点线面之间的位置关系复习习题

1、公理

（1）公理 1：对直线 a 和平面α，若点 A、B∈a , A、B∈α，则 

（2）公理 2：若两个平面α、β有一个公共点P，则α、β有且只有一条过点P的公共直线 a

（3）公理 3： 不共线的三点可确定一个平面

推论： 一条直线和其外一点可确定一个平面 

两条相交直线可确定一个平面 

两条平行直线可确定一个平面

（4）公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等．

2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面

3、异面直线所成角θ的范围是 00<θ≤900

练习

1、已知直线、和两两相交，且三线不共点.

求证：直线、和在同一平面上.

2、三个平面将空间分成k个部分,求k的可能取值.

分析: 可以根据三个平面的位置情况分类讨论，按条件可将三个平面位置情况分为5种:（1）三个平面相互平行

（2）两个平面相互平行且与第三个平面相交

（3）三个平面两两相交且交线重合

（4）三个平面两两相交且交线平行

（5）三个平面两两相交且交线共

3、如图所示，O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，G是对角线A1C和截面B1D1A的交点，求证：O1、G、A三点共线。

4、已知棱长为a的正方体中，M、N分别为CD、AD中点。

求证：四边形是梯形。

5、如图，是平面外的一点分别是的重心，

求证：．

6、如图，已知不共面的直线相交于点，是直线上的两点，分别是上的一点

求证：和是异面直线

7、已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则棱A1B1所在直线与面对角线BC1所在直线间的距离是                             

立体几何之点线面之间的位置关系（二）

直线与平面平行、平面与平面平行

1、直线与平面的位置关系：平行、相交、在平面内

2、直线和平面平行的判定及性质

（1）判定  如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（简述为线线平行线面平行）

（2）性质  如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。（简述为线面平行线线平行）

3、两个平面的位置关系：平行、相交

4、两个平面平行的判定与性质

（1）判定 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

（2）性质 如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行

5、两个平行平面的距离

    和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平面的公垂线．公垂线夹在平行平面间的部分．叫做这两个平面的公垂线段．两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离

练习

1、如图，在三棱锥P-ABC中，点Ο、D分别是AC、PC的中点，求证： OD//平面PAB

2、如图在四棱锥P-ABCD中，M、N分别是AB，PC的中点，若ABCD是平行四边形，

求证：MN//平面PAD

3、如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面A1BD//平面CB1D1

6、在正方形中，已知正方体的棱长为，M、N分别在其对角线AD1与DB上，若AM=BN=x。

    （1）求证：MN//平面CDD1C1；

（2）设MN=y，求y=f(x)的表达式；

（3）求MN的最小值，并求此时x的值；

（4）求AD1与BD所成的角。

立体几何之点线面之间的位置关系（三）

直线与平面垂直、平面与平面垂直

1、线面垂直的定义

   如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α垂直，记作l⊥α。

2、线面垂直的判定及性质

   （1）判定  一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面。

    （2）性质   垂直于同一平面的两条直线平行。

3、线面角

       直线和平面所成的角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

       特别地，如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角，

4、二面角

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面，如图所示，即为一个二面角α—l—β。

二面角的取值范围是。                     

5、面面垂直的判定及性质

（1）判定  如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。简述为“线面垂直，则面面垂直”。

（2）性质  如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

练习

1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.

2、12. 如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，

AC＝3，BC＝4，AB=5,AA1＝4，点D是AB的中点，

  （I）求证：AC⊥BC1；

  （）求证：AC 1//平面CDB1；

  （）求异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值．

3、如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1，底面ABC中，

CA=CB=1,∠BCA=90。,棱AA1=2,M,N分别是

A1B1,A1A的中点。

（1）求BN的长；

（2）求BA1 ，B1C夹角的余弦值；

（3）求证A1B⊥C1M

4、已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC==1，M是PB的中点。

证明：面PAD⊥面PCD

5、已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是菱形， 平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点.（1）证明平面PED⊥平面PAB； （2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值. 

例1. 如图所示，在斜边为AB的Rt△ABC中，过A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N。

       （1）求证：BC⊥面PAC；

（2）求证：PB⊥面AMN；

（3）若PA=AB=4，设∠BPC=θ，试用tanθ表示△AMN的面积，当tanθ取何值时，△AMN的面积最大？最大面积是多少？

立体几何之综合练习（一）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1、已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为（　　）

（A）48　　（B）　　（C）96　　（D）192

2．棱长都是的三棱锥的表面积为（     ）

A.      B.     C.      D. 

3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是，且它的个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）

A． ． ． ．都不对

4、已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于  （ D）

    （A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）

5、若、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（   ）

A．若，则    B．若，则             

C. 若，则          D．若，则

6、如图，在正方体中，分别为，，，的中点，则异面直线与所成的角等于（　　）

Ａ．45°        Ｂ．60°        Ｃ．90°        Ｄ．120°

7.已知两个平面垂直，下列命题

①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；

②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；

③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；

④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.

其中正确的个数是（     ）  A.3     B.2      C.1     D.0

8、如图长方体中，AB=AD=2，CC1=，则二面角

  C1—BD—C的大小为（    ）

Ａ．30°        B．45°　C．60°    D．90°        

9、平面与平面平行的条件可以是（ ）

A.内有无穷多条直线与平行； 直线a//,a//

C.直线a,直线b,且a//,b// 内的任何直线都与平行

10、如图，一个封闭的立方体，它的六个表面各标有A,B,C,D,E,F这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的位置，则字母A,B,C对面的字母分别为（  ）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11.已知直线b//平面，平面//平面，则直线b与的位置关系为                  . 

12．正方体的内切球和外接球的半径之比为＿＿＿＿＿

13如图，△ABC是直角三角形，ACB=，PA平面ABC，此图形中有   个直角三角形

14. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：（1）AC⊥BD；（2）△ACD是等边三角形　（3）AB与平面BCD所成的角为60°；（4）AB与CD所成的角为60°。则正确结论的序号为＿＿＿＿

三、解答题（15、16、17题分别为8分、10分、12分，共30分）

15．如图，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC   求证：AB⊥BC     

16．在长方体中，已知，求异面直线与所成角的余弦值　。.

17．如图，在四棱锥中，底面，

，，是的中点．

（Ⅰ）求和平面所成的角的大小；

（Ⅱ）证明平面；

（Ⅲ）求二面角的正弦值．

立体几何之综合练习（二）

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、线段在平面内，则直线与平面的位置关系是

A、 、 、由线段的长短而定   D、以上都不对

2、下列说法正确的是

A、三点确定一个平面 、四边形一定是平面图形

C、梯形一定是平面图形 、平面和平面有不同在一条直线上的三个交点

3、垂直于同一条直线的两条直线一定

A、平行 、相交 、异面 、以上都有可能

4、在正方体中，下列几种说法正确的是

A、 B、 C、与成角  D、与成角

5、若直线l∥平面，直线，则与的位置关系是

A、l∥a 、与异面 、与相交 、与没有公共点

6、下列命题中：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一直线的两直线平行；（4）垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有

A、1、2、3、4

7、在空间四边形各边上分别取四点，如果与能相交于点，那么

 、点不在直线上 、点必在直线BD上

C、点必在平面内 、点必在平面外

8、a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b；②若bM，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确命题的个数有

 、0个 、1个 、2个 、3个

9、已知二面角的平面角是锐角，内一点到的距离为3，点C到棱的距离为4，那么的值等于 

A、 B、 、 D、

10、如图:直三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1     和CC1上，AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积为

A、 、 、 、

二、填空题（每小题4分，共16分）

11、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是_____

(填”大于、小于或等于”).

12、正方体中，平面和平面的位置关系为           

13、已知垂直平行四边形所在平面，若，平行则四边形一定是           .

14、如图，在直四棱柱A1B1C1 D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件_________时，有A1 B⊥B1 D1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.)

三、解答题(共54分,要求写出主要的证明、解答过程)

15、已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长. (7分)

16、已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点,且ＥＨ∥ＦＧ． 

求证：EH∥BD.  (8分)

17、已知中,面,,求证：面．(8分)

18、一块边长为10的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积与的函数关系式,并求出函数的定义域. (9分)

19、已知正方体，是底对角线的交点.

求证：(１) C1O∥面；(2)面． (10分)

20、已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，

∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且

 （Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；

 （Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？ (12分)