2013年高考安徽卷理科数学试题及答案

 理科数学

（安徽卷） 

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设i是虚数单位.是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z＝(　　)

A．1＋i  B．1－i  C．－1＋i  D．－1－i

答案　A

解析　设z＝a＋bi，a，b∈R

代入z·i＋2＝2z，整理得：(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi

则解得因此z＝1＋i.

2．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是(　　)

A.              B.          C.          D.

答案　D

解析　赋值S＝0，n＝2

进入循环体：检验n＝2<8，

      S＝0＋＝，

  n＝2＋2＝4；

  检验n<8，

  S＝＋＝，

  n＝4＋2＝6；

  检验n<8，

  S＝＋＝，

  n＝6＋2＝8，

  检验n＝8，脱离循环体，

  输出S＝.

3．在下列命题中，不是公理的是(　　)

A．平行于同一个平面的两个平面相互平行

B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

答案　A

解析　B、C、D选项是公理．

4．“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的(　　)

A．充分不必要条件              B．必要不充分条件

C．充分必要条件              D．既不充分也不必要条件

答案　C

解析　若a＝0，f(x)＝|x|在(0，＋∞)上单调递增；

若a≠0，f(x)＝|(ax－1)x|＝

f′(x)＝；

当x>0时，若a<0，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上递增．

若a>0，由f′(x)>0解得0.

因此“a≤0”⇔“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”．

5．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是(　　)

A．这种抽样方法是一种分层抽样

B．这种抽样方法是一种系统抽样

C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差

D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数

答案　C

解析　男＝(86＋94＋88＋92＋90)＝90，

女＝(88＋93＋93＋88＋93)＝91，

s＝(42＋42＋22＋22＋02)＝8，

s＝(32＋22＋22＋32＋22)＝6.

6．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为(　　)

A．{x|x<－1或x>－lg 2}

B．{x|－1C．{x|x>－lg 2}

D．{x|x<－lg 2}

答案　D

解析　由已知条件0<10x<，解得x7．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为(　　)

A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2

B．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2

C．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1

D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1

答案　B

解析　如图，在极坐标系中圆ρ＝2cos θ与圆ρ＝2cos θ垂直于极轴的两条切线方程分别为θ＝和ρcos θ＝2.

8．函数y＝f(x)的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，xn，使得＝＝…＝，则n的取值范围为(　　)

A．{3,4}                  B．{2,3,4}

C．{3,4,5}                  D．{2,3}

答案　B

解析　过原点作直线与函数y＝f(x)的图象可以有两个、三个、四个不同的交点，因此n的取值范围是{2,3,4}．

9．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||＝·＝2，则点集{P|＝λ＋μ.|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是(　　)

A．2          B．2          C．4          D．4

答案　D

解析　由||＝||＝·＝2，

知cos∠AOB＝，又0≤∠AOB≤π，则∠AOB＝，

点集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域如图所示；

其面积为4S△AOB＝4.

10．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数是(　　)

A．3  B．4  C．5  D．6

答案　A

解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由已知x1≠x2，

且若x1即方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0有三个不同的实根．

若x1>x2，如图同理方程

3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0有三个不同实根．

二、填空题

11．若8的展开式中x4的系数为7，则实数a＝________.

答案　

解析　Tr＋1＝Cx8－rr＝arCx8－r，由8－r＝4得r＝3，由已知条件a3C＝7，则a3＝，a＝.

12．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝________.

答案　

解析　由已知条件和正弦定理得：3a＝5b，且b＋c＝2a，

则a＝，c＝2a－b＝

cos C＝＝－，又013．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．

答案　[1，＋∞)

解析　以AB为直径的圆的方程为x2＋(y－a)2＝a

由得y2＋(1－2a)y＋a2－a＝0.

即(y－a)[y－(a－1)]＝0，由已知解得a≥1.

14．如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等．设OAn＝an，若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是________．

答案　an＝

解析　由已知S梯形AnBnBn＋1An＋1

＝S梯形An＋1Bn＋1Bn＋2An＋2

S△OBn＋1An＋1－S△OBnAn

＝S△OBn＋2An＋2－S△OBn＋1An＋1，

即S△OBnAn＋S△OBn＋2An＋2

＝2S△OBn＋1An＋1

由相似三角形面积比是相似比的平方知OA＋OA＝2OA，即a＋a＝2a，

因此{a}为等差数列a＝a＋3(n－1)＝3n－2，

an＝.

15．如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．

①当0②当CQ＝时，S为等腰梯形；

③当CQ＝时，S与C1D1的交点R满足C1R＝；

④当⑤当CQ＝1时，S的面积为.

答案　①②③⑤

解析　截面S与DD1的交点为M，由平面与平面平行的性质定理知AM∥PQ，若0三、解答题

16．已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求ω的值；

(2)讨论f(x)在区间上的单调性．

解　(1)f(x)＝4coswx·sin

＝2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx

＝(sin2 ωx＋cos2 ωx)＋

＝2sin＋.

因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0.

从而有＝π，故ω＝1.

(2)由(1)知，f(x)＝2sin＋.

若0≤x≤，

则≤2x＋≤.

当≤2x＋≤.

即0≤x≤时，f(x)单调递增；

当≤2x＋≤，

即≤x≤时，f(x)单调递减．

综上可知，f(x)在区间上单调递增，

在区间上单调递减．

17．设函数f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a>0，区间I＝{x|f(x)>0}．

(1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；

(2)给定常数k∈(0,1)，当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值．

解　(1)因为方程ax－(1＋a2)x2＝0(a>0)有两个实根x1＝0，x2＝.

故f(x)>0的解集为{x|x1因此区间I＝，

I的长度为.

(2)设d(a)＝，

则d′(a)＝.

令d′(a)＝0，得a＝1.

由于0d′(a)>0，d(a)单调递增；

当1d′(a)<0，d(a)单调递减．

所以当1－k≤a≤1＋k时，

d(a)的最小值必定在a＝1－k或a＝1＋k处取得．

而＝＝<1.

故d(1－k)因此当a＝1－k时，d(a)在区间[1－k,1＋k]上取得最小值.

18．设椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上．

(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；

(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上．

(1)解　因为焦距为1，所以2a2－1＝，解得a2＝.

故椭圆E的方程为＋＝1.

(2)证明　设P(x0，y0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，

其中c＝.

由题设知x0≠c，则直线F1P的斜率kF1P＝.

直线F2P的斜率kF2P＝.

故直线F2P的方程为y＝(x－c)．

当x＝0时，y＝，即点Q坐标为.

因此，直线F1Q的斜率为kF1Q＝.

由于F1P⊥F1Q，所以kF1P·kF1Q＝·＝－1.

化简得y＝x－(2a2－1)①

将①代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限．

解得x0＝a2，y0＝1－a2.

即点P在定直线x＋y＝1上．

19．如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°.

(1)证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；

(2)求cos∠COD.

(1)证明　设面PAB与面PCD的交线为l.

因为AB∥CD，AB不在面PCD内，所以AB∥面PCD.

又因为AB⊂面PAB，面PAB与面PCD的交线为l，所以AB∥l.

由直线AB在底面上而l在底面外可知，

l与底面平行．

(2)解　设CD的中点为F，

连接OF，PF.

由圆及等腰三角形的性质知，∠COD＝2∠COF，OF⊥CD.

因为OP⊥底面，CD⊂底面，所以OP⊥CD.

又OP∩OF＝O，故CD⊥面OPF.

又CD⊂面PCD，因此面OPF⊥面PCD.

从而直线OP在面PCD上的射影为直线PF.

故∠OPF为OP与面PCD所成的角．

由题设，∠OPF＝60°.

设OP＝h，则OF＝OP·tan∠OPF＝h·tan 60°＝h.

根据题设有∠OCP＝22.5°，

得OC＝＝.

由1＝tan 45°＝和tan 22.5°>0，

可解得tan 22.5°＝－1.

因此OC＝＝(＋1)h.

在Rt△OCF中，cos∠COF＝＝＝－.

故cos∠COD＝cos(2∠COF)＝2cos2∠COF－1

＝2(－)2－1＝17－12.

20．设函数fn(x)＝－1＋x＋＋＋…＋(x∈R，n∈N*)．证明：

(1)对每个n∈N*，存在唯一的xn∈，满足fn(xn)＝0；

(2)对任意p∈N*，由(1)中xn构成的数列{xn}满足0证明　(1)对每个n∈N*，当x>0时，

fn′(x)＝1＋＋…＋>0.

故fn(x)在(0，＋∞)内单调递增．

由于f1(1)＝0，当n≥2时，

fn(1)＝＋＋…＋>0.故fn(1)>0.

所以存在唯一的xn∈，满足fn(xn)＝0.

(2)当x>0时，fn＋1(x)＝fn(x)＋>fn(x)，

故fn＋1(xn)>fn(xn)＝fn＋1(xn＋1)＝0.

由f(n＋1)(x)在(0，＋∞)内单调递增知xn＋1故{xn}为单调递减数列．

从而对任意n，p∈N*，xn＋p对任意p∈N*，由于

fn(xn)＝－1＋xn＋＋…＋＝0.①

fn＋p(xn＋p)＝－1＋xn＋p＋＋…＋＋＋…＋＝0.②

①式减去②式并移项，利用0＝－<.

因此，对任意p∈N*，都有021．某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由和张老师负责．已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数)．假设和张老师分别将各自活动通知的信息、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到．记该系收到或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.

(1)求该系学生甲收到或张老师所发活动通知信息的概率；

(2)求使P(X＝m)取得最大值的整数m.

解　(1)因为事件A：“学生甲收到所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互的事件，所以与相互．由于P(A)＝P(B)＝＝，故P()＝P()＝1－.因此学生甲收到活动通知信息的概率P＝1－2＝.

(2)当k＝n时，m只能取n，有P(X＝m)＝P(X＝n)＝1.

当k此时P(X＝m)＝＝.

当k≤m＜t时，P(X＝m)≤P(X＝m＋1)⇔CC≤CC⇔(m－k＋1)2≤(n－m)(2k－m)⇔m≤2k－.假如k≤2k－则当(k＋1)2能被n＋2整除时．

k≤2k－<2k＋1－≤t.

故P(X＝m)在m＝2k－和

m＝2k＋1－处达最大值；

当(k＋1)2不能被n＋2整除时．

P(X＝m)在m＝2k－处达最大值．

(注：[x]表示不超过x的最大整数)．

下面证明k≤2k－因为1≤k＝≥0.

而2k－－n＝－<0.

故2k－因此k≤2k－<1.