福建师范大学网络教育学位考试概率论考试大纲

福建师范大学申请成人高考教育学士学位考试

数学与应用数学专业

《概率论》课程考试大纲

概率论是一门研究随机现象规律的数学学科，是数学的一个重要分支，也是现代科技人才必须掌握的工具课。通过该课程的学习，促使学生系统地获得概率论的基本知识，必要的基础理论和掌握常用的分析方法。考试目的在于全面考核成人高等教育本科毕业生是否达到本考试大纲所规定的各项要求。

I　考试要求

第一章 随机事件和概率

知识要点：

样本空间，随机事件的概念。事件的关系及运算，事件的和，积，差运算，互斥事件与对立事件。

频率，概率。概率的公理化体系，概率的性质。古典概型。

条件概率的概念。乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式。

事件性的概念。三个事件的两两与相互。

基本要求：

1．理解样本空间，随机事件的概念，掌握事件的关系及运算。能熟练运用事件的和，积，差运算表示未知的事件。

2．了解概率的公理化体系，掌握概率的基本性质。熟练掌握概率的加法公式。会计算古典概型问题的概率。

3．理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式。

4．理解事件性的概念，掌握用事件性进行概率计算。

第二章 随机变量及其分布

知识要点：

随机变量的概念，离散型随机变量，离散型随机变量的分布列，常见的离散型随机变量分布：二项分布，Poisson　分布，Bernoulli概型。

随机变量分布函数的概念，分布函数的性质，连续型随机变量的概念，连续型随机变量的概率密度函数，概率密度函数的性质，常见的连续型随机变量分布：均匀分布，指数分布，正态分布，随机变量函数的分布。

基本要求：

１．理解随机变量，离散型随机变量的概念，理解重复试验的概念。掌握计算有关事件概率的方法。掌握０－１分布，掌握Poisson分布及其应用，掌握二项分布及其应用。

２．理解分布函数的概念，理解连续性随机变量及其概率密度的概念。掌握概率密度与分布函数的关系，分布函数与密度函数的性质，掌握均匀分布和指数分布及其应用。

３．掌握正态分布及其应用，会求简单随机变量函数的概率分布。

第三章随机变量及其分布

知识要点：

二维随机变量联合分布函数的概念，二维离散型随机变量的联合分布律，二维连续型随机变量的联合密度函数。

边际分布，二维离散型随机变量的边缘分布律，二维连续型随机变量的边缘密度函数。

离散型随机变量的条件分布律，连续型随机变量的条件密度函数，相互随机变量的概念，离散型随机变量相互的充要条件，连续型随机变量相互的充要条件。

基本要求：

１．理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数的概念及性质，理解二维离散型随机变量的联合分布律及性质，二维连续型随机变量的联合密度函数及性质，会利用二维概率分布求有关事件的概率。

２．理解边缘分布，条件分布。理解边缘密度，条件密度。会求二维离散型随机变量的边缘分布，边缘分布律。会求二维连续型随机变量的边缘分布，边缘密度。         

３．理解随机变量性的概念，掌握离散型和连续型随机变量性的条件。

４．理解二维均匀分布，理解维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义。

第四章随机变量的数字特征

知识要点：

数学期望的概念，离散型随机变量的数学期望，连续型随机变量的数学期望，随机变量函数的数学期望，数学期望的性质，几种重要随机变量的数学期望。

方差的概念，方差的性质，几种重要随机变量的方差。切比雪夫不等式。

协方差，相关系数的概念，协方差，相关系数的计算公式。矩，协方差矩阵的概念。

基本要求：

１．理解随机变量的数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数）的概念，并会运用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征，掌握常用分布的数字特征。

２．会根据随机变量的联合概率分布求其函数的数学期望和方差。　　　　　　　　　　　

３．会根据随机变量的联合概率分布求其相关系数，理解相关系数取特殊值的概率含义。了解切比雪夫不等式。

第五章大数定律及中心极限定理 

知识要点：

依概率收敛的概念，马尔科夫大数定律、切比雪夫大数定律、贝努利大数定律、辛钦大数定律。中心极限定理。

基本要求：

１．了解马尔科夫大数定律、切比雪夫大数定律、贝努利大数定律、辛钦大数定律成立的条件和结论。

２．了解同分布的中心极限定理，德莫佛—拉普拉斯中心极限定理(二项分布以正态分布为极限分布的定理)的应用条件和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。

II　教材和教学参考书

教材：概率论与数理统计，华中科技大学数学系，高等教育出版社，2005年。

参考教材：

1. 概率论，复旦大学编，人民教育出版社，1979年。

2. 概率论及其应用，王梓坤，科学出版社，1979年。

成人高等教育本科毕业生学士学位概率论考试（样题）

一、填空题（每个空格3分，共30分）

    1、已知，，，则        。  

    2、设件产品中有件是不合格品，从这件产品中任取2件产品。则2件都是不合格品的概率为       ，2件中有1件合格品、1件不合格品的概率为         。

3、掷骰子次，则出现点数之和的期望值为         。

4、设随机变量，相互，服从区间上的均匀分布，服从二项分布。令，则=          ， =          。

5、设随机变量的密度函数为，设表示对的10次观察中事件出现的次数，则＝          ，          。

6、如果随机变量和满足，则=    。 

7、设随机变量与同分布，的密度函数为，设两个事件与相互，。则＝           。

二、（10分）有两箱同类零件，第一箱有50个，其中10个一等品，第二箱有30个，其中18个一等品。现任取一箱，从中任取零件两次，每次取一个，取后不放回。

求：（1）第二次取到的零件是一等品的概率；

（2）在第一次取到一等品的条件下，第二次取到一等品的条件概率；

（3）两次取到的都不是一等品的概率。

三、（10分）设有10件产品，其中有两件次品，今从中连取三次，每次任取一件不放回，以表示所取得的次品数，试求：

（1）的分布列；

（2）的分布列。

四、（10分）设随机变量服从上的均匀分布，求方程有实根的概率。

五、（10分）一种电子管的使用寿命（单位：小时）的概率密度函数为

设某种仪器中装有5个这种工作相互的电子管，求：

（1）使用最初1500小时没有一个电子管损坏的概率；

（2）这段时间内至少有两个电子管损坏的概率。

六、（15分）设随机变量的密度函数为。

求：（1）常数；

（2）的分布函数；

（3）的数学期望和方差。

七、（15分）已知某种疾病患者的自然痊愈率为0.4. 为检验一种新药对该种疾病的有效性,给 120个病人服用该新药,且规定若起码5成的服用病人被治好则认为该药物有效,反之则认为无效. 试求: 

1) 新药完全无效,但经过试验后被认为有效的概率;

2) 虽然新药有效,且把治愈率提高到0.8, 但通过试验被否定的概率.

附:标准正态分布表