2020年湖南沙市教科院中考数学模拟试卷(四) (解析版)

一、选择题

1．下列实数中，最小的是（　　）

A．3    B．    C．    D．0

2．据亚洲开发银行统计数据，2010年至2020年，亚洲各经济体的基础设施如果要达到世界平均水平，至少需要8000000000000美元基建投资．将8000000000000用科学记数法表示应为（　　）

A．0.8×1013    B．8×1012    C．8×1013    D．80×1011

3．下列各式运算正确的是（　　）

A．3y3•5y4＝15y12    B．（a3）2＝（a2）3    

C．（ab5）2＝ab10    D．（﹣x）4•（﹣x）6＝﹣x10

4．在一个不透明的袋子中装有3个白球和4个黑球，它们除颜色外其他均相同，从中任意摸出一个球，则摸出黑球的概率是（　　）

A．    B．    C．    D．

5．如图，AB∥CD，AF交CD于点E，∠A＝45°，则∠CEF等于（　　）

A．135°    B．120°    C．45°    D．35°

6．如图是一个几何体的主视图和俯视图，则这个几何体是（　　）

A．正方体    B．三棱柱    C．三棱锥    D．长方体

7．某车间20名工人日加工零件数如表所示：

A．5、6、5    B．5、5、6    C．6、5、6    D．5、6、6

8．《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，如某一问题：有一扇形田地，下周长（弧长）为30米，径长（两段半径的和）为16米，则该扇形田地的面积为 （　　）

A．120平方米    B．240平方米    C．360 平方米    D．480平方米

9．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，AB＞BC，分别以顶点A、B为圆心，大于AB长为半径作圆弧，两条圆弧交于点M、N，作直线MN交边CB于点D．若AD＝5，CD＝3，则BC长是（　　）

A．7    B．8    C．12    D．13

10．“五一”期间，小华和妈妈到某景区游玩，小明想利用所学的数学知识，估测景区里的观景塔DE的高度．他从点D处的观景塔出来走到点A处．沿着斜坡AB从A点走了8米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在B点观察到观景塔顶端的仰角为45°且AB⊥BE，再往前走到C处，观察到观景塔顶端的仰角30°，测得BC之间的水平距离BC＝10米，则观景塔的高度DE约为（　　）米．（＝1.41，＝1.73）

A．14    B．15    C．19    D．20

11．如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，2），C（4，4）．若反比例函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（　　）

A．1≤k≤4    B．2≤k≤8    C．2≤k≤16    D．8≤k≤16

12．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，﹣2），B（0，﹣2），C（﹣3，0），M是线段AB上的一个动点，连接CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M、N在直线y＝kx+b上，则b的最大值是（　　）

A．﹣    B．﹣    C．﹣1    D．0

二、填空题（本大捱共6个小®，每小S3分，共|K分）

13．在函数y＝中，自变量x的取值范围是　   　．

14．分解因式：x2y+2xy+y＝　   　．

15．不等式组的解集是　   　．

16．两组数据m，6，n与1，m，2n，7的平均数都是8，若将这两组数据合并成一组数据，则这组新数据的极差为　   　．

17．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO＝4，则▱ABCD的周长为　   　．

18．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＜0；②5a﹣b+c＜0；③方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝﹣5，x2＝1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有　   　．

三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23，24题毎小题9分，第25、26题每小題10分，共66分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

19．计算：﹣|2﹣|+（）﹣2﹣2sin60°

20．先化简（﹣1）÷，然后从﹣2≤a＜2中选出一个合适的整数作为a的值代入求值．

21．某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：

a．七年级成绩频数分布直方图：

b．七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：

70   72   74   75   76   76   77   77   77   78   79

c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：

（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有　   　人；

（2）表中m的值为　   　；

（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；

（4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．

22．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，点E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．

（1）求证：四边形AECD是菱形；

（2）若AB＝3，BC＝5，求EF的长．

23．上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了2000元，第二批用了5500元，第二批购进水果的重量是第一批的2.5倍，且进价比第一批每千克多1元．

（1）求两批水果共购进了多少千克？

（2）在这两批水果总重量正常损耗10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于26%，那么售价至少定为每千克多少元？

（利润率＝）

24．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．

（1）概念理解：

如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件，使得四边形ABCD是“等邻边四边形”，请写出你添加的一个条件；

（2）概念延伸：

下列说法正确的是　   　（填入相应的序号）

①对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形；

②一组对边平行，另一组对边相等的“等邻边四边形”是菱形；

③有两个内角为直角的“等邻边四边形”是正方形；

④一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角是直角的“等邻边四边形”是正方形；

（3）问题探究：

如图2，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，并将Rt△ABC沿∠B的平分线BB'方向平移得到△A'B'C′，连结AA′，BC′，小红要使平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”应平移多少距离（即线段BB'的长）？

25．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2＝0．

（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；

（2）当抛物线y＝kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；

（3）将（2）中的抛物线向右平移m（3≤m≤6）个单位，与x轴的两个交点分别为A（x1，0），B（x2，0），若＝+，求M的取值范围．

26．如图，已知抛物线y＝mx2﹣8mx﹣9m与x轴交于A，B两点，且与y轴交于点C（0，﹣3），过A，B，C三点作⊙O′，连接AC，BC．

（1）求⊙O′的圆心O′的坐标；

（2）点E是AC延长线上的一点，∠BEC的平分线CD交⊙O′于点D，求点D的坐标，并直接写出直线BC和直线BD的解析式；

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB＝∠CBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

参

一、选择题（在下列各題的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共12个小题，每小题3分，共36分）

1．下列实数中，最小的是（　　）

A．3    B．    C．    D．0

【分析】先比较各个数的大小，再得出选项即可．

解：∵3＞，

∴最小的数是0，

故选：D．

2．据亚洲开发银行统计数据，2010年至2020年，亚洲各经济体的基础设施如果要达到世界平均水平，至少需要8000000000000美元基建投资．将8000000000000用科学记数法表示应为（　　）

A．0.8×1013    B．8×1012    C．8×1013    D．80×1011

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解：8000000000000＝8×1012，

故选：B．

3．下列各式运算正确的是（　　）

A．3y3•5y4＝15y12    B．（a3）2＝（a2）3    

C．（ab5）2＝ab10    D．（﹣x）4•（﹣x）6＝﹣x10

【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则、单项式乘以单项式运算法则分别判断得出答案．

解：A、3y3•5y4＝15y7，故此选项不合题意；

B、（a3）2＝（a2）3，正确；

C、（ab5）2＝a2b10，故此选项不合题意；

D、（﹣x）4•（﹣x）6＝x10，故此选项不合题意；

故选：B．

4．在一个不透明的袋子中装有3个白球和4个黑球，它们除颜色外其他均相同，从中任意摸出一个球，则摸出黑球的概率是（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】直接利用概率公式计算可得．

解：∵袋子中球的总个数为3+4＝7（个），其中黑球有4个，

∴摸出黑球的概率是，

故选：C．

5．如图，AB∥CD，AF交CD于点E，∠A＝45°，则∠CEF等于（　　）

A．135°    B．120°    C．45°    D．35°

【分析】根据平行线的性质可得∠AED，结合对顶角可求得∠CEF，可得出答案．

解：∵AB∥CD，

∴∠AED＝180°﹣∠A＝135°，

又∵∠CEF和∠AED为对顶角，

∴∠CEF＝135°．

故选：A．

6．如图是一个几何体的主视图和俯视图，则这个几何体是（　　）

A．正方体    B．三棱柱    C．三棱锥    D．长方体

【分析】根据三视图得出几何体为三棱柱即可．

解：由主视图和俯视图可得几何体为三棱柱，

故选：B．

7．某车间20名工人日加工零件数如表所示：

A．5、6、5    B．5、5、6    C．6、5、6    D．5、6、6

【分析】根据众数、平均数和中位数的定义分别进行解答即可．

解：5出现了6次，出现的次数最多，则众数是5；

把这些数从小到大排列，中位数第10、11个数的平均数，

则中位数是＝6；

平均数是：＝6；

故选：D．

8．《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，如某一问题：有一扇形田地，下周长（弧长）为30米，径长（两段半径的和）为16米，则该扇形田地的面积为 （　　）

A．120平方米    B．240平方米    C．360 平方米    D．480平方米

【分析】首先求得半径的长，然后利用扇形面积公式S＝lr求解即可．

解：∵径长（两段半径的和）为16米，

∴半径长为8米，

∵下周长（弧长）为30米，

∴S═lr＝×30×8＝120平方米，

故选：A．

9．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，AB＞BC，分别以顶点A、B为圆心，大于AB长为半径作圆弧，两条圆弧交于点M、N，作直线MN交边CB于点D．若AD＝5，CD＝3，则BC长是（　　）

A．7    B．8    C．12    D．13

【分析】由尺规作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，即可得出DA＝DB＝5，依据CD的长即可得到BC＝CD+BD＝8．

解：由尺规作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，

∴DA＝DB＝5，

又∵CD＝3，

∴BC＝CD+BD＝3+5＝8，

故选：B．

10．“五一”期间，小华和妈妈到某景区游玩，小明想利用所学的数学知识，估测景区里的观景塔DE的高度．他从点D处的观景塔出来走到点A处．沿着斜坡AB从A点走了8米到达B点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在B点观察到观景塔顶端的仰角为45°且AB⊥BE，再往前走到C处，观察到观景塔顶端的仰角30°，测得BC之间的水平距离BC＝10米，则观景塔的高度DE约为（　　）米．（＝1.41，＝1.73）

A．14    B．15    C．19    D．20

【分析】作BF⊥DE于F，AH⊥BF于H，根据等腰直角三角形的性质求出AH，根据正切的定义用EF表示出CF、BF，根据题意列式求出EF，结合图形计算，得到答案．

解：作BF⊥DE于F，AH⊥BF于H，

∵∠EBF＝45°，

∴∠ABH＝45°，

∴AH＝BH＝8×＝4，

在Rt△ECF中，tan∠ECF＝，

则CF＝EF，

在Rt△EBF中，∠EBF＝45°，

∴BF＝EF，

由题意得，EF﹣EF＝10，

解得，EF＝5+5，

则DE＝EF+DF＝5+5+4≈19，

故选：C．

11．如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，2），C（4，4）．若反比例函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（　　）

A．1≤k≤4    B．2≤k≤8    C．2≤k≤16    D．8≤k≤16

【分析】由于△ABC是直角三角形，所以当反比例函数y＝经过点A时k最小，经过点C时k最大，据此可得出结论．

解：∵△ABC是直角三角形，

∴当反比例函数y＝经过点A时k最小，经过点C时k最大，

∴k最小＝1×2＝2，k最大＝4×4＝16，

∴2≤k≤16．

故选：C．

12．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，﹣2），B（0，﹣2），C（﹣3，0），M是线段AB上的一个动点，连接CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M、N在直线y＝kx+b上，则b的最大值是（　　）

A．﹣    B．﹣    C．﹣1    D．0

【分析】当点M在AB上运动时，MN⊥MC交y轴于点N，此时点N在y轴的负半轴移动，定有△AMC∽△NBM；只要求出ON的最小值，也就是BN最大值时，就能确定点N的坐标，而直线y＝kx+b与y轴交于点N（0，b），此时b的值最大，因此根据相似三角形的对应边成比例，设未知数构造二次函数，通过求二次函数的最值得以解决．

解：连接AC，则四边形ABOC是矩形，∴∠A＝∠ABO＝90°，

又∵MN⊥MC，

∴∠CMN＝90°，

∴∠AMC＝∠MNB，

∴△AMC∽△NBM，

∴，

设BN＝y，AM＝x．则MB＝3﹣x，ON＝2﹣y，

∴，

即：y＝x2+x

∴当x＝﹣＝﹣时，y最大＝×（）2+＝，

∵直线y＝kx+b与y轴交于N（0，b）

当BN最大，此时ON最小，点N （0，b）越往上，b的值最大，

∴ON＝OB﹣BN＝2﹣＝，

此时，N（0，）

b的最大值为．

故选：A．

二、填空题（本大捱共6个小®，每小S3分，共|K分）

13．在函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≥﹣2且x≠0　．

【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．

解：由题意得，x+2≥0且x≠0，

解得x≥﹣2且x≠0．

故答案为：x≥﹣2且x≠0．

14．分解因式：x2y+2xy+y＝　y（x+1）2　．

【分析】首先提取公因式y，再利用完全平方进行二次分解即可．

解：原式＝y（x2+2x+1）＝y（x+1）2，

故答案为：y（x+1）2．

15．不等式组的解集是　x≤﹣2　．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

解：解不等式≤﹣1，得：x≤﹣2，

解不等式﹣x+7＞4，得：x＜3，

则不等式组的解集为x≤﹣2，

故答案为：x≤﹣2．

16．两组数据m，6，n与1，m，2n，7的平均数都是8，若将这两组数据合并成一组数据，则这组新数据的极差为　11　．

【分析】根据平均数的计算公式先求出m、n的值，再根据极差的定义即可得出答案．

解：∵两组数据m，6，n与1，m，2n，7的平均数都是8，

∴，

解得：，

故将这两组数据合并成一组数据为：12，6，6，1，12，12，7，

则极差为：12﹣1＝11．

故答案为：11．

17．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO＝4，则▱ABCD的周长为　16　．

【分析】首先证明OE＝BC，再由AE+EO＝4，推出AB+BC＝8即可解决问题．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，

∵AE＝EB，

∴OE＝BC，

∵AE+EO＝4，

∴2AE+2EO＝8，

∴AB+BC＝8，

∴平行四边形ABCD的周长＝2×8＝16，

故答案为：16．

18．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＜0；②5a﹣b+c＜0；③方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝﹣5，x2＝1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有　①②③　．

【分析】①由抛物线的开口方向确定a的正负号，再由对称轴的位置，确定b的正负号，由抛物线与y轴的交点位置，确定c的正负号；

②根据抛物线的顶点坐标公式用a表示b和c，再代入5a﹣b+c中，便可得由a的取值范围确定代数5a﹣b+c的正负；

③把y＝ax2+bx+c＝0中，b、c换成a，再解方程便可得判断正误；

④分别求出方程ax2+bx+c＝1和ax2+bx+c＝﹣1的两根和，便可求得原方程四根之和．

解：∵抛物线的开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的左侧，则b＞0，交y轴的负半轴，则c＜0，

∴abc＜0，

所以①结论正确；

∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），

∴﹣＝﹣2，＝﹣9a，

∴b＝4a，c＝﹣5a，

∴5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a＝﹣4a＜0，

故②结论正确；

∵抛物线y＝ax2+bx+c＝ax2+4ax﹣5a，

当y＝0时，ax2+4ax﹣5a＝0，即a（x+5）（x﹣1）＝0，

∴x＝﹣5或1，

∴方程ax2+bx+c＝0的两个根x1＝﹣5，x2＝1，

故结论③正确；

若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，设方程ax2+bx+c＝1的两根分别为x1，x2，

则＝﹣2，可得x1+x2＝﹣4，

设方程ax2+bx+c＝﹣1的两根分别为x3，x4，

则＝﹣2，可得x3+x4＝﹣4，

所以这四个根的和为﹣8，

故结论④错误，

故答案为①②③．

三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23，24题毎小题9分，第25、26题每小題10分，共66分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

19．计算：﹣|2﹣|+（）﹣2﹣2sin60°

【分析】首先计算乘方，然后计算加减，即可．

解：原式＝3﹣（2﹣）+4﹣2×

＝3﹣2++4﹣

＝5．

20．先化简（﹣1）÷，然后从﹣2≤a＜2中选出一个合适的整数作为a的值代入求值．

【分析】直接利用分式的加减运算法则将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．

解：原式＝，

＝，

＝

∵从﹣2≤a＜2的范围内选取一个合适的整数，

∴当a＝﹣2时，

原式＝．

21．某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：

a．七年级成绩频数分布直方图：

b．七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：

70   72   74   75   76   76   77   77   77   78   79

c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：

（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有　23　人；

（2）表中m的值为　77.5　；

（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；

（4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数．

【分析】（1）根据条形图及成绩在70≤x＜80这一组的数据可得；

（2）根据中位数的定义求解可得；

（3）将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案；

（4）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9分的人数所占比例可得．

解：（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有15+8＝23人，

故答案为：23；

（2）七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为78、79，

∴m＝＝77.5，

故答案为：77.5；

（3）甲学生在该年级的排名更靠前，

∵七年级学生甲的成绩大于中位数78分，其名次在该年级抽查的学生数的25名之前，

八年级学生乙的成绩小于中位数79.5分，其名次在该年级抽查的学生数的25名之后，

∴甲学生在该年级的排名更靠前．

（4）估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为400×＝224（人）．

22．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，点E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．

（1）求证：四边形AECD是菱形；

（2）若AB＝3，BC＝5，求EF的长．

【分析】（1）根据平行四边形和菱形的判定证明即可；

（2）根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可．

【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AE∥DC，

∴四边形AECD是平行四边形，

∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，

∴AE＝CE＝BC，

∴四边形AECD是菱形；

（2）解：过A作AH⊥BC于点H，如图所示：

∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，

∴AC＝＝＝4，

∵S△ABC＝BC•AH＝AB•AC，

∴AH＝＝＝，

∵点E是BC的中点，BC＝5，四边形AECD是菱形，

∴CD＝CE＝，

∵S▱AECD＝CE•AH＝CD•EF，

∴EF＝AH＝．

23．上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了2000元，第二批用了5500元，第二批购进水果的重量是第一批的2.5倍，且进价比第一批每千克多1元．

（1）求两批水果共购进了多少千克？

（2）在这两批水果总重量正常损耗10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于26%，那么售价至少定为每千克多少元？

（利润率＝）

【分析】（1）设第一批购进水果x千克，则第二批购进水果2.5x千克，依据题意列式计算而得到结果，并检验是原方程的解，而求得．

（2）设售价为每千克a元，求得关系式，又由630a≥7500×1.26，而解得．

解：（1）设第一批购进水果x千克，则第二批购进水果2.5x千克，依据题意得：

，

解得x＝200，

经检验x＝200是原方程的解，

∴x+2.5x＝700，

答：这两批水果共购进700千克；

（2）设售价为每千克a元，则：，

630a≥7500×1.26，

∴，

∴a≥15，

答：售价至少为每千克15元．

24．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．

（1）概念理解：

如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件，使得四边形ABCD是“等邻边四边形”，请写出你添加的一个条件；

（2）概念延伸：

下列说法正确的是　①②④　（填入相应的序号）

①对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形；

②一组对边平行，另一组对边相等的“等邻边四边形”是菱形；

③有两个内角为直角的“等邻边四边形”是正方形；

④一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角是直角的“等邻边四边形”是正方形；

（3）问题探究：

如图2，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，并将Rt△ABC沿∠B的平分线BB'方向平移得到△A'B'C′，连结AA′，BC′，小红要使平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”应平移多少距离（即线段BB'的长）？

【分析】（1）根据定义添加一组邻边相等即可；

（2）先利用平行四边形的判定定理得平行四边形，再利用“等邻边四边形”定义得邻边相等，得出结论；

（3）由平移的性质易得BB′＝AA′，A′B′∥AB，A′B′＝AB＝4，B′C′＝BC＝3，A′C′＝AC＝5，再利用“等邻边四边形”定义分类讨论，由勾股定理得出结论．

解：（1）AB＝BC或BC＝CD或AD＝CD或AB＝AD．

答案：AB＝AD．

（2）①正确，理由为：

∵四边形的对角线互相平分，

∴这个四边形是平行四边形，

∵四边形是“等邻边四边形”，

∴这个四边形有一组邻边相等，

∴这个“等邻边四边形”是菱形；

②正确，理由为：一组对边平行，另一组对边相等可得到：两组对边相等，则该四边形是平行四边形，所以根据“邻边相等的平行四边形为菱形”推知：一组对边平行，另一组对边相等的“等邻边四边形”是菱形；

③不正确，理由为：有两个内角为直角的“等邻边四边形”不是平行边形时，该结论不成立；

④正确，理由为：一组对边平行，另一组对边相等可得到：两组对边相等，则该四边形是平行四边形，所以根据“邻边相等的平行四边形为菱形”推知：一组对边平行，另一组对边相等的“等邻边四边形”是菱形；再由由一内角是直角的菱形为正方形推知，④的说法正确．

故答案是：①②④；

（3）∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，

∴AC＝5，

∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，

∴BB′＝AA′，A′B′∥AB，A′B′＝AB＝4，B′C′＝BC＝3，A′C′＝AC＝5，

（I）如图1，当AA′＝AB时，BB′＝AA′＝AB＝4；

（II）如图2，当AA′＝A′C′时，BB′＝AA′＝A′C′＝5；

（III）当A′C′＝BC′＝5时，

如图3，延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB，

∵BB′平分∠ABC，

∴∠ABB′＝∠ABC＝45°，

∴∠BB′D＝′∠ABB′＝45°

∴B′D＝BD，

设B′D＝BD＝x，

则C′D＝x+1，BB′＝x，

∵在Rt△BC′D中，BD2+C′D2＝BC′2

∴x2+（x+1）2＝52，

解得：x1＝3，x2＝﹣4（不合题意，舍去），

∴BB′＝x＝3

（Ⅳ）当BC′＝AB＝4时，如图4，与（Ⅲ）方法一同理可得：BD2+C′D2＝BC′2，

设B′D＝BD＝x，

则x2+（x+1）2＝32，

解得：x1＝，x2＝（不合题意，舍去），

∴BB′＝x＝；

综上所述，要使平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”应平移3或．

25．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2＝0．

（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；

（2）当抛物线y＝kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；

（3）将（2）中的抛物线向右平移m（3≤m≤6）个单位，与x轴的两个交点分别为A（x1，0），B（x2，0），若＝+，求M的取值范围．

【分析】（1）分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况．当该方程为一元二次方程时，根的判别式△≥0，方程总有实数根；

（2）通过解kx2+（2k+1）x+2＝0得到k＝1，由此得到该抛物线解析式为y＝x2+3x+2，结合图象回答问题．

（3）抛物线向右平移m（3≤m≤6）个单位后的解析式为y＝（x+﹣m）2﹣，令y＝0，解方程求得x1＝m﹣1，x2＝m﹣2，代入＝+，求得M＝＝，根据3≤m≤6即可求得M的取值．

【解答】（1）证明：①当k＝0时，方程为x+2＝0，所以x＝﹣2，方程有实数根，

②当k≠0时，∵△＝（2k+1）2﹣4k×2＝（2k﹣1）2≥0，即△≥0，

∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；

（2）解：令y＝0，则kx2+（2k+1）x+2＝0，

解关于x的一元二次方程，得x1＝﹣2，x2＝﹣，

∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，

∴k＝1．

∴该抛物线解析式为y＝x2+3x+2，

由图象得到：当y1＞y2时，a＞1或a＜﹣4．

（3）解：∵抛物线解析式为y＝x2+3x+2＝（x+）2﹣

∴抛物线向右平移m（3≤m≤6）个单位后的解析式为y＝（x+﹣m）2﹣，

令y＝0，则（x+﹣m）2﹣＝0，

解得x1＝m﹣1，x2＝m﹣2，

∵＝+，

∴M＝＝，

∵3≤m≤6，

∴≤M≤．

26．如图，已知抛物线y＝mx2﹣8mx﹣9m与x轴交于A，B两点，且与y轴交于点C（0，﹣3），过A，B，C三点作⊙O′，连接AC，BC．

（1）求⊙O′的圆心O′的坐标；

（2）点E是AC延长线上的一点，∠BEC的平分线CD交⊙O′于点D，求点D的坐标，并直接写出直线BC和直线BD的解析式；

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB＝∠CBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）求出点A、B的坐标，利用O′为AB的中点，即可求解；

（2）证明∠O′DB＝90°，即O′D⊥AB，即可求解；

（3）分点P在直线BD下方、P在BD的上方两种情况，分别求解即可．

解：（1）y＝mx2﹣8mx﹣9m，令y＝0，解得：x＝﹣1或9，

故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（9，0），

∵过A，B，C三点作⊙O′，故O′为AB的中点，

∴点O′的坐标为（4，0）；

（2）∵AB是圆的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠BCE＝90°，

∵∠BEC的平分线为CD，

∴∠BCD＝45°，

∴∠O′DB＝90°，即O′D⊥AB，

圆的半径为AB＝5，

故点D的坐标为（4，﹣5），

设直线BC的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，

故直线BC的表达式为：y＝x﹣3，

同理可得直线BD的表达式为：y＝x﹣9；

（3）由点A、B、C的坐标得，抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3①，

①当点P（P′）在直线BD下方时，

∵∠PDB＝∠CBD，

∴DP′∥BC，则设直线DP′的表达式为：y＝x+t，

将点D的坐标代入上式并解得：t＝﹣，

故直线DP′的表达式为：y＝x﹣②，

联立①②并解得：x＝（舍去负值），

故点P的坐标为（，）；

②当点P在BD的上方时，

由BD的表达式知，直线BD的倾斜角为45°，以BD为对角线作正方形DMBN，

边MB交直线DP′于点H′，直线DP交NB边于点H，

对于直线DP′：y＝x﹣，当x＝9时，y＝﹣，即BH′＝，

根据点的对称性知：BH＝BH′＝，故点H（，0），

由点D、H的坐标得，直线DH的表达式为：y＝3x﹣17③，

联立①③并解得：x＝3或14（舍去3），

故点P的坐标为（14，25）；

故点P的坐标为：（，）或（14，25）．