B1EF的距离d；

（Ⅲ）求三棱锥B1—EFD1的体积V.

11.在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5.（如图9—21）

（Ⅰ）证明：SC⊥BC；

（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；

（Ⅲ）求三棱锥的体积VS－ABC.