行列式练习题

1. 

提示：主要用递推法，注意到本题除首末两行外其余行元素和相等且等于0，故将其加到第1列，得到：

2. 

提示：行列和相等行列式，将各行加到第一行提取公因式，然后，将第一行乘－1加到其余各行。

3.计算 

提示：先用1、2、3阶行列式估计结果然后用归纳法证明：

4.计算行列式

提示：本题用第一行乘-1加到各行，将它变成“爪形”行列式，“断其一爪”求解。

5.计算行列式

提示：按照下三角计算即可

6.计算

提示：按照第一列（行）展开即可。答案为： 

7.计算行列式

提示：行列递增多减少

8.计算行列式

提示：第1列加到第2列，第2列加到第3列，第3列…………,或按照第1列展开求出，递推即可。

9.计算

提示：第2行提取2,第3行提取3,………第n行提取n，然后用范德蒙行列式求解： 

10.计算行列式

提示：先写出行列式，是一个按列（行）递增的行列式逐行相减多减少,从最后1行开始，每一行乘－1加到前1行，然后第1列加到第2列，加到第3列，……

1．设为3阶方阵，且已知，则=（　　　）

A)1 ；        B)2；            C)4 ；           D)8

2．以下结论不正确的是（　D　）

A)两个矩阵相似必等价 ；            B)两个矩阵合同必等价；

C)两个实对称矩阵相似必合同；       D)两个实对称矩阵合同必相似。

3．设矩阵为同阶方阵，则=（　  　）

A)ATBTCT         B)CTBTAT           C)CTATBT          D)ATCTBT

4．已知，则=（　　　）

A)      B)      C)2     D) 

5．设向量组线性相关，则必可推出（　C　）

A)中至少有一个向量为零向量；

B)中至少有两个向量成比例；

C)中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合；

D)中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合。

6．齐次线性方程组仅有零解的充分必要条件是（　A　）。

A)A的列向量组线性无关；    B)A的列向量组线性相关；

C)A的行向量组线性无关；    D)A的行向量组线性相关。

7．已知是的的矩阵，非齐次线性方程组（　D　）。

A)无解    B)有唯一解   C)有无穷多解   D) 无解或有无穷多解

8．设3阶矩阵A特征值为0，1，-1. 则行列式=（　D 　）。

A)0               B)2           C)4           D)8

9．设矩阵有特征向量，则=（　A　）。

A)1             B)2            C)3              D)4 

10．的正惯性指数和负惯性指数为（ B ）。

A)1和2       B) 1和1           C)   0和1        D)2和1。

1．设行列式=1， =2，则=___________.

2．设矩阵A=，B=，则A+2B=_____________.

3．设3阶矩阵A=，则=_____________.

4．设A为m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，则矩阵B=AC的秩为__________.

5．设A为n阶正交矩阵，如果，则_____________.

6．设向量1=（1，1，1）T， 2=（1，2，0）T， 3=（1，3，k）T，如果1， 2， 3线性相关，则k=_______.

7．设均为矩阵，则等价的充分必要条件是            。

8．齐次线性方程组有非零解，则a=_____________.

9．方阵，则A的伴随矩阵的秩=___无关__.

10．若实对称矩阵A=为正定矩阵，则a的取值应满足______.

1.计算n阶行列式

2.已知   (1)求A的逆矩阵；  (2)解矩阵方程。

3.给定线性方程组

    （1）问a为何值时，方程组有唯一的解? 无穷多个解?

    （2）当方程组有无穷多个解时，求出其通解（用导出组的基础解系表示）.

4.求向量组的极大线性无关组并把其余向量表示成极大线性关组的线性组合。

，，。

5．实二次型

(1)写出二次型的矩阵并求它的秩；

(2)用正交线性变换化为标准形，并写出所用正交变换

(1)二次型的矩阵为，秩为2    ……………4分

(2)，特征根为；

   当时，解的基础解系

当时，解的基础解系

正交，对它们单位化

，则……………10分

1．(1)证明:相似矩阵有相同的特征多项式；

   (2)举一个反例说明（1）的逆命题不成立（并说明理由）。

(1)|E-B|=|P-1P-B|=|P-1(E)P-P-1AP|

=|P-1(E-A)P|=|P-1||(E-A)||P|=|E-A|……………5分

   (2)例如的特征多项是都是,但不相似，……8分

若不然

    矛盾    ……………10分