基于MATLAB的多变量优化问题

MATLAB在多变量优化问题的应用

【摘要】实际生活中我们有许多地方需要用到数学中的一些最值运算，而有些问题我们无法进行计算，因此就有了优化设计理论这门学科，优化理论是一门实践性很强的学科，广泛应用于生产管理、军事指挥和科学试验等各种领域，为了更好的学习这门课程，为我们所用，MATLAB优化工具箱提供了对各种优化问题的一个完整的解决方案，可用于解决工程中的最优化问题，包括非线性方程求解、极小值问题、最小二乘问题等。

一、问题的提出

    MATLAB具有强大的科学计算与视化功能、简单易用、开放式的可扩展环境，编写简单，编程效率高，易学易懂，将MATLAB应用到解决最优化问题的模块中学习，利用客观、视图、计算等功能对最优化问题模块做出最简洁有效的解答。

二、在多变量优化问题的应用

1.问题一：运用MATLAB软件编写多变量优化问题求解

采用的算法：牛顿法

程序框图：

目标函数图形：

MATLAB程序：

clear

x=-10:0.5:10;

y=x;

[X,Y]=meshgrid(x,y);

Z=(X-4).^2+(Y+2).^2+1;

surf(X,Y,Z)

syms t s;

f=(t-4)^2+(s+2)^2+1;

[x,mf]=minNT(f,[-1 5],[t s])

function [x,minf]=minNT(f,x0,var,eps)

format long;

if nargin==3

    eps=1.0e-6;

end

tol=1;

x0=transpose(x0);

while tol>eps

    gradf =-jacobian(f,var);

    jacf=jacobian(gradf,var);

    v=Funval(gradf,var,x0);

    tol=norm(v);

    pv=Funval(jacf,var,x0);

    p=-inv(pv)*transpose(v);

    x1=x0+p;

    x0=x1;

end

x=x1;

minf=Funval(f,var,x);

format short;

function fv = Funval(f,varvec,varval)

var = findsym(f);

varc = findsym(varvec);

s1 = length(var);

s2 = length(varc);

m =floor((s1-1)/3+1);

varv = zeros(1,m);

if s1~= s2

for i=0: ((s1-1)/3)

k = findstr(varc,var(3*i+1));

index = (k-1)/3;

varv(i+1) = varval(index+1);

end

fv = subs(f,var,varv);

else

fv = subs(f,varvec,varval);

end

运行结果：x*=[4, -2]     f(x*)=1

2.问题二：运用MATLAB软件编写多变量优化问题求解

采用的算法：修正牛顿法

目标函数图形：

MATLAB程序：

clc

clear

x0=[-1 5]';

[x,val,k]=revisenm('fun','gfun','Hess',x0)

x=-10:0.5:10; % 生成函数图形

y=x;

[X,Y]=meshgrid(x,y);

Z=X.^3+(X-4).^2+(Y+2).^2+1;

surf(X,Y,Z) 

function f=fun(x)

f=x(1)^3+(x(1)-4)^2+(x(2)+2)^2+1;

function g=gfun(x)

g=[3*(x(1)^2)+2*(x(1)-4),2*(x(2)+2)]';

function He=Hess(x)

n=length(x);

He=zeros(n,n);

He=[6*x(1)+2, 0;

0, 2 ];

function [x,val,k]=revisenm(fun,gfun,Hess,x0)

n=length(x0); maxk=150;

rho=0.55;sigma=0.4; tau=0.0;

k=0; epsilon=1e-5;

while(k  gk=feval(gfun,x0);  % 计算梯度

  muk=norm(gk)^(1+tau);

  Gk=feval(Hess,x0); % 计算Hesse阵 

 Ak=Gk+muk*eye(n);

  dk=-Ak\\gk; %解方程组Gk*dk=-gk, 计算搜索方向

  if(norm(gk)  m=0; mk=0;

  while(m<20) %用Armijo搜索求步长

    if(feval(fun,x0+rho^m*dk)  mk=m; break;

    end

    m=m+1;

  end

  x0=x0+rho^mk*dk;

  k=k+1;

end

x=x0;

val=feval(fun,x);

运行结果：x*=[1.3333, -2]     f(x*)=10.4815

三、结论

    MATLAB的应用范围非常广，除了在优化问题中的应用之外，它还包括信号和图像处理、通讯、控制系统设计、测试和测量、财务建模和分析以及计算生物学等众多应用领域。扩展了MATLAB环境。以解决这些应用领域内特定类型的问题。可以看出通过以上两个例子，对优化问题做出了合理的解决。

四、心得

    经过几周的优化理论与设计课程的学习，发现忘记了一些基本的优化知识，而后对这方面的知识进行加深，优化算法在今后的学习和论文撰写中将会常常用到。本门课程学习到了一些常用算法、EXCEL优化以及MATLAB优化等，通过小组成员的讨论和分工合作，完成了两份大作业，总之，本次课程收获很多，意义颇深，同时感谢徐老师和张老师细心教导，对您的感激千言万语也无法表达，对您的祝福百十万年也不会改变--老师，祝您万事如意！