【高考调研】2014届高考数学总复习 第八章 立体几何 课时作业45(含解析)理 新人教A版

1．如图是2013年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一呈现出来的图形是

( )

答案 A

解析 该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A.

2．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是

( )

A ．27

B ．28

C ．29

D ．30

答案 B

解析 观察归纳可知第n 个三角形数为1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n n ＋12

，

∴第七个三角形数为

7×7＋12

＝28. 3．因为对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)是增函数， 而y ＝log 12

x 是对数函数，所以y ＝log 12

x 是增函数，

上面的推理错误的是

( )

A ．大前提

B ．小前提

C ．推理形式

D ．以上都是

答案 A

解析 y ＝log a x 是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错误．选A.

4．(2012·江西)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2

＋b 2

＝3，a 3

＋b 3

＝4，a 4

＋b 4

＝7，a 5

＋b 5

＝11，…，则a 10

＋b 10

＝

( )

A ．28

B ．76

C ．123

D ．199

答案 C

解析 记a n

＋b n

＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；

f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)

＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10

＋b 10

＝123.

5．(2013·衡水调研卷)已知a n ＝(13

)n

，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：

a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9

……

记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)＝

( )

A ．(13)67

B ．(13)68

C ．(13)111

D ．(13

)112

答案 D

解析 该三角形所对应元素的个数为1,3,5，…， 那么第10行的最后一个数为a 100，

第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝(13

)112

.

6．设f (x )＝1＋x

1－x ，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f (f k (x ))，k ＝1，2，…，则f 2 013(x )

等于

( )

A ．－1x

B ．x C.

x －1

x ＋1

D.1＋x

1－x

答案 D

解析 计算：f 2(x )＝f (1＋x 1－x )＝1＋1＋x 1－x 1－1＋x 1－x ＝－1x ，f 3(x )＝f (－1

x )＝1－1x 1＋

1x

＝x －1x ＋1

，f 4(x )＝

1＋

x －1

x ＋11－x －1x ＋1

＝x ，f 5(x )＝f 1(x )＝1＋x 1－x ，归纳得f 4k ＋1(x )＝1＋x 1－x ，k ∈N *

，从而f 2 013(x )＝1＋x 1－x . 7．某纺织厂的一个车间技术工人m 名(m ∈N *

)，编号分别为1,2,3，…，m ，有n 台(n

∈N *

)织布机，编号分别为1,2,3，…，n ，定义记号a ij ：若第i 名工人操作了第j 号织布机，规定a ij ＝1，否则a ij ＝0，则等式a 41＋a 42＋a 43＋…＋a 4n ＝3的实际意义是

A ．第4名工人操作了3台织布机

B ．第4名工人操作了n 台织布机

C ．第3名工人操作了4台织布机

D ．第3名工人操作了n 台织布机 答案 A

解析 a 41＋a 42＋a 43＋…＋a 4n ＝3中的第一下标4的意义是第四名工人，第二下标1,2，…，n 表示第1号织布机，第2号织布机，……，第n 号织布机，根据规定可知这名工人操作了三台织布机．

8．已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式： x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4

x 2≥3， x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27

x 3≥4，…，

类比有x ＋a x

n ≥n ＋1(n ∈N *

)，则a ＝ ( )

A ．n

B ．2n

C ．n 2

D ．n n

答案 D

解析 第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝1，第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝4，第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33

，归纳可以知道a ＝n n

.

9．给出下列命题：

命题1：点(1,1)是直线y ＝x 与双曲线y ＝1

x

的一个交点；

命题2：点(2,4)是直线y ＝2x 与双曲线y ＝8

x

的一个交点；

命题3：点(3,9)是直线y ＝3x 与双曲线y ＝27

x

的一个交点；

……

请观察上面命题，猜想出命题n (n 是正整数)为________．

答案 点(n ，n 2

)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n 3

x

的一个交点

解析 点(n ，n 2

)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n 3

x

的一个交点，观察题中给出的命题易知，

命题n 中交点坐标为(n ，n 2

)，直线方程为y ＝nx ，双曲线方程为y ＝n 3

x

.

10．(2011·陕西理)观察下列等式

1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49

……

照此规律，第n 个等式为________．

答案 n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2

解析 每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n 行最左侧的数为n ；每行数的个数分别为1、3、5、…，则第n 行的个数为2n －1.所以第n 行数依次是n 、n ＋1、n ＋2、…、3n －2.其和为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.

11．(2013·九江市联考)已知P (x 0，y 0)是抛物线y 2

＝2px (p >0)上的一点，过P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：

在y 2

＝2px 两边同时对x 求导，得：

2yy ′＝2p ，则y ′＝p y ，所以过P 的切线的斜率：k ＝p y 0

.

试用上述方法求出双曲线x 2

－y 2

2＝1在P (2，2)处的切线方程为________．

答案 2x －y －2＝0

解析 用类比的方法对y 2

2＝x 2

－1两边同时对x 求导得，yy ′＝2x ，∴y ′＝2x 0y 0＝

2×22＝2.

∴切线方程为y －2＝2(x －2)，∴2x －y －2＝0.

12．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有________个小正方形．

答案 28

解析 设第n 个图中小正方形个数为a n ，

则a 1＝3，a 2＝a 1＋3＝6，a 3＝a 2＋4＝10，a 4＝a 3＋5＝15，a 5＝a 4＋6＝21，a 6＝a 5＋7＝28.

答案 a

m ＋n

＋b

m ＋n

>a m b n ＋a n b m

(a ，b >0，a ≠b ，m ，n >0)

再分析指数间的关系，可得准确的推广形式：a

m ＋n

＋b

m ＋n

>a m b n ＋a n b m

(a ，b >0，a ≠b ，m ，

n >0)．

14．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2

，周长C (r )＝2πr ，若将r 看做(0，＋∞)上的变量，则(πr 2

)′＝2πr .①

①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．

对于半径R 的球，若将R 看做(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：_______________________________________________________________；

②式可用语言叙述为_____________________________________________． 答案 ①(43

πR 3)′＝4πR 2

②球的体积函数的导数等于球的表面积函数

15．已知数列{a n }为等差数列，则有等式a 1－2a 2＋a 3＝0，a 1－3a 2＋3a 3－a 4＝0，a 1－4a 2

＋6a 3－4a 4＋a 5＝0.

(1)若数列{a n }为等比数列，通过类比，则有等式________．

(2)通过归纳，试写出等差数列{a n }的前n ＋1项a 1，a 2，…，a n ，a n ＋1之间的关系为________． 答案 (1)a 1a －2

2a 3＝1，a 1a －32a 33a －1

4＝1，a 1a －42a 63a －4

4a 5＝1 (2)C 0

n a 1－C 1

n a 2＋C 2n a 3－…＋(－1)n C n

n a n ＋1＝0

解析 因等差数列与等比数列之间的区别是前者是加法运算，后者是乘法运算，所以类比规律是有第一级运算转化到高一级运算，从而解出第(1)问；通过观察发现，已知等式的系数与二项式系数相同，解出第(2)问．

16．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类

比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，______，______，

T 16

T 12

成等比数列． 答案

T 8T 4 T 12T 8

解析 对于等比数列，通过类比，在等比数列{b n }中前n 项积为T n ，则T 4＝b 1b 2b 3b 4，T 8

＝b 1b 2…b 8，T 12＝b 1b 2…b 12，T 16＝b 1b 2…b 16，因此T 8T 4＝b 5b 6b 7b 8，T 12T 8＝b 9b 10b 11b 12，T 16T 12

＝b 13b 14b 15b 16，而T 4，T 8T 4，

T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16

，因此T 4，T 12T 8，T 16T 12

成等比数列． 17．已知函数f (x )＝

a

a 2

－1

(a x －a －x

)，其中a >0，且a ≠1.

(1)判断函数f (x )在(－∞，＋∞)上的单调性，并加以证明；

(2)判断f (2)－2与f (1)－1，f (3)－3与f (2)－2的大小关系，由此归纳出一个更一般的结论，并加以证明．

解析 (1)由已知得f ′(x )＝

a ln a a 2－1

(a x ＋a －x

)>0， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数． (2)f (2)－2>f (1)－1，f (3)－3>f (2)－2.

一般的结论为：f (n ＋1)－(n ＋1)>f (n )－n (n ∈N *

)． 证明过程如下：

事实上，上述不等式等价于f (n ＋1)－f (n )>1⇔a 2n ＋1＋1a ＋a

>1⇔(a n ＋1－1)(a n

－1)>0，在a >0

且a ≠1的条件下，(a n ＋1

－1)(a n －1)>0显然成立，故f (n ＋1)－(n ＋1)>f (n )－n (n ∈N *

)成

立．

1．自然数按下列的规律排列

则上起第2 007行，左起第2 008列的数为

( )

A．2 0072B．2 0082

C．2 006×2 007 D．2 007×2 008

答案 D

解析经观察可得这个自然数表的排列特点：

①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n2；

②第一行第n个数为(n－1)2＋1；

③第n行从第1个数至第n个数依次递减1；

④第n列从第1个数至第n个数依次递增1.

故上起第2 007行，左起第2 008列的数，应是第2 008列的第2 007个数，即为[(2 008－1)2＋1]＋2 006＝2 007×2 008.

2．已知y与x(x≤100)之间的部分对应关系如下表：

则x、y可能满足的一个关系式为________．

答案y(108－x)＝2

解析将11、12、13、14、15对应的函数值分别写成

2

97

、

2

96

、

2

95

、

2

94

、

2

93

，观察可得

以上函数值的分母依次成等差数列，设所成的等差数列为{a n}，易知分母a n＝a11＋(n－

11)·(－1)＝97－n＋11＝108－n，因此y＝2

108－x

，即y(108－x)＝2.

3.如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签2 0132的格点的坐标为________．

答案(1 007,1 006)

解析∵点(1,0)处标1＝12，点(2,1)处标9＝32点(3,2)处标25＝52，点(4,3)处标49＝72，依此类推得(1 007,1 006)处标2 0132.

4．对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“”：

23

＝⎩⎪⎨

⎪⎧

35，

33

＝⎩⎪⎨⎪

⎧

7

9

11，

43

＝⎩⎪⎨⎪⎧

13

1517

19

，……仿此，若m 3

的“数”中有一个数

是59，则m 的值为________．

答案 8

解析 依题意得这些数的立方中的分解数依次是3,5,7,9，…，且相应的加数的个数与对应的底数相同，易知从2开始的前n 个正整数的立方共用去数列{2n －1}中的项数是

n n ＋12

－1，数列{2n －1}(n ∈N )*

中的第

n n ＋12

项是n (n ＋1)－1.注意到7×8－

1<59<8×9－1，因此m ＝8.

5．已知任意一个正整数的三次幂均可表示成一些连续奇数的和，如图所示，33

可表示为7＋9＋11，我们把7、9、11叫做33

的“数因子”，若n 3

的一个“数因子”为2 013，则

n ＝________.

13

＝1 23＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19 …… 答案 45

解析 由图可知，n 3

可表示为n 个连续奇数的和，而所有正整数的“数因子”都是按照从小到大的顺序排列的，所以前n 个正整数的三次幂的“数因子”共有1＋2＋3＋…＋n ＝

n n ＋12个，因为2 013＝2×1 006＋1，故2 013是第1 007个奇数．

而

44×452＝990<1 007，45×462

＝1 035>1 007，所以443

的最大“数因子”是第990个奇数，453

的最大“数因子”是第1 035个奇数，故第1 007个奇数2 013应是453

的一个“数因子”．

6．已知扇形的圆心角为2α(定值)，半径为R (定值)，分别按图1、图2作扇形的内接矩形，若按图1作出的矩形的面积的最大值为12R 2

tan α，则按图2作出的矩形的面积的最

大值为________．

答案 R 2

tan α2

解析

将图1沿水平边翻折作出如图所示的图形，内接矩形的最大面积S ＝2·12

R 2

·tan α＝

R 2·tan α，所以图2中内接矩形的面积的最大值为R 2tan α2

.

7．(2013·哈师大附中)Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，作AD ⊥BC ，D 为垂足，BD 为AB 在

BC 上的射影，CD 为AC 在BC 上的射影，则有AB 2＋AC 2＝BC 2，AC 2＝CD ·BC 成立．直角四面体P ­ABC (即PA ⊥PB 、PB ⊥PC ，PC ⊥PA )中，O 为P 在△ABC 内的射影，△PAB 、△PBC 、△PCA

的面积分别记为S 1、S 2、S 3，△OAB 、△OBC 、△OCA 的面积分别记为S ′1，S ′2、S ′3，△ABC 的面积记为S .类比直角三角形中的射影结论，在直角四面体P ­ABC 中可得到正确结论________．(写出一个正确结论即可)

答案 S 2

1＝S 1′S (或S 2

＝S 2

1＋S 2

2＋S 2

3)

解析 空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：多面体↔多边形；面↔边；体积↔面积；二面角↔平面角；面积↔线段长，……由此，可类比得

S 21＝S ′1S (或S 2＝S 21＋S 22＋S 2

3)．

8．观察下列等式： 12

＝1， 12

－22

＝－3， 12

－22

＋32

＝6，

12

－22

＋32

－42

＝－10， …，

由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *

， 12

－22

＋32

－42

＋…＋(－1)n ＋1n 2

＝________.

答案 (－1)

n ＋1

n 2＋n

2

解析 注意到第n 个等式的左边有n 项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n ＝

n n ＋12

＝

n 2＋n

2

，注意到右边

的结果的符号的规律是：当n 为奇数时，符号为正；当n 为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)

n ＋1

n 2＋n

2

.

9．设数列{a n }是以d 为公差的等差数列，数列{b n }是以q 为公比的等比数列．将数列{a n }的相关量或关系式输入“LHQ 型类比器”左端的入口处，经过“LHQ 型类比器”后从右端的出口处输出数列{b n }的相关量或关系式，则在右侧的“？”处应该是________．

答案 B n ＝b 1×(q )

n －1

解析 注意类比的对应关系：＋→×，÷→开方，×→乘方，0→1，所以B n ＝b 1×(q )

n

－1

.

10．对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式： 22

＝1＋3,32

＝1＋3＋5,42

＝1＋3＋5＋7，…； 23

＝3＋5,33

＝7＋9＋11,43

＝13＋15＋17＋19，….

根据上述分解规律，若m 2

＝1＋3＋5＋…＋11，p 3

的分解中最小的正整数是21，则m ＋p

＝________.

答案 11

解析 由22

＝1＋3,32

＝1＋3＋5,42

＝1＋3＋5＋7，…，可知n 2

＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)．由m 2

＝1＋3＋5＋…＋11，可知m ＝6，易知53

＝21＋23＋25＋27＋29，则21是53

的分解中最小的正整数，可得p ＝5.故m ＋p ＝11.