勾股定理逆定理及综合应用

教学目标：

　　掌握勾股定理逆定理，并能结合勾股定理进行综合应用.

教学内容解析：

　　1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．

　　2. 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用的勾股数

　 　　有3、4、5；6、8、10；5、12、13等.

　　3. 应用勾股定理的逆定理时，先计算较小两边的平方和，再把它和最大边的平方比较.

　　4. 判定一个直角三角形，除了可根据定义去证明它有一个直角外，还可以采用勾股定理的逆定理，即

　 　　去证明三角形两条较短边的平方和等于较长边的平方，这是代数方法在几何中的应用.

例题解析：

　　【例1】如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.

　　分析：根据题目所给数据特征，联想勾股数，连接AC，可实现四边形向三角形转化，并运用勾股定理的逆定理可判定△ACD是直角三角形.

　　解：连接AC，在Rt△ABC中，

　　　　AC2=AB2＋BC2=32＋42=25， ∴ AC=5.

　　　　在△ACD中，∵ AC2＋CD2=25＋122=169，

　　　　而 AB2=132=169，

　　　　∴ AC2＋CD2=AD2，∴ ∠ACD=90°．

　　　　故S四边形ABCD=S△ABC＋S△ACD=AB·BC＋AC·CD=×3×4＋×5×12=6＋30=36.

　　答：四边形ABCD的面积为：36.

　　【例2】如下图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇测得离B艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？

　　分析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”：（1）△ABC是什么类型的三角形？（2）走私艇C进入我领海的最近距离是多少？（3）走私艇C最早会在什么时间进入？这样问题就可迎刃而解.

　　解：设MN交AC于E，则∠BEC=900.

　　　　又AB2+BC2=52+122=169=132=AC2，

　　　　∴△ABC是直角三角形，∠ABC=900.

　　　　又∵MN⊥CE，∴走私艇C进入我领海的最近距离是线段CE的长，

　　　　则CE2+BE2=144，（13-CE）2+BE2=25，得26CE=288，

　　　　∴CE=， ÷13=≈0.85（小时）， 0.85×60=51（分）.

　　　　9时50分+51分=10时41分.

　　答：走私艇最早在10时41分进入我国领海.

　　【例3】如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB.

　　解：设AD=x米，则AB为（10+x）米，

　　　　AC为（15-x）米，BC为5米，

　　　　∴(x+10)2+52=(15-x)2，

　　　　解得x=2，

　　　　∴AB=10+x=12（米）

　　答：树高AB为12米。

　　【例4】如图所示，有一块塑料模板ABCD，长为10㎝，宽为4㎝，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)并在AD上平行移动：

　　①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.

　　②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延

　　　长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2㎝？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.

　　解：①设AP=x，则根据题意可得

　　　　　化简可得

　　　　　解得x=2或8

　　　　　答：存在，AP=2或8.

　　　　②过点E作BC边的垂线可转化为①，解得AP=4.

　　【例5】如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE=BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由.

　　解：由勾股定理得AE2=25，EF2=5，AF2=20，∵AE2= EF2 +AF2，∴△AEF是直角三角形.

　　【例6】如图，已知等腰△ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求△ABC的周长.

　　解：由BD2+DC2=122+162=202=BC2，得CD⊥AB，又AC=AB=BD+AD=12+AD，

　　　　在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2，即(12+AD)2=AD2+162，解得AD=，

　　　　故△ABC的周长为：2AB+BC=cm

　　【例7】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．

　　解：如下图，将△APC绕点C旋转，使CA与CB重合，即△APC≌△BEC,

　　　　∴△PCE为等腰直角三角形，∴∠CPE=45°，PE2=PC2+CE2=8. 又∵PB2=1，BE2=9，

　　　　∴PE2+ PB2= BE2,

　　　　则∠BPE=90°，∴∠BPC=135°.