重庆市七年级(下)开学数学试卷含答案

开学试卷

题号	一	二	三	四	总分
得分

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）

1.将0.0000918科学记数法表示为（　　）

A. 9.18×10-3    B. 9.18×105    C. 9.18×10-5    D. 91.8×10-4

2.在圆的面积公式S=πR2中，常量与变量分别是（　　）

A. 2是常量，S、π、R是变量    B. π是常量，S、R是变量

C. 2是常量，R是变量    D. 2是常量，S、R是变量

3.∠α的余角为65°，则∠α的补角为（　　）

A. 35°    B. 25°    C. 155°    D. 65°

4.若（x-a）（x+1）的积中不含有x的一次项，则a等于（　　）

A. -1    B. 0    C. 1    D. 2

5.下列说法中，正确的是（　　）

A. 等腰三角形的一边长4cm，一边长9cm，则它的周长为17cm或22cm

B. 三角形的三条高一定在三角形内部且交于一点

C. 两个等边三角形一定全等

D. 任意一个三角形的三条中线的交点必在三角形内部

6.一个蓄水池已有25m3的水，现以每分钟0.3m3的速度向池中注水，蓄水池中的水量y（m3）与注水时间t（分）之间的关系式为（　　）

A. y=0.3t    B. y=25t    C. y=25-0.3t    D. y=25+0.3t

7.如图，已知∠1=∠2，∠D=78°，则∠BCD=（　　）

A. 98°

B. 62°

C. 88°

D. 102°

8.地铁6号线匀速通过千厮门大桥时，地铁在桥上的长度y（m）与地铁进入桥的时间x（s）之间的关系用图象描述大致是（　　）

A.     B. 

C.     D. 

9.如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E．若AC=5cm，DE=2cm，则△ACD的面积为（　　）

A. 2.5cm2    B. 5cm2    C. 6cm2    D. 10cm2

10.若（x+a）2=x2+bx+25，则a，b分别为（　　）

A. a=3，b=6    B. a=5，b=5或a=-5，b=-10

C. a=5，b=10    D. a=-5，b=-10或a=5，b=10

11.在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少40°，则∠A的度数为（　　）

A. 20°    B. 55°    C. 20°或125°    D. 20°或55°

12.已知a，b，c满足4a2+2b-4=0，b2-4c+1=0，c2-12a+17=0，则a2+b2+c2等于（　　）

A.     B.     C. 14    D. 2016

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

13.如图，直线a∥b，∠1=60°，则∠2=______°．

14.已知3m=5，3n=8，则3m+n=______．

15.弹黄挂重物后会伸长，测得弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）间有下面的关系：

x（kg）	1	2	3	4	5	…
y（cm）	8.5	9	9.5	10	10.5	…

现测得弹簧长度为14.5cm，所挂重物的质量为______kg．

16.已知△ABC的三条边长分别为a、b、c，化简|a-b-c|-|c-a+2b|=______．

17.点O是△ABC内一点，∠A=85°，∠1=15°，∠2=40°，则∠BOC=______．

18.如图，把一张长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D′、C′的位置．已知∠EFB=55°，则∠AED′=______．

19.已知x+y=4，x2+y2=12，则=______．

20.如图，在△ABC中，D为AC边的四等分点，即AC=4CD，连接BD．E为BD中点，连接AE并延长，与BC边交于点F，连接DF．若S△DEF=1，则S△ABC=______．

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

21.整式乘除的计算

（1）（2x-y）2-（3x-y）（x+y）-（x-5y）（x+5y）

（2）[（a+b）（a-b）+（a-b）2+4a2（a+1）]÷（-a）

四、解答题（本大题共6小题，共52.0分）

22.简单的推理填空：

已知∠B=∠CGF，∠DGF=∠F

求证：∠B+∠F=180°

证明：∵∠B=∠CGF（已知）∴AB∥CD（______）

∵∠DGF=______（已知）

∴CD∥______（______）

∴AB∥EF（平行于同一直线的两直线平行）

∴∠B+______=180°（______）

23.先化简，再求值：[（2a-b）2-（2a+b）（2a-b）+6b]÷2b，其中a、b满足=0．

24.如图，已知点A，C，D在同一直线上，BC与AF交于点E，AF＝AC，AB＝DF，AD＝BC．

 

    (1)求证：∠ACE＝∠EAC；

    (2)若∠B＝50°，∠F＝110°，求∠BCD的度数．

25.小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小亮出发后50 分才乘上缆车，缆车的平均速度为180米/分．设小亮出发x 分后行走的路程为y 米．图中的折线表示小亮在整个行走过程中y随x的变化关系．

（1）小亮行走的总路程是______米，他途中休息了______分．

（2）分别求出小亮在休息前和休息后所走的路程段上的步行速度．

（3）当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？

26.如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：

第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，

第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，

第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，

第n次操作，分别作∠ABEn-1和∠DCEn-1的平分线，交点为En．

（1）如图①，求证：∠BEC=∠ABE+∠DCE；

（2）如图②，求证：∠BE2C=∠BEC；

（3）猜想：若∠En=α度，那∠BEC等于多少度？（直接写出结论）．

27.任意一个整数m都可以表示为：m=a2×b（a、b均为正整数），在m的所有表示结果中，当|a-b|最小时，规定Q（m）=，例如108=12×108=22×27=32×12=62×3，因为|1-108|＞|2-27|＞|3-12|＞|6-3|，所以Q（m）=．

（1）Q（48）=______；如果一个正整数n是另一个正整数c的立方，那么称正整数n是立方数，求证：对于任意立方数n，总有Q（n）=

（2）一个正整数t，t=20x+y（1≤x≤9，0≤y≤9，x，y是自然数），如果t与其各个数位上数字之和能被19整除，那么我们称这个数t为“希望数”，求所有“希望数”中Q（t）的最小值．

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：0.0000918科学记数法表示为9.18×10-5，

故选：C．

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

2.【答案】B

【解析】解：∵在圆的面积公式S=πR2中，S与R是改变的，π是不变的；

∴变量是S、R，常量是π．

故选：B．

根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可答题．

本题考查了常量与变量的知识，属于基础题，变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量．

3.【答案】C

【解析】解：∵∠α的余角为65°，

∴∠α=25°，

∴∠α的补角=180°-25°=155°，

故选：C．

根据余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．进行计算即可求解．

本题考查的是余角及补角的定义，解决本题的关键是熟记余角和补角的定义．

4.【答案】C

【解析】解：原式=x2+（1-a）x-a，

由积中不含x的一次项，得到1-a=0，

解得：a=1，

故选：C．

原式利用多项式乘以多项式法则计算，由积中不含有x的一次项求出a的值即可．

此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

5.【答案】D

【解析】解：A、等腰三角形的一边长4cm，一边长9cm，则它的周长为17cm或22cm，错误，17cm不能构成三角形，故本选项错误；

B、钝角三角形的三条高不在三角形内部，错误；

C、两个等边三角形一定相似，但不一定全等，错误；

D、任意一个三角形的三条中线的交点必在三角形内部，正确；

故选：D．

根据等腰三角形的性质和三角形的全等以及三角形的中线和高对各选项分析判断即可得解．

此题考查全等三角形的判定，关键是根据等腰三角形的性质和三角形的全等以及三角形的中线和高进行解答．

6.【答案】D

【解析】解：∵一个蓄水池有25m3的水，以每分钟0.3m3的速度向池中注水，

∴蓄水池中的水量y（m3）与注水时间t（分）之间的关系式：y=25+0.3t，

故选：D．

根据一个蓄水池有25m3的水，以每分钟0.3m3的速度向池中注水，可以得到蓄水池中的水量y（m3）与注水时间t（分）之间的函数表达式，本题得以解决．

本题考查函数关系式，解题的关键是明确题意，找出题目中的数量关系，列出相应的函数关系式．

7.【答案】D

【解析】解：∵∠1=∠2，

∴AD∥BC．

∵∠D=78°，

∴∠BCD=180°-78°=102°．

故选：D．

先根据∠1=∠2得出AD∥BC，再由平行线的性质即可得出结论．

本题考查的是平行线的判定与性质，先根据题意判断出AD∥BC是解答此题的关键．

8.【答案】B

【解析】解：根据题意可知地铁进入桥的时间x与地铁在桥上的长度y之间的关系具体可描述为：

当地铁开始进入桥时y逐渐变大，地铁完全在桥上一段时间内y不变，当地铁开始出来时y逐渐变小，故反映到图象上应选B．

故选：B．

先分析题意，把各个时间段内y与x之间的关系分析清楚，本题是分段函数，分为三段．

本题考查了动点问题的函数图象，主要考查了根据实际问题作出函数图象的能力．解题的关键是要知道本题是分段函数，分情况讨论y与x之间的函数关系．

9.【答案】B

【解析】解：过D作DF⊥AC于F，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，

∴DF=DE=2cm，

∴△ACD的面积=AC•DF=5×2=5cm2，

故选：B．

根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可得到结论．

本题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．

10.【答案】D

【解析】解：∵（x+a）2=x2+bx+25，

∴x2+2ax+a2=x2+bx+25，

∴

解得或

故选：D．

先将左边展开，根据等式的性质，得到关于a、b的方程组，求得a与b的值．

本题主要考查了乘法公式，解决问题的关键是掌握完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．

11.【答案】C

【解析】解：设∠B是x度，根据题意，得

①两个角相等时，如图1：

∠B=∠A=x°，

x=3x-40

解得，x=20，

故∠A=20°，

②两个角互补时，如图2：

x+3x-40=180，

所以x=55，

3×55°-40°=125°

故∠A的度数为：20°或125°．

故选：C．

因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因∠A比∠B的3倍少40°，所以它们互补，可设∠B是x度，利用方程即可解决问题．

此题主要考查了考查了垂线，本题需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．关键是得到∠A与∠B互补．

12.【答案】B

【解析】解：由题意，知4a2+2b-4+b2-4c+1+c2-12a+17=0，

整理，得（b2+2b+1）+（4a2-12a+9）+（c2-4c+4）=0，

所以（b+1）2+（2a-3）2+（c-2）2=0，

所以b+1=0，2a-3=0，c-2=0，

所以b=-1，a=，c=2．

故a2+b2+c2=+1+4=．

故选：B．

由题意，知4a2+2b-4+b2-4c+1+c2-12a+17=0，利用配方法得到（b+1）2+（2a-3）2+（c-2）2=0，所以利用非负数的性质求得a、b、c的值，然后代入a2+b2+c2求值．

考查了配方法的应用和非负数的性质．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2．

13.【答案】120

【解析】解：∵直线a∥b，∠1=60°，

∴∠3=∠1=60°，

∴∠2=180°-∠3=-180°-60°=120°．

故答案为：120．

先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由邻补角的性质即可得出∠2的度数．

本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．

14.【答案】40

【解析】解：∵3m=5，3n=8，

∴3m+n=3m×3n=5×8=40．

故答案为：40．

直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．

此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．

15.【答案】13

【解析】解：由表格可知弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）间满足一次函数，

设y=kx+b，

∴，

∴，

∴y=0.5x+8，

当y=14.5时，x=13，

故答案为13；

由表格可知弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）间满足一次函数，将表格中任意两组数代入求得y=0.5x+8，即可求解；

本题考查一次函数的应用；掌握利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．

16.【答案】-b

【解析】解：|a-b-c|-|c-a+2b| 

=b+c-a-（b+c-a+b）

=b+c-a-b-c+a-b 

=-b．

故答案是：-b．

根据三角形三边满足的条件是，两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可．

此题主要考查了三角形的三边关系，以及绝对值的计算，此题的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负．

17.【答案】140°

【解析】解：如图，延长BO交AC于D，

∵∠A=85°，∠1=15°，

∴∠CDO=∠1+∠A=100°，

又∵∠2=40°，

∴∠BOC=∠CDO+∠2=140°，

故答案为：140°．

延长BO交AC于D，依据三角形外角性质即可得到∠BOC的度数．

本题主要考查了三角形外角性质以及三角形内角和定理，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

18.【答案】70°

【解析】解：∵四边形ABCD是长方形，

∴AD∥BC，

∴∠DEF=∠EFB=55°，

由折叠得：∠DEF=∠D′EF=55°，

∴∠D′ED=∠DEF+∠D′EF=55°+55°=110°，

∴∠AED′=180°-110°=70°，

故答案为：70°．

根据长方形的对边平行得：AD∥BC，得内错角相等，可知∠DEF=55°，由折叠得∠D′EF=55°，所以根据平角的定义得出结论．

本题是折叠问题，考查了折叠的性质和长方形的性质，明确折叠前后的两个角相等，同时还利用长方形对边平行的关系，从而得出角的度数；难度不大，是基础题．

19.【答案】4

【解析】解：∵x+y=4，x2+y2=12，

∴2xy=（x+y）2-（x2+y2）=16-12=4，

∴xy=2；

∴===4；

故答案是：4．

利用完全平方和公式求得xy的值后，将其代入所求的代数式求值即可．

本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免错解．

20.【答案】

【解析】解：作DH∥CF交AF于H，如图，

∵E点为BD的中点，

∴BE=DE，S△FDE=S△FBE=1，

∴==1，即DH=BF，

∵DH∥CF，

∴==，

∴=，

∴=，

∴S△DFC=，

∴S△DBC=2+=，

∵AD=3CD，

∴S△ABD=3S△CDB=14，

∴S△ABC=14+=．

故答案为．

作DH∥CF交AF于H，如图，先根据三角形面积公式得到S△FDE=S△FBE=1，再利用平行线分线段成比例定理得到==1，==，则=，则利用三角形面积公式得到=，所以S△DFC=，然后计算S△ABD，从而可确定S△ABC的值．

本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=×底×高．三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．也考查了平行线分线段成比例定理．

21.【答案】解：（1）原式=4x2-4xy+y2-（3x2+3xy-xy-y2）-（x2-25y2）

=4x2-4xy+y2-3x2-3xy+xy+y2-x2+25y2 

=-6xy+27y2；

（2）原式=（a2-b2+a2-2ab+b2+4a3+4a2）÷（-a）

=（6a2-2ab+4a3）÷（-a）

=-6a+2b-4a2．

【解析】（1）先根据完全平方公式、多项式乘多项式法则及平方差公式计算，再去括号、合并即可得；

（2）先利用完全平方公式、单项式乘多项式法则及平方差公式计算，再去括号、合并即可得．

本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式混合运算顺序和运算法则．

22.【答案】同位角相等两直线平行   ∠F   EF   内错角相等两直线平行   ∠F   两直线平行同旁内角互补

【解析】证明：∵∠B=∠CGF（已知），

∴AB∥CD（同位角相等两直线平行）

∵∠DGF=∠F（已知）

∴CD∥EF（内错角相等两直线平行）

∴AB∥EF（平行于同一直线的两直线平行）

∴∠B+∠F=180°（两直线平行同旁内角互补）

故答案为：同位角相等两直线平行，∠F，EF，内错角相等两直线平行，∠F，两直线平行同旁内角互补．

根据平行线的判定和性质结合已知条件一一判断即可．

本题考查平行线的判定和性质，平行公理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

23.【答案】解：[（2a-b）2-（2a+b）（2a-b）+6b]÷2b

=[4a2-4ab+b2-4a2+b2+6b]÷2b

=[2b2-4ab+6b]÷2b

=b-2a+3，

∵a、b满足=0，

∴a+=0，b-2=0，

∴a=-，b=2，

当a=-，b=2时，原式=2-2×（-）+3=6．

【解析】先算括号内的乘法，再合并同类项，算除法，求出a、b的值后代入，即可求出答案．

本题考查了整式的混合运算和求值，绝对值和偶次方的非负性等知识点，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．

24.【答案】（1）证明：在△ABC和△FDA中，

∵AB=FD，AC=FA，BC=DA，

∴△ABC≌△FDA（SSS），

∴∠ACE=∠EAC．

（ 2）解∵△ABC≌△FDA，∠F=110°，

∴∠BAC=∠F=110°，

又∵∠BCD是△ABC的外角，∠B=50°，

∴∠BCD=∠B+∠BAC=160°．

【解析】（1）根据SSS定理判定△ABC≌△FDA即可得出结论．

（2）由△ABC≌△FDA可知∠BAC=∠F=110°，再根据∠BCD是△ABC的外角得到∠BCD=∠B+∠BAC即可求出答案．

本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解决问题的关键．

25.【答案】3600   20

【解析】解：（1）根据图象知：小亮行走的总路程是 3600米，他途中休息了 20分钟．

故答案为 3600，20；  …（2分）

（2）小亮休息前的速度为：（米/分）…（4分）

小亮休息后的速度为：（米/分）…（6分）

（3）小颖所用时间：（分）…（8分）

小亮比小颖迟到80-50-10=20（分）…（9分）

∴小颖到达终点时，小亮离缆车终点的路程为：20×55=1100（米）…（10分）

根据图象获取信息：

（1）小亮到达山顶用时80分钟，中途休息了20分钟，行程为3600米；

（2）休息前30分钟行走1950米，休息后30分钟行走（3600-1950）米．

（3）求小颖到达缆车终点的时间，计算小亮行走路程，求离缆车终点的路程．

此题考查一次函数及其图象的应用，从图象中获取相关信息是关键．此题第3问难度较大．

26.【答案】解：（1）如图①，过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥EF∥CD，

∴∠B=∠1，∠C=∠2，

∵∠BEC=∠1+∠2，

∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；

（2）如图2，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，

∴由（1）可得，

∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC；

∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，

∴由（1）可得，

∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；

（3）如图2，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，

∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=∠ABE2+∠DCE2=∠CE2B=∠BEC；

…

以此类推，∠En=∠BEC，

∴当∠En=α度时，∠BEC等于2nα度．

【解析】（1）先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE；

（2）先根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，运用（1）中的结论，得出∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC；同理可得∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；

（3）根据∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，得出∠BE3C=∠BEC；…据此得到规律∠En=∠BEC，最后求得∠BEC的度数．

本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．

27.【答案】

【解析】解：（1）∵48=12×48=22×12=42×3

∴|1-48|＞|2-12|＞|4-3|，

∴

由题可知，n=c3，即n=c2×c

∴

（2）①当x=6，y=5时，

 t=125

125+1+2+5=133=19×7

∴t=125是希望数

125=12×125=52×5

∴|1-125|＞|5-5|，

∴

 ②当x=8，y=2时，

t=162

162+1+6+2=171=19×9

 t=162是希望数

 162=12×162=32×18=92×2

∴|1-162|＞|3-18|＞|9-2|，

∴

③当x=3，y=5时，

 t=65

65+6+5=76=19×4

 t=65是希望数

 65=12×65

∴

 ④当x=1，y=8时，

 t=28

28+2+8=38=19×2

t=28是希望数

 28═12×28=22×7

∴|1-28|＞|2-7|

∴

∵

∴Q（t）最小值为．

故答案为．

（1）根据题意，对48进行分解，找到所有符合条件的因数乘积形式，根据|a-b|来判断计算即可；对于证明，可以由题可得n=c3，进行证明即可；

（2）需要找出符合条件的所有的t值，然后分别算它们的Q（t），进行大小比较，从而得到符合题意的最小的值Q（t）．

本题是定义新概念，考查了数学阅读与理解的能力和计算能力．