圆中的基本概念及定理

一、知识点睛

1．平面上到_____的距离等于_____的所有点组成的图形叫做圆，其中，_____称为圆心，_____称为半径；圆O记作_____．

2．圆中概念：

弧：_________________________；弧包括______和_______；

弦：_______________________________________________；

圆周角：___________________________________________；

圆心角：___________________________________________；

弦心距：___________________________________________．

3．圆的对称性：

圆是轴对称图形，其对称轴是_________________________；

圆是中心对称图形，其对称中心为_____________________．

4．圆中基本定理：

（1）垂径定理：_____________________________________

______________________________________________；

推论：_________________________________________

______________________________________________；

总结：知二推三①_______________________________，

②_____________________，③____________________，

④_____________________，⑤____________________．

（2）四组量关系定理：在_____________________中，如果_______________、______________、_______________、_______________中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量都分别相等．

（3）圆周角定理：___________________________________；

推论1：________________________________________；

推论2：________________________________________，_______________________________________________．

（4）三点定圆定理：_________________________________．

三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的_______，三角形叫做圆的___________，外接圆的圆心是____________________，叫做三角形的___________．

（5）圆内接四边形性质定理：__________________________．

二、精讲精练

1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（    ）

A．CM=DM                B． =

C．∠ACD=∠ADC            D．OM=MD

第1题图                    第2题图

2.如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若，则⊙O的半径为_________．

3.工程上常用来测量零件上小圆孔的宽口，假设的直径是10 mm，测得顶端离零件表面的距离为8 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为__________mm．

第3题图                   第4题图

4.如图，圆拱桥桥拱的跨度AB=12 m，桥拱高CD=4 m，则拱桥的直径为__________．

5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数为________．

第5题图                     第6题图

6.如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，垂足为E，连接OB，CB．已知⊙O的半径为2，AB=，则∠BCD=_______．

7.如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD=50°，则∠ACD=________．

第7题图                    第8题图

8.一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100 m，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD为（    ）

A．   B．   C．   D． 

9.如图，点D为边AC上一点，点O为边AB上一点，AD=DO．以O为圆心，OD长为半径作半圆，交AC于另一点E，交AB于F，G两点，连接EF．若∠BAC=22°，则∠EFG=__________．

10.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角

∠DCE=°，那么∠BOD的度数为__________．

第10题图                      第11题图

11.如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（    ）

A．点P        B．点Q        C．点R        D．点M

12.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（    ）

A．第①块        B．第②块   C．第③块      D．第④块

第12题图                  第13题图

13.如图，⊙O的两条弦AB，CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是__________．

14.在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，油面宽AB为6分米．如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，则圆柱形油槽的直径MN为_________．

15.已知：的半径为13 cm，弦24 cm， 10 cm，则AB，CD之间的距离为_________________．

圆中的基本概念及定理（随堂测试）

1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的），点O是这段弧的圆心，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，若AB=300m，CD=50 m，则这段弯路的半径是___________m．

第1题图              第2题图           第3题图

2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，若∠B=40°，则∠ACD=____________．

3.如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=5，BE=1，CD=，则∠AED=___________．

圆中基本概念及定理（作业）

1.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径OB为10，截面圆圆心到水面的距离为6，则水面宽的长为（    ）

A．16            B．10            C．8            D．6

第1题图                     第2题图

2.如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，则下列说法不一定正确的是（    ）

A．AD=BD                        B．∠ACB=∠AOE

C． =                        D．OD=DE

3.如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD，若∠BOC=70°，则∠A的度数为（    ）

A．70°            B．35°            C．30°            D．20°

第3题图                    第4题图

4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为（    ）

A．1            B．            C．2            D． 

5.如图，若AB是⊙O的直径，CD是

⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD=

（    ）

A．116°        B．32°

C．58°            D．°

6.如图，AB是半圆O的直径，C，D是上的两点，若

∠ADC=120°，则∠BAC=________．

第6题图                      第7题图

7.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且∠C=70°，则∠OAB=__________．

8.如图，点O为优弧ACB所在圆的圆心，∠AOC=108°，若点D在AB的延长线上，且BD=BC，则∠D=_________．

第8题图                      第9题图

9.如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A，B两点，交y轴的正半轴于点C．D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB=20°，则∠OCD=_________．

10.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知

AB=16 m，半径OA=10 m，则中间柱CD的高度为______m．

第10题图                     第11题图

11.如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，若CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为_________．

12.如图，若△ABC的顶点都在⊙P上，则点P的坐标是________．

第12题图                 第13题图

13.小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图所示（网格中每个小正方形的边长均为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是__________．

14.如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，若四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=______．

第14题图                   第15题图

15.如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3 cm，

DB=10 cm，以DB为直径作⊙O，交射线AP于E，F两点，则线段EF的长是___________cm．

16.如图，E为正方形ABCD的边CD的中点，经过A，B，E三点的⊙O与边BC交于点F，P为上任意一点．若正方形ABCD的边长为4，则sin∠P的值为__________．