双曲线专题及答案

（1）与双曲线有共同的渐近线，且过点（－3，2）；

（2）与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）

分析：设双曲线方程为－=1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程

解法一：（1）设双曲线的方程为－=1，

由题意，得 

解得a2=，b2=4

所以双曲线的方程为－=1

（2）设双曲线方程为－=1

由题意易求c=2

又双曲线过点（3，2），

∴－=1

又∵a2+b2=（2）2，

∴a2=12，b2=8

故所求双曲线的方程为－=1

解法二：（1）设所求双曲线方程为－＝λ（λ≠0），

将点（－3，2）代入得λ＝，

所以双曲线方程为－＝

（2）设双曲线方程为－＝1，

将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为－＝1

点评：求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用若已知双曲线的渐近线方程ax±by=0，可设双曲线方程为a2x2－b2y2=λ（λ≠0）

例2   设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围

分析：由|PM|－|PN|=2m，得||PM|－|PN||=2|m|知点P的轨迹是双曲线，由点P到x轴、y轴距离之比为2，知点P的轨迹是直线，由交轨法求得点P的坐标，进而可求得m的取值范围

解：设点P的坐标为（x，y），依题意得=2，

即y=±2x（x≠0）                  ①

因此，点P（x，y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线，

从而得  ||PM|－|PN||<|MN|=2

∵||PM|－|PN||=2|m|>0，

∴0<|m|<1

因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上

故－=1                 ②

将①代入②，并解得x2=，

∵1－m2>0，∴1－5m2>0

解得0<|m|<，

即m的取值范围为（－，0）∪（0，）

评述：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力解决此题的关键是用好双曲线的定义

例3  已知∈[0,π], 设讨论随值的变化，方程x2sin+y2cos=1表示的曲线形状

解：(1)=0时，两直线y=1和y= ─1; 

(2)=π/2时，两直线x=1和x=─1;

(3)0<<π/2时，焦点在x轴上的椭圆;

(4)=π/4时，半径为的圆;

(5)π/4<<π/2时，焦点在y轴上的椭圆;

(6)π/2<<π时，焦点在x轴上的椭圆

点评：本题主要考查椭圆双曲线方程的形式和分类讨论思想

例5  已知双曲线的方程为, 直线通过其右焦点F2，且与双曲线的右支交于A、B两点，将A、B与双曲线的左焦点F1连结起来，求|F1A|·|F1B|的最小值

解：设A(x1,y1),B(x2,y2),

A到双曲线的左准线x= ─= ─的距离d=|x1+|=x1+，

由双曲线的定义，=e=,

∴|AF1|=(x1+)=x1+2,

同理，|BF1|=x2+2,

∴|F1A|·|F1B|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+(x1+x2

双曲线的右焦点为F2(,0), 

(1)当直线的斜率存在时设直线AB的方程为：y=k(x─)，

由消去y得  (1─4k2)x2+8k2x─20k2─4=0,

∴x1+x2=,  x1x2= ─, 

代入(1)整理得

|F1A|·|F1B|=+4=+4

=+4=+

∴|F1A|·|F1B|>;

(2)当直线AB垂直于x轴时，容易算出|AF2|=|BF2|=,

∴|AF1|=|BF1|=2a+=(双曲线的第一定义), ∴|F1A|·|F1B|=

由(1), (2)得：当直线AB垂直于x轴时|F1A|·|F1B| 取最大值

例6  24已知双曲线的方程是16x2－9y2=144

（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；

（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小

解：（1）由16x2－9y2=144得－=1，

∴a=3，b=4，c=5焦点坐标F1（－5，0），F2（5，0），离心率e=，渐近线方程为y=±x

（2）||PF1|－|PF2||=6，cos∠F1PF2= 

== =0

∴∠F1PF2=90°