2015年全国高中数赛模拟试题15

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共分.

1．已知函数()()2

3

x x f x a a a =-+()01a a >≠且在区间[]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是

2．在四棱锥P ABCD -中，已知四边形ABCD 是矩形，且4,3,5AB BC PA PB PC PD ======,AC 与BD 交于点O ，M 为边PC 的中点，则OM 与平面PBC 所成角为

3．将{}1,2,,9M = 中的任意三个互不相同的数作乘积，则所有这些乘积之和S 等于 4．已知曲线C 上任意一点到点()0,1A 与直线4x =的距离之和等于5，对于给定的点(),0B b ，在曲线上恰有三对不同的点关于点B 对称，则b 的取值范围是

5．设方程3

310x x --=的三个实根是()123123,,x x x x x x <<．则()()()323231x x x x x x -+--=

6．已知正实数,,x y z 满足3xyz xy yz zx x y z ++++++=，则()u xyz x y z =++的最大值为

7．设方程()10

10

1310x x +-=的个复根分别为1210,,,x x x ，则

11221010

111x x x x x x +++= 8．将编号为1,2,,9 的几颗珍珠随机固定在一串项链上，假设每颗珍珠的距离相等，记项链上所有珍珠编号之差的绝对值之和为T ，则T 取得最小值的放法的概率是

二、解答题：本大题共3小题，共56分.

9.（本小题满分16分）. 已知数列{}n a 满足12a =，()()

()()2*

2

13512432n

k k a n n n N k k k n n =+=∈++++∑．

证明：11n

k k

a =<<

∑

10.（本小题满分20分）设椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 且倾斜角为θ的直线l 与椭圆C 交于点,A B ．若113cos ,355F A BF θ== ，且23808

45

ABF S =△

⑴ 求椭圆C 的方程；

⑵ 若,P Q 是椭圆C 的有准线上的两个动点，且10PQ =，求1F PQ △的内切圆圆心

M 的轨迹方程.

11.（本小题满分20分）设(),1,2,,,2,,2i x R i n n m N m +

∈=≥∈≥ 且

1

n

i

i x

T ==∑，其中,,,k a m T 为给定

的正实数，求1

n

i W ==的值域

（时间：9:40-12:10 满分：180）

一、（本小题满分40分）

在Rt ABC △中，已知CD 为斜边AB 上的高，12,,I I I 分别为,,ABC ADC BDC △△△的内心，IE AB ⊥于点E ，直线AI 与BC ，BI 与AC ，MN 与CD 分别交于点,,N M Q ．

求证：(1)12QE I I ⊥且12QE I I =； (2) //QE CI 且QE CI =．

二、（本小题满分40分）

设[]()4,101,2,,i x i n ∈= ．试求111

n

n

i

i i i i i x S x x x ==+=++∑∑的最大值和最小值（规定11n x x +=）.

三、（本小题满分50分）

11个兴趣班，若干个学生参与（可重复参与），每个兴趣班人数相同（招满，人数未知）．已知任意九个兴趣班包括了全体学生，而任意八个兴趣班没有包括全体学生．求学生总人数的最小值．

四、（本小题满分50分）

对任意一个正整数M ，设其十进制表达为12k a a a .

证明：存在*

n N ∈，使得3n

的十进制表达的前k 位是12k a a a

第一试参考解答

（时间：8:00-9:20 满分：120）

1．已知函数()(

)2

3

x x f x a a a =-+()01a a >≠且在区间[]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是

2．在四棱锥P ABCD -中，已知四边形ABCD 是矩形，且4,3,5AB BC PA PB PC PD ======,AC 与BD 交于点O ，M 为边PC 的中点，则OM 与平面PBC 所成角为

3．将{}1,2,,9M = 中的任意三个互不相同的数作乘积，则所有这些乘积之和S 等于

4．已知曲线C 上任意一点到点()0,1A 与直线4x =的距离 之和等于5，对于给定的点(),0B b ，在曲线上恰有三对不同的点关于点B 对称，则b 的取值范围是

5．设方程3

310x x --=的三个实根是()123123,,x x x x x x <<．则()()()323231x x x x x x -+--= 0

6．已知正实数,,x y z 满足3xyz xy yz zx x y z ++++++=，则()u xyz x y z =++的最大值为

7．设方程()10

10

1310x x +-=的个复根分别为1210,,,x x x ，则

11221010

111x x x x x x +++= 1700

8．将编号为1,2,,9 的几颗珍珠随机固定在一串项链上，假设每颗珍珠的距离相等，记项链上所有珍珠编号之差的绝对值之和为T ，则T 取得最小值的放法的概率是

二、解答题：本大题共3小题，共56分.

9.（本小题满分16分）. 已知数列{}n a 满足12a =，()()

()()2*2

13512432n

k k a n n

n N k k k n n =+=∈++++∑． 证明：33

1116

log

2

3n

n

k k

a n a n =+<<

∑

10.（本小题满分20分）设椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 且倾斜角为

θ的直线l 与椭圆C 交于点,A B ．若113cos ,355F A BF θ== ，且23808

45

ABF S =△

⑴ 求椭圆C 的方程；

⑵ 若,P Q 是椭圆C 的有准线上的两个动点，且10PQ =，求1F PQ △的内切圆圆心

M 的轨迹方程.

11.（本小题满分20分）设(),1,2,,,2,,2i x R i n n m N m +∈=≥∈≥ 且1

n

i i x T ==∑，其中,,,k a m T 为给定

的正实数，求1

n

i W ==的值域

2015年全国高中数赛模拟试题14

加试参考解答

（时间：9:40-12:10 满分：180）

一、（本小题满分40分）

在Rt ABC △中，已知CD 为斜边AB 上的高，12,,I I I 分别为,,ABC ADC BDC △△△的内心，

IE AB ⊥于点E ，直线AI 与BC ，BI 与AC ，MN 与CD 分别交于点,,N M Q ．

求证：(1)12QE I I ⊥且12QE I I =；

(2) //QE CI 且QE CI =．

二、（本小题满分40分）

设[]()4,101,2,,i x i n ∈= ．试求111n

n i i i i i i x S x x x ==+=++∑∑的最大值和最小值（规定11n x x +=）.

三、（本小题满分50分）

11个兴趣班，若干个学生参与（可重复参与），每个兴趣班人数相同（招满，人数未知）．已知任意九个兴趣班包括了全体学生，而任意八个兴趣班没有包括全体学生．求学生总人数的最小值．

四、（本小题满分50分）

对任意一个正整数M ，设其十进制表达为12k a a a . 证明：存在*n N ，使得3n

的十进制表达的前k 位是12k a a a 证明：先证明一个引理．