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函数的插值方法及matlab程序

来源：动视网责编：小OO 时间：2025-09-29 23:29:15

函数的插值方法及matlab程序

6.1插值问题及其误差6.1.2与插值有关的MATLAB函数(一)POLY2SYM函数调用格式一：poly2sym(C)调用格式二：f1=poly2sym(C,'V')或f2=poly2sym(C,sym('V')),(二)POLYVAL函数调用格式：Y=polyval(P,X)(三)POLY函数调用格式：Y=poly(V)(四)CONV函数调用格式：C=conv(A,B)例6.1.2求三个一次多项式、和的积.它们的零点分别依次为0.4,0.8,1.2.解我们可以用两种MATLAB程序求之.方

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导读6.1插值问题及其误差6.1.2与插值有关的MATLAB函数(一)POLY2SYM函数调用格式一：poly2sym(C)调用格式二：f1=poly2sym(C,'V')或f2=poly2sym(C,sym('V')),(二)POLYVAL函数调用格式：Y=polyval(P,X)(三)POLY函数调用格式：Y=poly(V)(四)CONV函数调用格式：C=conv(A,B)例6.1.2求三个一次多项式、和的积.它们的零点分别依次为0.4,0.8,1.2.解我们可以用两种MATLAB程序求之.方

6.1 插值问题及其误差

6.1.2 与插值有关的MATLAB 函数

(一) POLY2SYM 函数

调用格式一：poly2sym (C)

调用格式二：f1=poly2sym(C,'V') 或 f2=poly2sym(C, sym ('V') ),

(二) POLYVAL 函数

调用格式：Y = polyval(P,X)

(三) POLY 函数

调用格式：Y = poly (V)

(四) CONV 函数

调用格式：C =conv (A, B)

例 6.1.2 求三个一次多项式、和的积.它们的零点分别依次为0.4,0.8,1.2.

解我们可以用两种MATLAB程序求之.

方法1 如输入MATLAB程序

>> X1=[0.4,0.8,1.2]; l1=poly(X1), L1=poly2sym (l1)

运行后输出结果为

l1 =

1.0000 -2.4000 1.7600 -0.3840

L1 =

x^3-12/5*x^2+44/25*x-48/125

方法2 如输入MATLAB程序

>> P1=poly(0.4);P2=poly(0.8);P3=poly(1.2);

C =conv (conv (P1, P2), P3) , L1=poly2sym (C)

运行后输出的结果与方法1相同.

(五) DECONV 函数

调用格式：[Q,R] =deconv (B,A)

(六) roots(poly(1:n))命令

调用格式：roots(poly(1:n))

(七) det(a*eye(size (A)) - A)命令

调用格式：b=det(a*eye(size (A)) - A)

6.2 拉格朗日（Lagrange）插值及其MATLAB程序

6.2.1 线性插值及其MATLAB程序

例6.2.1 已知函数在上具有二阶连续导数，且满足条件.求线性插值多项式和函数值，并估计其误差.

解输入程序

>> X=[1,3];Y=[1,2]; l01= poly(X(2))/( X(1)- X(2)), l11= poly(X(1))/( X(2)- X(1)), l0=poly2sym (l01),l1=poly2sym (l11), P = l01* Y(1)+ l11* Y(2),

L=poly2sym (P),x=1.5; Y = polyval(P,x)

运行后输出基函数l0和l1及其插值多项式的系数向量P（略）、插值多项式L和插值Y为

l0 = l1 = L = Y =

-1/2*x+3/2 1/2*x-1/2 1/2*x+1/2 1.2500

输入程序

>> M=5;R1=M*abs((x-X(1))* (x-X(2)))/2

运行后输出误差限为

R1 =

1.8750

例6.2.2 求函数e在上线性插值多项式，并估计其误差.

解输入程序

>> X=[0,1]; Y =exp(-X) ,

l01= poly(X(2))/( X(1)- X(2)),

l11= poly(X(1))/( X(2)- X(1)), l0=poly2sym (l01),

l1=poly2sym (l11), P = l01* Y(1)+ l11* Y(2), L=poly2sym (P),

运行后输出基函数l0和l1及其插值多项式的系数向量P和插值多项式L为

l0 = l1 = P =

-x+1 x -0.6321 1.0000

L =

-14234056596761/2251799813685248*x+1

输入程序

>> M=1;x=0:0.001:1; R1=M*max(abs((x-X(1)).*(x-X(2))))./2

运行后输出误差限为

R1 =

0.1250.

6.2.2 抛物线插值及其MATLAB程序

例6.2.3 求将区间 [0, π/2] 分成等份，用产生个节点，然后根据（6.9）和（6.13）式分别作线性插值函数和抛物线插值函数.用它们分别计算cos (π/6) (取四位有效数字)，并估计其误差.

解输入程序

>> X=[0,pi/2]; Y =cos(X) ,

l01= poly(X(2))/( X(1)- X(2)),

l11= poly(X(1))/( X(2)- X(1)), l0=poly2sym (l01),

l1=poly2sym (l11),

P = l01* Y(1)+ l11* Y(2), L=poly2sym (P),x=pi/6;

Y = polyval(P,x)

运行后输出基函数l0和l1及其插值多项式的系数向量P、插值多项式和插值为

l0 =

-5734161139222659/9007199254740992*x+1

l1 =

5734161139222659/9007199254740992*x

P =

-0.6366 1.0000

L =

-5734161139222659/9007199254740992*x+1

Y =

0.6667

输入程序

>> M=1;x=pi/6; R1=M*abs((x-X(1))*(x-X(2)))/2

运行后输出误差限为

R1 =

0.2742.

（2）输入程序

>> X=0:pi/4:pi/2; Y =cos(X) ,

l01= conv (poly(X(2)),

poly(X(3)))/(( X(1)- X(2))* ( X(1)- X(3))),

l11= conv (poly(X(1)),

poly(X(3)))/(( X(2)- X(1))* ( X(2)- X(3))),

l21= conv (poly(X(1)),

poly(X(2)))/(( X(3)- X(1))* ( X(3)- X(2))),

l0=poly2sym (l01),l1=poly2sym (l11),l2=poly2sym (l21),

P = l01* Y(1)+ l11* Y(2) + l21* Y(3), L=poly2sym (P),x=pi/6; Y = polyval(P,x)

运行后输出基函数l01、l11和l21及其插值多项式的系数向量P、插值多项式L和插值Y为

l0 =

228155022448185/281474976710656*x^2-2150310427208497/11259906842624*x+1

l1 =

-228155022448185/140737488355328*x^2+5734161139222659/2251799813685248*x

l2 =

228155022448185/281474976710656*x^2-5734161139222659/9007199254740992*x

P =

-0.3357 -0.1092 1.0000

L=

-60483135780875/18014398509481984*x^2-7870612110600739/72057594037927936*x+1

Y =

0.8508

输入程序

>> M=1;x=pi/6; R2=M*abs((x-X(1))*(x-X(2)) *(x-X(3)))/6

运行后输出误差限为

R2 =

0.0239.

6.2.3 次拉格朗日（Lagrange）插值及其MATLAB程序

例6.2.4 给出节点数据，，，，作三次拉格朗日插值多项式计算，并估计其误差.

解输入程序

>> X=[-2,0,1,2]; Y =[17,1,2,17];

p1=poly(X(1)); p2=poly(X(2));

p3=poly(X(3)); p4=poly(X(4));

l01= conv ( conv (p2, p3), p4)/(( X(1)- X(2))* ( X(1)- X(3)) * ( X(1)- X(4))),

l11= conv ( conv (p1, p3), p4)/(( X(2)- X(1))* ( X(2)- X(3)) * ( X(2)- X(4))),

l21= conv ( conv (p1, p2), p4)/(( X(3)- X(1))* ( X(3)- X(2)) * ( X(3)- X(4))),

l31= conv ( conv (p1, p2), p3)/(( X(4)- X(1))* ( X(4)- X(2)) * ( X(4)- X(3))),

l0=poly2sym (l01),

l1=poly2sym (l11),l2=poly2sym (l21), l3=poly2sym (l31),

P = l01* Y(1)+ l11* Y(2) + l21* Y(3) + l31* Y(4),

运行后输出基函数l0，l1，l2和l3及其插值多项式的系数向量P（略）为

l0 =

-1/24*x^3+1/8*x^2-1/12*x，l1 =1/4*x^3-1/4*x^2-x+1

l2 =

-1/3*x^3+4/3*x，l3 =1/8*x^3+1/8*x^2-1/4*x

输入程序

>> L=poly2sym (P),x=0.6; Y = polyval(P,x)

运行后输出插值多项式和插值为

L = Y =

x^3+4*x^2-4*x+1 0.2560.

输入程序

>> syms M; x=0.6;

R3=M*abs((x-X(1))*(x-X(2)) *(x-X(3)) *(x-X(4)))/24

运行后输出误差限为

R3 =

91/2500*M

即

R3 ， .

6.2.5 拉格朗日多项式和基函数的MATLAB程序

求拉格朗日插值多项式和基函数的MATLAB主程序

function [C, L,L1,l]=lagran1(X,Y)

m=length(X); L=ones(m,m);

for k=1: m

V=1;

for i=1:m

if k~=i

V=conv(V,poly(X(i)))/(X(k)-X(i));

end

L1(k,:)=V; l(k,:)=poly2sym (V)

end

C=Y*L1;L=Y*l

例6.2.5 给出节点数据，，，，，，作五次拉格朗日插值多项式和基函数，并写出估计其误差的公式.

解在MATLAB工作窗口输入程序

>> X=[-2.15 -1.00 0.01 1.02 2.03 3.25];

Y=[17.03 7.24 1.05 2.03 17.06 23.05];

[C, L ,L1,l]= lagran1(X,Y)

运行后输出五次拉格朗日插值多项式L及其系数向量C，基函数l及其系数矩阵L1如下

C =

-0.2169 0.08 2.1076 3.3960 -4.5745 1.0954

L =

1.0954-4.5745*x+3.3960*x^2+2.1076*x^3+0.08*x^4-0.2169*x^5

L1 =

-0.0056 0.0299 -0.0323 -0.0292 0.0382 -0.0004

0.0331 -0.1377 -0.0503 0.6305 -0.4852 0.0048

-0.0693 0.2184 0.3961 -1.2116 -0.3166 1.0033

0.0687 -0.1469 -0.5398 0.6528 0.9673 -0.0097

-0.0317 0.0358 0.2530 -0.0426 -0.2257 0.0023

0.0049 0.0004 -0.0266 0.0001 0.0220 -0.0002

l =

[ -0.0056*x^5+0.0299*x^4-0.0323*x^3-0.0292*x^2+0.0382*x-0.0004]

[ 0.0331*x^5-0.1377*x^4-0.0503*x^3+0.6305*x^2-0.4852*x+0.0048]

[ -0.0693*x^5+0.2184*x^4+0.3961*x^3-1.2116*x^2-0.3166*x+1.0033]

[ 0.0687*x^5-0.1469*x^4-0.5398*x^3+0.6528*x^2+0.9673*x-0.0097]

[ -0.0317*x^5+0.0358*x^4+0.2530*x^3-0.0426*x^2-0.2257*x+0.0023]

[ 0.0049*x^5+0.0004 *x^4-0.0266*x^3+0.0001*x^2+0.0220*x-0.0002]

估计其误差的公式为

，.

6.2.6 拉格朗日插值及其误差估计的MATLAB程序

拉格朗日插值及其误差估计的MATLAB主程序

function [y,R]=lagranzi(X,Y,x,M)

n=length(X); m=length(x);

for i=1:m

z=x(i);s=0.0;

for k=1:n

p=1.0; q1=1.0; c1=1.0;

for j=1:n

if j~=k

p=p*(z-X(j))/(X(k)-X(j));

end

q1=abs(q1*(z-X(j)));c1=c1*j;

end

s=p*Y(k)+s;

end

y(i)=s;

end

R=M*q1/c1;

例 6.2.6 已知，，用拉格朗日插值及其误差估计的MATLAB主程序求的近似值，并估计其误差.

解在MATLAB工作窗口输入程序

>> x=2*pi/9; M=1; X=[pi/6 ,pi/4, pi/3];

Y=[0.5,0.7071,0.8660]; [y,R]=lagranzi(X,Y,x,M)

运行后输出插值y及其误差限R为

y = R =

0.34 8.8610e-004.

6.3 牛顿（Newton）插值及其MATLAB程序

6.3.3 牛顿插值多项式、差商和误差公式的MATLAB程序

求牛顿插值多项式和差商的MATLAB主程序

function [A,C,L,wcgs,Cw]= newploy(X,Y)

n=length(X); A=zeros(n,n); A(:,1)=Y';

s=0.0; p=1.0; q=1.0; c1=1.0;

for j=2:n

for i=j:n

A(i,j)=(A(i,j-1)- A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1));

end

b=poly(X(j-1));q1=conv(q,b); c1=c1*j; q=q1;

end

C=A(n,n); b=poly(X(n)); q1=conv(q1,b);

for k=(n-1):-1:1

C=conv(C,poly(X(k))); d=length(C); C(d)=C(d)+A(k,k);

end

L(k,:)=poly2sym(C); Q=poly2sym(q1);

syms M

wcgs=M*Q/c1; Cw=q1/c1;

例6.3.3 给出节点数据，，，，，,作五阶牛顿插值多项式和差商，并写出其估计误差的公式.

解（1）保存名为newpoly.m的M文件.

（2）输入MATLAB程序

>> X=[-2.15 -1.00 0.01 1.02 2.03 3.25];

Y=[17.03 7.24 1.05 2.03 17.06 23.05];

[A,C,L,wcgs,Cw]= newdcw (X,Y)

运行后输出差商矩阵A,五阶牛顿插值多项式L及其系数向量C, 插值余项公式L及其向量Cw如下

A =

17.0300 0 0 0 0 0

7.2400 -8.5130 0 0 0 0

1.0500 -6.1287 1.1039 0 0 0

2.0300 0.9703 3.5144 0.7604 0 0

17.0600 14.8812 6.8866 1.1129 0.0843 0

23.0500 4.9098 -4.4715 -3.5056 -1.0867 -0.2169

C =

-0.2169 0.08 2.1076 3.3960 -4.5745 1.0954

L =

-7813219284746629/360287970163968*x^5+5838495517807/9007199254740992*x^4+593245028711263/281474976710656*x^3+3823593773002357/11259906842624*x^2-321902673270315/703687441776*x+30832211299/281474976710656

wcgs =

1/720*M*(x^6-79/25*x^5-14201/2500*x^4+4934097026900981/281474976710656*x^3+154500712237335/35184372088832*x^2-81702380559269/562949953421312*x+5212760744134241/360287970163968)

Cw =

0.0014 -0.0044 -0.0079 0.0243 0.0061 -0.0202 0.0002

即

L =1.0954-4.5745*x+3.3960*x^2+2.1076*x^3+0.08*x^4-0.2169*x^5.

估计其误差的公式为

，.

例6.3.4 求函数e在上五阶牛顿插值多项式，估计其误差的公式和误差限公式.用它们计算，并估计其误差.

解（1）输入MATLAB程序

>> X=2:4/5:6; Y=-7*exp(-X/5);

[A,C,L,wcgs,Cw]= newploy(X,Y), x1=2:0.001:6;

M=max(-7*exp(-x1/5)/(5^6)),

运行后输出差商矩阵A, 五阶牛顿插值多项式L及其系数向量C, 插值余项公式L及其向量Cw如下

A =

-4.6922 0 0 0 0 0

-3.9985 0.8672 0 0 0 0

-3.4073 0.7390 -0.0801 0 0 0

-2.9035 0.6297 -0.0683 0.0049 0 0

-2.4742 0.5366 -0.0582 0.0042 -0.0002 0

-2.1084 0.4573 -0.0496 0.0036 -0.0002 0.0000

C =

0.0000 -0.0004 0.00 -0.13 1.3985 -6.9991

L =

9721799720875/1152921504606846976*x^5-35039940987815/9223372036854775808*x^4+160742008798419/180********481984*x^3-1251152213853501/9007199254740992*x^2+62981319043287/4503599627370496*x-3940156929554013/562949953421312

wcgs =

1/720*M*(x^6-24*x^5+1172/5*x^4-5952/5*x^3+7276634802928539/2199023255552*x^2-5237461186650519/1099511627776*x+60859393547121/2199023255552)

Cw =

0.0014 -0.0333 0.3256 -1.6533 4.5959 -6.6159 3.8438

M =

-1.3494e-004

（2）输入MATLAB程序

>> syms x

wcgs1=1/720*M*1/720*M*(x^6-24*x^5+1172/5*x^4-5952/5*x^3+7276634802928539/2199023255552*x^2-5237461186650519/1099511627776*x+60859393547121/2199023255552),

运行后输出误差限公式wcgs1如下

wcgs1 =

5565367633581443/158********8528675187087900672*x^6-166********744329/198********566084398385987584*x^5+1630652716639362799/198********5660843983859875840*x^4-5175791923074199/123794003928538027491242240*x^3+40497147813610772932297365501777/348449143727040986555980101308530944*x^2-2914839697032385527000117117/174224571863520493293247799005065324265472*x+338704914310283926665276375603/348449143727040986555980101308530944

（3）输入MATLAB程序

>> x=3.156;

y=9721799720875/1152921504606846976*x^5-35039940987815/9223372036854775808*x^4+160742008798419/180********481984*x^3-1251152213853501/9007199254740992*x^2+62981319043287/4503599627370496*x-3940156929554013/562949953421312

wcgs2=1/720*M*(x^6-24*x^5+1172/5*x^4-5952/5*x^3+7276634802928539/2199023255552*x^2-5237461186650519/1099511627776*x+60859393547121/2199023255552)

运行后输出的近似值y，及其误差限wcgs2如下

y =

-3.7237

wcgs2 =

-2.47e-007

6.3.4 牛顿插值及其误差估计的MATLAB程序

牛顿插值及其误差估计的MATLAB主程序

function [y,R]= newcz(X,Y,x,M)

n=length(X); m=length(x);

for t=1:m

z=x(t); A=zeros(n,n);A(:,1)=Y';

s=0.0; p=1.0; q1=1.0; c1=1.0;

for j=2:n

for i=j:n

A(i,j)=(A(i,j-1)- A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1));

end

q1=abs(q1*(z-X(j-1)));c1=c1*j;

end

C=A(n,n);q1=abs(q1*(z-X(n)));

for k=(n-1):-1:1

C=conv(C,poly(X(k)));d=length(C); C(d)=C(d)+A(k,k);

end

y(k)= polyval(C, z);

end

R=M*q1/c1;

例6.3.5 已知，，用牛顿插值法求的近似值，估计其误差，并与例 6.2.6的计算结果比较.

解方法1（牛顿插值及其误差估计的MATLAB主程序）输入MATLAB程序

>> x=2*pi/9;M=1; X=[pi/6 ,pi/4, pi/3];

Y=[0.5,0.7071,0.8660]; [y,R]= newcz(X,Y,x,M)

运行后输出

y = R =

0.34 8.8610e-004

方法2 （求牛顿插值多项式和差商的MATLAB主程序）输入MATLAB程序

>> x=2*pi/9; X=[pi/6 ,pi/4, pi/3];

Y=[0.5,0.7071,0.8660]; M=1;

[A,C,L,wcgs,Cw]= newploy(X,Y), y=polyval(C,x)

运行后输出结果

A =

0.5000 0 0

0.7071 0.7911 0

0.8660 0.6070 -0.3516

C =

-0.3516 1.2513 -0.0588

L =

-158********08357/4503599627370496*x^2+1408883391907005/11259906842624*x-132********4691/2251799813685248

wcgs =

1/6*M*(x^3-3/4*x^2*pi+4012734077357799/2251799813685248*x-7757769783530263/18014398509481984)

Cw =

0.1667 -0.3927 0.2970 -0.0718

y =

0.34

上述两种方法计算y的结果相同.

6.3.5 牛顿插值法的MATLAB综合程序

求牛顿插值多项式、差商、插值及其误差估计的MATLAB主程序

function [y,R,A,C,L]=newdscg(X,Y,x,M)

n=length(X); m=length(x);

for t=1:m

z=x(t); A=zeros(n,n);A(:,1)=Y';

s=0.0; p=1.0; q1=1.0; c1=1.0;

for j=2:n

for i=j:n

A(i,j)=(A(i,j-1)- A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1));

end

q1=abs(q1*(z-X(j-1)));c1=c1*j;

end

C=A(n,n);q1=abs(q1*(z-X(n)));

for k=(n-1):-1:1

C=conv(C,poly(X(k)));

d=length(C);C(d)=C(d)+A(k,k);

end

y(k)= polyval(C, z);

end

R=M*q1/c1;L(k,:)=poly2sym(C);

例6.3.6 给出节点数据，，，，作三阶牛顿插值多项式，计算，并估计其误差.

解首先将名为newdscg.m的程序保存为M文件，然后在MATLAB工作窗口输入程序

>> syms M,X=[-4,0,1,2]; Y =[27,1,2,17]; x=-2.345;

[y,R,A,C,P]=newdscg(X,Y,x,M)

运行后输出插值y及其误差限公式R，三阶牛顿插值多项式P及其系数向量C，差商的矩阵A如下

y =

22.3211

R =

1323077530165133/562949953421312*M（即R =2.3503*M）

A=

27.0000 0 0 0

1.0000 -6.5000 0 0

2.0000 1.0000 1.5000 0

17.0000 15.0000 7.0000 0.9167

C =

0.9167 4.2500 -4.1667 1.0000

P =

11/12*x^3+17/4*x^2-25/6*x+1

例6.3.7 将区间 [0,π/2] 分成等份，用产生个节点，求二阶和三阶牛顿插值多项式和.用它们分别计算sin (π/7) (取四位有效数字)，并估计其误差.

解首先将名为newdscg.m的程序保存为M文件，然后在MATLAB工作窗口输入程序

>> X1=0:pi/4:pi/2; Y1 =sin(X1); M=1; x=pi/7;

X2=0:pi/6:pi/2; Y2 =sin(X2);

[y1,R1,A1,C1,P2]=newdscg(X1,Y1,x,M),

[y2,R2,A2,C2,P3]=newdscg(X2,Y2,x,M)

运行后输出插值y1=和y2=及其误差限R1和R2，二阶和三阶牛顿插值多项式P2和P3及其系数向量C1和C2，差商的矩阵A1和A2如下

y1 =

0.4548

R1 =

0.0282

A1 =

0 0 0

0.7071 0.9003 0

1.0000 0.3729 -0.3357

C1 =

-0.3357 1.10 0

P2 =

-30241569470437/9007199254740992*x^2+163820246322191/140737488355328*x

y2 =

0.4345

R2 =

9.3913e-004

A2 =

0 0 0 0

0.5000 0.9549 0 0

0.8660 0.6991 -0.2443 0

1.0000 0.2559 -0.4232 -0.1139

C2 =

-0.1139 -0.0655 1.0204 0

P3 =

-1025666884451963/9007199254740992*x^3-4717668559161127/72057594037927936*x^2+4595602396951547/4503599627370496*x

6.4 埃尔米特（Hermite）插值及其MATLAB程序

6.4.3 埃尔米特插值多项式和误差公式的MATLAB程序

求埃尔米特插值多项式和误差公式的MATLAB主程序

function [Hc, Hk,wcgs,Cw]= hermite (X,Y,Y1)

m=length(X); n=M1;s=0; H=0;q=1;c1=1; L=ones(m,m); G=ones(1,m);

for k=1:n+1

V=1;

for i=1:n+1

if k~=i

s=s+(1/(X(k)-X(i)));

V=conv(V,poly(X(i)))/(X(k)-X(i));

end

h=poly(X(k)); g=(1-2*h*s); G=g*Y(k)+h*Y1(k);

end

H=H+conv(G,conv(V,V)); b=poly(X(k));b2=conv(b,b);

q=conv(q,b2); t=2*n+2;

Hc=H;Hk=poly2sym (H); Q=poly2sym(q);

end

for i=1:t

c1=c1*i;

end

syms M,wcgs=M*Q/c1; Cw=q/c1;

例6.4.3 给定函数在点处的函数值, ，和导数值，，且，求函数在点处的五阶埃尔米特插值多项式和误差公式，计算并估计其误差.

解（1）保存名为hermite.m的M文件.

（2）在MATLAB工作窗口输入程序

>>X=[pi/6,pi/4,pi/2]; Y=[0.5,0.7071,1];

Y1=[0.8660,0.7071,0]; [Hc, Hk,wcgs,Cw]= hermite (X,Y,Y1)

运行后输出五阶埃尔米特插值多项式Hk及其系数向量Hc，误差公式wcgs及其系数向量Cw如下

Hc =

1.0e+003 *

0.1912 -0.9273 1.6903 -1.4380 0.5751 -0.0866

Hk =

6725828781679091/35184372088832*x^5-4078286086775209/4398046511104*x^4+7434035571017927/4398046511104*x^3-3162205449085973/2199023255552*x^2+5058863928652835/8796093022208*x-6094057839958843/703687441776

wcgs =

1/720*M*(x^6-11/6*x^5*pi+7446708432019761/562949953421312*x^4-4363745503235773/281474976710656*x^3+21569239021155/2199023255552*x^2-7178073637328281/2251799813685248*x+3758430567659515/9007199254740992)

Cw =

0.0014 -0.0080 0.0184 -0.0215 0.0136 -0.0044 0.0006

当时的误差公式为

R=0.001 4* x^6-0.008 0*x^5+0.018 4*x^4-0.021 5*x^3+0.013 6*x^2-0.004 4*x+0.000 6

（3）在MATLAB工作窗口输入程序

>> x=1.567;M=1;

Hk=6725828781679091/35184372088832*x^5-4078286086775209/4398046511104*x^4+7434035571017927/4398046511104*x^3-3162205449085973/2199023255552*x^2+5058863928652835/8796093022208*x-6094057839958843/703687441776,

wcgs=1/720*M*(x^6-11/6*x^5*pi+7446708432019761/562949953421312*x^4-4363745503235773/281474976710656*x^3+21569239021155/2199023255552*x^2-7178073637328281/2251799813685248*x+3758430567659515/9007199254740992)

运行后输出的近似值Hk及其误差wcgs如下

Hk =

2.5265

wcgs =

1.3313e-008

6.5 分段插值及其MATLAB程序

6.5.1 高次插值的振荡和MATLAB程序

例6.5.1 作下列函数在指定区间上的次拉格朗日插值多项式的图形，并讨论插值多项式的次数与误差的关系.

（1），；（2），.

解将计算次拉格朗日插值多项式的值的MATLAB程序保存名为lagr1.m的M文件.

function y=lagr1(x0,y0,x)

n=length(x0); m=length(x);

for i=1:m

z=x(i);s=0.0;

for k=1:n

p=1.0;

for j=1:n

if j~=k

p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));

end

s=p*y0(k)+s;

end

y(i)=s;

end

（1）现提供作次拉格朗日插值多项式的图形的MATLAB程序，保存名为 Li1.m 的M文件

m=150; x=-pi:2*pi/(m-1): pi;

y=tan(cos((3^(1/2)+sin(2*x))./(3+4*x.^2)));

plot(x,y,'k-'),

gtext('y=tan(cos((sqrt(3)+sin(2x))/(3+4x^2)))'),pause

n=3; x0=-pi:2*pi/(3-1):pi; y0=tan(cos((3^(1/2)+sin(2*x0))./(3+4*x0.^2)));

y1=lagr1(x0,y0,x);hold on,

plot(x,y1,'g<'),gtext('n=2'),pause,hold off

n=5; x0=-pi:2*pi/(n-1):pi; y0=tan(cos((3^(1/2)+sin(2*x0))./(3+4*x0.^2)));

y2=lagr1(x0,y0,x);hold on,

plot(x,y2,'b:'),gtext('n=4'),pause,hold off

n=7; x0=-pi:2*pi/(n-1):pi; y0=tan(cos((3^(1/2)+sin(2*x0))./(3+4*x0.^2)));

y3=lagr1(x0,y0,x);hold on,

plot(x,y3,'rp'),gtext('n=6'),pause,hold off

n=9; x0=-pi:2*pi/(n-1):pi; y0=tan(cos((3^(1/2)+sin(2*x0))./(3+4*x0.^2)));

y4=lagr1(x0,y0,x);hold on,

plot(x,y4,'m*'),gtext('n=8'),pause,hold off

n=11; x0=-pi:2*pi/(n-1):pi; y0=tan(cos((3^(1/2)+sin(2*x0))./(3+4*x0.^2)));

y5=lagr1(x0,y0,x);hold on,

plot(x,y5,'g:'),gtext('n=10')

title('高次拉格朗日插值的振荡')

在MATLAB工作窗口输入名为 Li1.m的M文件的文件名

>> Li1.m

回车运行后，便会逐次画出在区间上的次拉格朗日插值多项式的图形(略).

（2）在MATLAB工作窗口输入程序

m=101; x=-5:10/(m-1):5; y=1./(1+x.^2); z=0*x;plot(x,z,'r',x,y,'k-'),

gtext('y=1/(1+x^2)'),pause

n=3; x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.^2); y1=lagr1(x0,y0,x);hold on,

plot(x,y1,'g'),gtext('n=2'),pause,hold off

n=5; x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.^2); y2=lagr1(x0,y0,x);hold on,

plot(x,y2,'b:'),gtext('n=4'),pause,hold off

n=7; x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.^2); y3=lagr1(x0,y0,x);hold on,

plot(x,y3,'r'),gtext('n=6'),pause,hold off

n=9; x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.^2); y4=lagr1(x0,y0,x);hold on,

plot(x,y4,'r:'),gtext('n=8'),pause,hold off

n=11; x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.^2); y5=lagr1(x0,y0,x);hold on,

plot(x,y5,'m'),gtext('n=10')

title('高次拉格朗日插值的振荡')

回车运行后，便会逐次画出在区间上的次拉格朗日插值多项式的图形(略).

6.5.4 作有关分段线性插值图形的MATLAB程序

作有关分段线性插值图形的MATLAB主程序

function s= xxczhjt1(x0,y0,xi,x,y)

s= interp1(x0,y0,xi);

Sn= interp1(x0,y0,x0);

plot(x0,y0,'o',x0,Sn,'-',xi,s,'*',x,y,'-.')

legend('节点(xi,yi)','分段线性插值函数Sn(x)','插值点(x,s)','被插值函数y')

我们也可以直接在在MATLAB工作窗口编程序.例如，

>> x0 =-6:6; y0 =sin(x0);

xi = -6:.25:6;

yi = interp1(x0,y0,xi);

x=-6:0.001:6; y=sin(x);plot(x0,y0,'o',xi,yi,x,y,':'),

legend('节点(xi,yi)','分段线性插值函数','被插值函数y=sinx ')

title('y=sinx及其分段线性插值函数和节点的图形')

>> x0 =-6:6; y0 =cos(x0);

xi = -6:.25:6;

yi = interp1(x0,y0,xi);

x=-6:0.001:6; y=cos(x); plot(x0,y0,'o',xi,yi,x,y,':'),

legend('节点(xi,yi)','分段线性插值函数','被插值函数y=cosx ')

title('y=cosx及其分段线性插值函数和节点的图形')

例6.5.5 设函数，在区间上取等距节点, 构造分段线性插值函数，用MATLAB程序计算各小区间的中点处的值，作出节点，插值点，和的图形.

解节点的横坐标和插值点等取值与例6.5.4相同.在MATLAB工作窗口输入程序

>>x0=-1:0.2:1; y0=1./(1+25.*x0.^2);

xi=-0.9:0.2:0.9;

b=max(x0);

a=min(x0);x=a:0.001:b;

y=1./(1+25.*x.^2);

s=xxczhjt1(x0,y0,xi,x,y), title('y=1/(1+25 x^2)的分段线性插值的有关图形')

运行后屏幕显示各小区间中点处的值，出现节点，插值点，和的图形(略)

s =

Columns 1 through 4

0.048253393665 0.079411770588 0.150********000 0.35000000000000

Columns 5 through 8

0.75000000000000 0.75000000000000 0.35000000000000 0.150********000

Columns 9 through 10

.0794********

6.5.5 用MATLAB计算有关分段线性插值的误差

例6.5.8 设函数,在区间上取等距节点，构造分段线性插值函数.

(1)用MATLAB程序计算各小区间中点处的值，作出节点，插值点，和的图形；

(2) 用MATLAB程序计算各小区间中点处的值及其相对误差；

(3) 用MATLAB程序估计和在区间上的误差限.

解在MATLAB工作窗口输入程序

>>h=2*pi/9; x0=-pi:h:pi;

y0=tan(cos((sqrt(3)+sin(2*x0))./(3+4*x0.^2)));

xi=-pi+h/2:h:pi-h/2; fi=tan(cos((3^(1/2)+sin(2*xi))./(3+4*xi.^2)));

b=max(x0); a=min(x0);

x=a:0.001:b; y=tan(cos((sqrt(3)+sin(2.*x))./(3+4*x.^2)));

si=xxczhjt1(x0,y0,xi,x,y);

Ri=abs((fi-si)./fi);

xi,fi,si,Ri,i=[xi',fi',si',Ri']

title('y=tan(cos((sqrt(3)+sin(2 x))/(3+4 x^2)))的分段线性插值的有关图形')

运行后屏幕显示Ri （略），并且作出节点，插值点，和的图形(略).

在MATLAB工作窗口输入程序

>> syms x

y=tan(cos((3^(1/2)+sin(2*x))/(3+4*x^2)));yxx=diff(y,x,2),

运行后屏幕显示函数的二阶导数（略）.

在MATLAB工作窗口输入程序

>> h=2*pi/9; x=-pi:0.0001:-pi;

yxx=2*tan(cos((3^(1/2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2))).*(1+tan(cos((3.^(1/2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2))).^2).*sin((3^(1/2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2)).^2.*(2*cos(2.*x)./(3+4*x.^2)-8*(3^(1/2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2).^2.*x).^2-(1+tan(cos((3^(1/2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2))).^2).*cos((3^(1/2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2)).*(2.*cos(2.*x)./(3+4.*x.^2)-8*(3^(1/2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2).^2.*x).^2-(1+tan(cos((3^(1/2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2))).^2).*sin((3.^(1/2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2)).*(-4.*sin(2.*x)./(3+4.*x.^2)-32*cos(2.*x)./(3+4.*x.^2).^2.*x+128*(3^(1/2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2).^3.*x.^2-8*(3^(1/2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2).^2);

myxx=max(yxx), R=(h^2)* myxx/8

运行后屏幕显示myxx =和在区间上的误差限如下

myxx = R =

.027*********

6.6 分段埃尔米特插值及其MATLAB程序

6.6.2 分段埃尔米特插值的MATLAB程序

调用格式一：YI=interp1(X,Y,XI,'pchip')

调用格式二：YI=interp1(X,XI,'pchip')

例6.6.5 试用MATLAB程序计算例6.6.1中在各小区间中点处分段三次埃尔米特插值及其相对误差.

解在MATLAB工作窗口输入程序

>> h=0.2;x0=-1:h:1;y0=1./(1+25.*x0.^2); xi=-0.9:h:0.9;

fi=1./(1+25.*xi.^2); yi=interp1(x0,y0,xi,'pchip');

Ri=abs((fi-yi)./fi); xi,fi,yi,Ri,i=[xi',fi',yi',Ri']

运行后屏幕显示各小区间中点xi处的函数值fi，插值si，相对误差值Ri (略).

6.6.3 作有关分段埃尔米特插值图形的MATLAB程序

作有关分段埃尔米特插值图形的MATLAB主程序

function H=hermitetx(x0,y0,xi,x,y)

H= interp1(x0,y0,xi,'pchip');

Hn= interp1(x0,y0,x,'pchip');

plot(x0,y0,'o',x,Hn,'-',xi,H,'*',x,y,'-.')

legend('节点(xi,yi)', '分段埃尔米特插值函数','插值点(x,H)','被插值函数y')

我们也可以直接在在MATLAB工作窗口编程序，例如，

>> x0 =-6:6; y0 =sin(x0); xi = -6:.25:6;

yi = interp1(x0,y0,xi,'pchip');

x=-6:0.001:6; y=sin(x); plot(x0,y0,'o',xi,yi,x,y,':'),

legend('节点(xi,yi)','分段埃尔米特插值函数','被插值函数y=sinx')

title(' y=sinx及其分段埃尔米特插值函数和节点的图形')

>> x0 =-6:6; y0 =cos(x0);

xi = -6:.25:6;yi = interp1(x0,y0,xi,'pchip');

x=-6:0.001:6; y=cos(x); plot(x0,y0,'o',xi,yi,x,y,':'),

legend('节点(xi,yi)','分段埃尔米特插值函数','被插值函数y=cosx')

title(' y=cosx及其分段埃尔米特插值函数和节点的图形')

例6.6.6 设函数定义在区间上，节点(X(i),(X (i)))的横坐标向量X的元素是首项a=-5，末项b=5，公差h=1.5的等差数列，构造三次分段埃尔米特插值函数.把区间分成20等份，构成20个小区间，用MATLAB程序计算各小区间中点处的值，并作出节点，插值点，和的图形.

解在MATLAB工作窗口输入程序

>>x0=-5:1.5:5;

y0=1./(1+x0.^2); x1=-4.75:0.5:4.75;

x=-5:0.001:5; y=1./(1+x.^2); H= hermitetx(x0,y0,x1,x,y)

title('函数y=1/(1+x^2)及其分段埃尔米特插值函数，插值，节点(xi,yi) 的图形')

运行后屏幕显示各小区间中点处的值，出现节点，插值点，和的图形(略).

例6.6.7 设函数定义在区间上，取，按等距节点构造分段埃尔米特插值函数，用MATLAB程序计算各小区间中点处的值，作出节点，插值点，和的图形.

解记节点的横坐标插值点，.在MATLAB工作窗口输入程序

>> h=2*pi/7; x0=-pi:h:pi;

y0=0.5.*x0-cos(x0); xi=-pi+h/2:h:pi-h/2;

b=max(x0); a=min(x0); x=a:0.001:b;

y=0.5.*x-cos(x); H= hermitetx(x0,y0,xi,x,y)

title('函数y=0.5x-cos(x)及其分段埃尔米特插值函数，插值，节点(xi,yi) 的图形')

运行后屏幕显示各小区间中点处的值，出现节点，插值点，和的图形(略).

6.6.4 用MATLAB计算有关分段埃尔米特插值的误差

例6.6.8 设函数定义在区间上，取，按等距节点构造分段埃尔米特插值函数，用MATLAB程序在上计算和的误差公式和误差限.

解在MATLAB工作窗口输入程序

>> syms h,x=-1:0.0001:1;

yxxxx=150000000./(1+25.*x.^2).^5.*x.^4-4500000./(1+25.*x.^2).^4.*x.^2+15000./(1+25.*x.^2).^3;

myxxxx=max(yxxxx), R=(h^4)* abs(myxxxx/384)

运行后输出的4阶导数在区间上绝对值的最大值myxxxx和在区间上的误差公式myxxxx为

myxxxx = R =

15000 625/16*h^4

（4）在MATLAB工作窗口输入程序

>> h=0.2; R =625/16*h^4

运行后输出误差限为

R =

0.06250000000000

例6.6.9 设函数定义在区间上，取，按等距节点构造分段埃尔米特插值函数.

(1)用MATLAB程序计算各小区间中点处的值，作出节点，插值点，和的图形；

(2) 并用MATLAB程序计算各小区间中点处的值及其相对误差；

(3) 用MATLAB程序求和在区间上的误差公式和各插值的误差限.

解（1）记节点的横坐标，插值点，.在MATLAB工作窗口输入程序

>>h=2*pi/9; x0=-pi:h:pi;

y0=tan(cos((sqrt(3)+sin(2*x0))./(3+4*x0.^2)));

xi=-pi+h/2:h:pi-h/2;

fi=tan(cos((3^(1/2)+sin(2*xi))./(3+4*xi.^2)));

b=max(x0); a=min(x0); x=a:0.001:b;

y=tan(cos((3^(1/2)+sin(2.*x))./(3+4*x.^2)));

Hi= hermitetx(x0,y0,xi,x,y);

Ri=abs((fi-Hi)./fi); xi,fi,Hi,Ri,i=[xi',fi',Hi',Ri']

title('函数y=tan(cos((sqrt(3)+sin(2x))/(3+4x^2)))及其分段埃尔米特插值函数，插值，节点(xi,yi) 的图形')

运行后屏幕显示各小区间中点xi处的函数值fi，插值Hi，相对误差值Ri，并且作出节点，插值点，和的图形(略).

（2）在MATLAB工作窗口输入程序

>> syms x

y=tan(cos((3^(1/2)+sin(2*x))/(3+4*x^2)));

yxxxx=diff(y,x,4),%simple(yxxxx)

运行后屏幕显示函数的4阶导数，然后将输出的编程求和及其在区间上的误差限的MATLAB程序如下

>>syms h,x=-pi:0.0001:pi;

yxxxx=-12.*(1.+tan(cos((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3.+4.*x.^2))).^2).^2.*sin((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3.+4.*x.^2)).^3.*(2.*cos(2.*x)./(3.+4.*x.^2)-8.*(3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3.+4.*x.^2).^2.*x).^2.*(-4.*sin(2.*x)./(3.+4.*x.^2)-32.*cos(2.*x)./(3.+4.*x.^2).^2.*x+128.*(3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3.+4.*x.^2).^3.*x.^2.-8.*(3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3.+4.*x.^2).^2)+16.*(1.+tan(cos((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3.+4.*x.^2))).^2).^2.*sin((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3.+4.*x.^2)).^4.*(2.*cos(2.*x)./(3.+4.*x.^2)-8.*(3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3.+4.*x.^2).^2.*x).^4.*tan(cos((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3.+4.*x.^2)))+8.*tan(cos((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3.+4.*x.^2))).^3.*(1.+tan(cos((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3.+4.*x.^2))).^2).*sin((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2)).^4.*(2.*cos(2.*x)./(3+4.*x.^2)-8.*(3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3.+4.*x.^2).^2.*x).^4-8.*tan(cos((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3.+4.*x.^2))).*(1.+tan(cos((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3.+4*x.^2))).^2).*sin((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3.+4.*x.^2)).^2.*(2.*cos(2.*x)./(3.+4.*x.^2)-8*(3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3.+4*x.^2).^2.*x).^4+6.*(1+tan(cos((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2))).^2).*sin((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2)).*(2.*cos(2.*x)./(3+4.*x.^2)-8.*(3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2).^2.*x).^2.*(-4.*sin(2.*x)./(3+4.*x.^2)-32.*cos(2.*x)./(3+4.*x.^2).^2.*x+128.*(3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2).^3.*x.^2-8.*(3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2).^2)+(1+tan(cos((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2))).^2).*cos((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2)).*(2.*cos(2.*x)./(3+4.*x.^2)-8.*(3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2).^2.*x).^4-3.*(1+tan(cos((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2))).^2).*cos((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2)).*(-4.*sin(2.*x)./(3+4.*x.^2)-32.*cos(2.*x)./(3+4.*x.^2).^2.*x+128.*(3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2).^3.*x.^2-8.*(3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2).^2).^2-4.*(1+tan(cos((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2))).^2).*cos((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2)).*(2.*cos(2.*x)./(3+4.*x.^2)-8.*(3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2).^2.*x).*(-8.*cos(2.*x)./(3+4.*x.^2)+96.*sin(2.*x)./(3+4.*x.^2).^2.*x+768.*cos(2.*x)./(3+4.*x.^2).^3.*x.^2-48.*cos(2.*x)./(3+4.*x.^2).^2-3072.*(3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2).^4.*x.^3+384.*(3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2).^3.*x)-(1+tan(cos((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2))).^2).*sin((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2)).*(16.*sin(2.*x)./(3+4.*x.^2)+256.*cos(2.*x)./(3+4.*x.^2).^2.*x-3072.*sin(2.*x)./(3+4.*x.^2).^3.*x.^2+192.*sin(2.*x)./(3+4.*x.^2).^2-24576.*cos(2.*x)./(3+4.*x.^2).^4.*x.^3+3072.*cos(2.*x)./(3+4.*x.^2).^3.*x+98304.*(3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2).^5.*x.^4-18432.*(3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2).^4.*x.^2+384.*(3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2).^3)-12.*(1+tan(cos((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2))).^2).^2*sin((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2)).^2.*(2.*cos(2.*x)./(3+4.*x.^2)-8.*(3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2).^2.*x).^4.*cos((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2))-24.*tan(cos((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2))).^2.*(1+tan(cos((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2))).^2).*sin((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2)).^3.*(2.*cos(2.*x)./(3+4.*x.^2)-8.*(3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2).^2.*x).^2.*(-4.*sin(2.*x)./(3+4.*x.^2)-32.*cos(2.*x)./(3+4.*x.^2).^2.*x+128.*(3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2).^3.*x.^2-8.*(3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2).^2)-24.*tan(cos((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2))).^2.*(1+tan(cos((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2))).^2).*sin((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2)).^2.*(2.*cos(2.*x)./(3+4.*x.^2)-8.*(3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2).^2.*x).^4.*cos((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2))+36.*tan(cos((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2))).*(1+tan(cos((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2))).^2).*sin((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2)).*(2.*cos(2.*x)./(3+4.*x.^2)-8.*(3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2).^2.*x).^2.*cos((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2)).*(-4.*sin(2.*x)./(3+4.*x.^2)-32.*cos(2.*x)./(3+4.*x.^2).^2.*x+128.*(3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2).^3.*x.^2-8.*(3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2).^2)+6.*tan(cos((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2))).*(1+tan(cos((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2))).^2).*cos((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2)).^2.*(2.*cos(2.*x)./(3+4.*x.^2)-8.*(3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2).^2.*x).^4+6.*tan(cos((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2))).*(1+tan(cos((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2))).^2).*sin((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2)).^2.*(-4.*sin(2.*x)./(3+4.*x.^2)-32.*cos(2.*x)./(3+4.*x.^2).^2.*x+128.*(3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2).^3.*x.^2-8.*(3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2).^2).^2+8.*tan(cos((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2))).*(1+tan(cos((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2))).^2).*sin((3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2)).^2.*(2.*cos(2.*x)./(3+4.*x.^2)-8.*(3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2).^2.*x).*(-8.*cos(2.*x)./(3+4.*x.^2)+96.*sin(2.*x)./(3+4.*x.^2).^2.*x+768.*cos(2.*x)./(3+4.*x.^2).^3.*x.^2-48.*cos(2.*x)./(3+4.*x.^2).^2-3072.*(3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2).^4.*x.^3+384.*(3.^(1./2)+sin(2.*x))./(3+4.*x.^2).^3.*x)

myxx=max(yxxxx), R=(h.^4).* abs(myxx./384)

将其保存为名为myxx.m的M文件，然后在MATLAB工作窗口输入该文件名

>> myxx

运行后屏幕显示myxx =和在区间上的误差公式如下

myxx = R =

73.947068417552 1734520780029061/9007199254740992*h^4

最后在MATLAB工作窗口输入

>>h=2*pi/9; R =1734520780029061/9007199254740992*h^4

运行后屏幕显示在区间上的误差限

R =

.0457********

6.7 三次样条（Spline）及其MATLAB程序

6.7.4 用一阶导数计算的几种样条函数和MATLAB程序

计算压紧样条的MATLAB主程序

function

[m,H,lambda,mu,D,A,dY,sk]=ClampedSp (X,Y,dyo,dyn)

m=length(X);A=zeros(m,m); n=m-1;H=zeros(1,n);lambda=zeros(1,n);

mu=zeros(1,n);lambda(1)=0;A(1,1)=2;A(1,2)=lambda(1);

D=zeros(1,n);H(1)=X(2)-X(1);mu(1)=1-lambda(1);D(1)=2*dyo;

for k=1:n

hk=X(k+1)-X(k);H(k+1)=hk;

end

H=H(2:n+1);

for k=1:n-1

lambdak=H(k)/(H(k)+H(k+1)); lambda(k+1)=lambdak;

muk=1-lambda(k+1);mu(k)=muk;

dk=3*((mu(k).*(Y(k+1)-Y(k))./H(k))+(lambda(k+1).*(Y(k+2)-Y(k+1))./H(k+1)));

D(k+1)=dk;

end

D(m)=2*dyn;mu(n)=0; n;H;lambda;mu;D;

for i=1:m-1

A(i,i)=2;A(m,m)=2; A(i,i+1)=lambda(i); A(i+1,i)=mu(i);

end

dY=A\\D';

syms x

m=length(X);S=zeros(m-1,1);

for k=2:m

sk=Y(k-1)*((H(k-1)-2*X(k-1)+2*x)*(x-X(k))^2)/(H(k-1)^3)+Y(k)*((H(k-1)+2*X(k)-2*x)*(x-X(k-1))^2)/(H(k-1)^3)+dY(k-1)*((x-X(k-1))*(x-X(k))^2)/(H(k-1)^2)+dY(k)*((x-X(k))*(x-X(k-1))^2)/(H(k-1)^2)

end

例6.7.2 用计算压紧样条的MATLAB主程序ClampedSp.m求例6.7.1的问题.

解保存ClampedSp.m为M文件，输入程序

>> X=[0:2:6,10],Y=[0,16,36,54,82],dyo=8,dyn=7,

[m,H,lambda,mu,D,A,dY,sk]=ClampedSp(X,Y,dyo,dyn)

运行后输出压紧样条函数sk，X的维数m，由、、和的坐标组成的向量H、lambda和mu、D，（6.90）式的系数矩阵A，线性方程组（6.90）的解向量dY如下

sk =

2*(6-2*x)*x^2+2*x*(x-2)^2+9/4*(x-2)*x^2

sk =

2*(-2+2*x)*(x-4)^2+9/2*(10-2*x)*(x-2)^2+9/4*(x-2)*(x-4)^2+5/2*(x-4)*(x-2)^2

sk =

9/2*(-6+2*x)*(x-6)^2+27/4*(14-2*x)*(x-4)^2+5/2*(x-4)*(x-6)^2+2*(x-6)*(x-4)^2

sk =

27/32*(-8+2*x)*(x-10)^2+41/32*(24-2*x)*(x-6)^2+1/2*(x-6)*(x-10)^2+7/16*(x-10)*(x-6)^2

m =

5

H =

2 2 2 4

lambda =

0 0.5000 0.5000 0.3333

mu =

0.5000 0.5000 0.6667 0

D =

16.0000 27.0000 28.5000 25.0000 14.0000

A =

2.0000 0 0 0 0

0.5000 2.0000 0.5000 0 0

0 0.5000 2.0000 0.5000 0

0 0 0.6667 2.0000 0.3333

0 0 0 0 2.0000

dY =

8.0000

9.0000

10.0000

8.0000

7.0000

输入程序

>> x2=3,

s2=2*(-2+2*x)*(x-4)^2+9/2*(10-2*x)*(x-2)^2+9/4*(x-2)*(x-4)^2+5/2*(x-4)*(x-2)^2

x4=8,

s4=27/32*(-8+2*x)*(x-10)^2+41/32*(24-2*x)*(x-6)^2+1/2*(x-6)*(x-10)^2+7/16*(x-10)*(x-6)^2

运行后输出和的值如下

x2 = s2 = x4 = s4 =

3 25.7500 8 68.5000

例6.7.2和例6.7.1计算的结果完全相同.

计算自然样条的MATLAB主程序

function [m,H,lambda,mu,D,A,dY,sk]=NaturalSp(X,Y)

m=length(X);A=zeros(m,m); n=m-1;H=zeros(1,n);lambda=zeros(1,n);

mu=zeros(1,n);lambda(1)=1;A(1,1)=2;A(1,2)=lambda(1);

D=zeros(1,n);H(1)=X(2)-X(1);mu(1)=1;D(1)=3*(Y(2)-Y(1));

for k=1:n

hk=X(k+1)-X(k);H(k+1)=hk;

end

H=H(2:n+1);

for k=1:n-1

lambdak=H(k)/(H(k)+H(k+1)); lambda(k+1)=lambdak;

muk=1-lambda(k+1);mu(k)=muk;

dk=3*((mu(k).*(Y(k+1)-Y(k))./H(k))+(lambda(k+1).*(Y(k+2)-Y(k+1))./H(k+1)));

D(k+1)=dk;

end

D(m)= 3*(Y(m)-Y(m-1))/H(m-1);mu(n)=1; n;H;lambda;mu;D;

for i=1:m-1

A(i,i)=2;A(m,m)=2; A(i,i+1)=lambda(i); A(i+1,i)=mu(i);

end

dY=A\\D';

syms x

m=length(X);S=zeros(m-1,1);

for k=2:m

sk=Y(k-1)*((H(k-1)-2*X(k-1)+2*x)*(x-X(k))^2)/(H(k-1)^3)+Y(k)*((H(k-1)+2*X(k)-2*x)*(x-X(k-1))^2)/(H(k-1)^3)+dY(k-1)*((x-X(k-1))*(x-X(k))^2)/(H(k-1)^2)+dY(k)*((x-X(k))*(x-X(k-1))^2)/(H(k-1)^2)

end

例6.7.3 用计算自然样条的MATLAB主程序NaturalSp.m求例6.7.1的问题.

解保存ClampedSp.m为M文件，输入程序

>> X=[0:2:6,10],Y=[0,16,36,54,82],dyo=8,dyn=7,

[m,H,lambda,mu,D,A,dY,sk]=NaturalSp(X,Y)

运行后输出自然样条函数sk， X的维数m，由、、和的坐标组成的向量H、lambda和mu、D，（6.88）式的系数矩阵A，线性方程组（6.88）的解向量dY如下

sk =

2*(6-2*x)*x^2+915/172*x*(x-2)^2+117/86*(x-2)*x^2

sk =

2*(-2+2*x)*(x-4)^2+9/2*(10-2*x)*(x-2)^2+117/86*(x-2)*(x-4)^2+471/172*(x-4)*(x-2)^2

sk =

9/2*(-6+2*x)*(x-6)^2+27/4*(14-2*x)*(x-4)^2+471/172*(x-4)*(x-6)^2+333/172*(x-6)*(x-4)^2

sk =

27/32*(-8+2*x)*(x-10)^2+41/32*(24-2*x)*(x-6)^2+333/688*(x-6)*(x-10)^2+285/688*(x-10)*(x-6)^2

m = 5

H = 2 2 2 4

lambda = 1 1/2 1/2 1/3

mu = 1/2 1/2 2/3 1

D = 48 27 57/2 25 21

A =

2 1 0 0 0

1/2 2 1/2 0 0

0 1/2 2 1/2 0

0 0 2/3 2 1/3

0 0 0 1 2

dY =

915/43

234/43

471/43

333/43

285/43

输入程序

>> x2=3,

s2=2*(-2+2*x)*(x-4)^2+9/2*(10-2*x)*(x-2)^2+117/86*(x-2)*(x-4)^2+471/172*(x-4)*(x-2)^2

x4=8,

s4=s4=27/32*(-8+2*x)*(x-10)^2+41/32*(24-2*x)*(x-6)^2+333/688*(x-6)*(x-10)^2+285/688*(x-10)*(x-6)^2

运行后输出和的值如下

x2 = s2 = x 4= s4 =

3 24.6221 8 68.5581

例6.7.3和例6.7.2用的方法不同，所以计算的结果不同，但是两种方法计算的结果相近.

6.7.6 用MATLAB计算三次样条

例6.7.6 给出节点的数据如下：

	-1.00 -0.54 0.13 1.12 1. 2.06 2.54 2.82 3.50
	-2.46 -5.26 -1.87 0.05 1.65 2.69 4.56 7. 10.31

分别求在下列条件下在插值点，处的压紧三次样条插值，并显示该样条函数的有关信息：

（1）端点约束条件为，；

（2）端点约束条件为，.

解（1）输入MATLAB程序

>> X=[-1.00 -0.54 0.13 1.12 1. 2.06 2.54 2.82 3.50];

Y=[-2.46 -5.26 -1.87 0.05 1.65 2.69 4.56 7. 10.31]; XI=[-0.02 2.56];

YI= spline (X, [5,Y,29.16],XI), PP = spline (X, [5,Y,29.16])

运行后屏幕显示压紧样条分别在，处的插值和该样条函数的有关信息如下

YI =

-3.1058 4.7834

PP =

form: 'pp'

breaks: [-1 -0.5400 0.1300 1.1200 1.00 2.0600 2.5400 2.8200 3.5000]

coefs: [8x4 double]

pieces: 8

order: 4

dim: 1

（2）因为端点约束条件为，所以输入MATLAB程序

>> YI= spline (X, [0,Y,0],XI), PP= spline (X, [0,Y,0])

运行后屏幕显示压紧三次样条分别在，的插值和该样条函数的有关信息如下

YI =

-3.0192 4.7501

PP =

form: 'pp'

breaks: [-1 -0.5400 0.1300 1.1200 1.00 2.0600 2.5400 2.8200 3.5000]

coefs: [8x4 double]

pieces: 8

order: 4

dim: 1

例6.7.7 在默认端点约束条件下，用两种方法计算在下列插值点处的三次样条插值.

（1）给出节点的数据与例6.7.6相同,插值点XI=2.56；

（2）节点(X(i),Y(i))的横坐标向量X从到的整数，纵坐标向量Y=（-2.36，0.85，1.12，2.36，2.36，3，4，1.46，0.49，0.06, 0），插值点向量XI是从到的11个等分点.

解（1）输入MATLAB程序

>>X=[-1.00 -0.54 0.13 1.12 1. 2.06 2.54 2.82 3.50];

Y=[-2.46 -5.26 -1.87 0.05 1.65 2.69 4.56 7. 10.31];

XI=2.56;

Y1= spline (X, Y,XI),Y2=interp1(X,Y,XI,'spline')

运行后屏幕显示三次样条插值的两种结果如下

Y1 = 4.730 2，Y2 =4.730 2.

（2）输入MATLAB程序

>> X= -5:5; Y= [-2.36 .85 1.12 2.36 2.36 3 4 1.46 .49 .06 0];

XI = linspace(-4,4,11); Y1= spline (X, Y,XI), Y2=interp1(X,Y,XI,'spline')

运行后屏幕显示

Y1 =

0.8500 1.0203 1.8857 2.4779 2.3683 3.0000 4.0656 2.5935 0.8247 0.4074 0.0600

Y2 =

0.8500 1.0203 1.8857 2.4779 2.3683 3.0000 4.0656 2.5935 0.8247 0.4074 0.0600

例6.7.8 设函数定义在区间上，取，按等距节点构造分段三次样条函数.试用MATLAB程序计算在各小区间中点处分段三次样条插值及其相对误差.

解 .在MATLAB工作窗口输入程序

>> h=0.2;x0=-1:h:1;y0=1./(1+25.*x0.^2);xi=-0.9:h:0.9;

fi=1./(1+25.*xi.^2); yi=spline (x0,y0,xi);

Ri=abs((fi-yi)./fi); xi,fi,yi,Ri,i=[xi',fi',yi',Ri']

运行后屏幕显示各小区间中点xi处的函数值fi，插值si，相对误差值Ri(略).

6.7.7 几种作三次样条有关图像的MATLAB程序

求有关分段三次样条图形的MATLAB主程序

（一）限定端点约束条件的作图程序

function S=splinetx(x0,y0,xｊ,x,y,dy1,dyn)

S = spline(x0,[dy1,y0,dyn],xｊ);

Sn = spline(x0,[dy1,y0,dyn],x);

plot(x0,y0,'o',x,Sn,'-',xｊ,S,'*',x,y,'-.')

legend('节点(xi,yi)', '分段三次样条函数','插值点(x,S)','被插值函数y')

（二）不限定端点约束条件的作图程序

function S=splinetx1(x0,y0,xi,x,y)

S= interp1(x0,y0,xi, 'spline'); Sn= interp1(x0,y0,x, 'spline');

plot(x0,y0,'o',x,Sn,'-',xi,S,'*',x,y,'-.')

legend('节点(xi,yi)', '分段三次样条函数','插值点(x,S)','被插值函数y')

（三）自由作图程序

直接在MATLAB工作窗口编程序，例如，

>>subplot(2,2,1),x1=-8:4/3:-4,c1=sin(x1);xx1 = -8:0.1:-4;

pp1 = interp1 (x1,c1,xx1,'spline ');

cc1 =sin(xx1);%pp1 = spline (x1,c1,xx1);

plot(x1,c1,'bo',xx1,pp1,'k-',xx1,cc1,'r-.')

subplot(2,2,2)

x2=-4:4/3:-0;c2=sin(x2); xx2 = -4:0.1:0;

pp2 = interp1 (x2,c2,xx2,'spline ');

cc2=sin(xx2);plot(x2,c2,'bo',xx2,pp2,'k-',xx2,cc2,'r-.')

title('y=sinx及其三次样条插值函数,节点(xi,yi)的图形')

subplot(2,1,2)

x=-8:4/3:8;c=sin(x);xx = -8:0.1:8;

pp = spline(x,c,xx);

cc=sin(xx); plot(x,c,'bo',xx,pp,'k-',xx,cc,'r-.')

legend('节点(xi,yi)','三次样条插值函数','y=sinx 的函数')

或 >> subplot(2,2,1),x1=-8:4/3:-4,c1=cos(x1);xx1 = -8:0.1:-4;

Y1=interp1(x1,c1,xx1, 'pchip');

pp1 = interp1 (x1,c1,xx1,'spline ');

cc1 =cos(xx1);

plot(x1,c1,'bo',xx1,pp1,'k-',xx1,Y1,'r:',xx1,cc1,'g-.')

subplot(2,2,2)

x2=-4:4/3:-0;c2= cos(x2); xx2 = -4:0.1:0;

pp2 = interp1 (x2,c2,xx2,'spline ');

Y2=interp1(x2,c2,xx2, 'pchip');cc2=cos(xx2); plot(x2,c2,'bo',xx2,pp2,'k-',xx2,Y2,'r:',xx2,cc2,'g-.')

title('y=cosx及其三次样条插值函数,分段三次埃尔米特插值, 节点(xi,yi)的图形')

subplot(2,1,2)

x=-8:4/3:8;c= cos(x);xx = -8:0.1:8;

pp = spline(x,c,xx);Y=interp1(x,c,xx, 'pchip');

cc= cos(xx); plot(x,c,'bo',xx,pp,'k-',xx,Y,'r:',xx,cc,'g-.')

legend('节点(xi,yi)','三次样条插值函数','分段三次埃尔米特插值','y=cosx 的函数')

或 >>n=7,h=2*pi/n; x=(-2*pi+h)/2:h:(2*pi-h)/2;

y= tan(cos((3^(1/2)+sin(2*x))./(3+4*x.^2))); x0=-pi:h:pi;X=-pi:h/12:pi;

y0= tan(cos((3^(1/2)+sin(2*x0))./(3+4*x0.^2)));

Y= tan(cos((3^(1/2)+sin(2*X))./(3+4*X.^2)));

YL=lagr1(x0,y0,X); YS=interp1(x0,y0,X,'spline');

YH=interp1(x0,y0,X, 'pchip'); yL=lagr1(x0,y0,x);

yX=interp1(x0,y0,x); yS=interp1(x0,y0,x,'spline');

yH=interp1(x0,y0,x, 'pchip'); RL=abs((y-yL)./y);RS=abs((y-yS)./y);

RH=abs((y-yH)./y); RX=abs((y-yX)./y);RLj=abs(y-yL);mRLj=mean(RLj);

RSj=abs(y-yS);

mRSj=mean(RSj);RHj=abs(y-yH);RXj=abs(y-yX);mRHj=mean(RHj);

mRXj=mean(RXj);mRL=mean(RL);mRX=mean(RX);

mRS=mean(RS);mRH=mean(RH);

CZ=[x' y' yL' yX' yS' yH'],R=[x' RL' RX' RS' RH'],

mR=[mRL' mRX' mRS' mRH']

Rj=[x' RLj' RXj' RSj' RHj'],mRj=[mRLj' mRXj' mRSj' mRHj'],

plot(x0,y0,'bo',X,Y,'k-',X,YS,'rp', X,YH,'g>'),

legend('节点','被插值函数','三次样条函数','分段埃尔米特插值函数')

例6.7.9 设函数定义在区间上，节点(X(i),(X (i)))的横坐标向量X的元素是首项a=-5，末项b=5，公差h=1.5的等差数列，构造分段三次样条函数.把区间分成20等份，构成20个小区间，用限定端点约束条件和不限定端点约束条件的MATLAB程序计算各小区间中点处的值，并作出节点，插值点，和的图形，并与分段埃尔米特插值函数的图形比较.

解记节点的横坐标插值点，.

(1) 不限定端点约束条件，在MATLAB工作窗口输入程序

>>x0=-5:1.5:5; y0=1./(1+x0.^2); x1=-4.75:0.5:4.75; x=-5:0.001:5;

y=1./(1+x.^2); S= splinetx1(x0,y0,x1,x,y)

title(' y=1/(1+x^2)及其三次样条插值函数,节点和插值点的图形')

运行后屏幕显示各小区间中点处的值，作出节点，插值点，和的图形(略).

（2）限定端点约束条件，取，在MATLAB工作窗口输入程序

>>x0=-5:1.5:5;y0=1./(1+x0.^2);x1=-4.75:0.5:4.75;

x=-5:0.001:5;

y=1./(1+x.^2); S= splinetx (x0,y0,x1,x,y,0,0)

title(' y=1/(1+x^2)及其分段压紧三次样条函数,节点和插值点的图形')

运行后屏幕显示各小区间中点处的值（略），作出节点，插值点，和的图形(略).

如果调节端点约束条件或者增加节点的倍数，例如，在MATLAB工作窗口输入程序

>> x0=-5:0.5:5; y0=1./(1+x0.^2); x1=-4.75:0.5:4.75; x=-5:0.001:5;

y=1./(1+x.^2); S= splinetx (x0,y0,x1,x,y,0,0)

title(' y=1/(1+x^2)及其增加节点后的不限定端点约束条件的三次样条函数,节点和插值点的图形')

则运行后输出的图形中的三次样条函数与被插值函数的图像基本重合.

例6.7.10 设函数定义在区间上，取，按等距节点构造分段三次样条函数，用MATLAB程序计算各小区间中点处的值，分别作出局部和整体区间上的节点，插值点，三次样条函数和分段三次埃尔米特插值函数的图形，并进行比较.

解编写并保存名为sanci.m的M文件如下

subplot(2,2,1)

h=4*pi/7; x1=-2*pi:h:-2*pi+3*h;c1=0.5.*x1-cos(x1);

xx1 =-2*pi+4*pi/14:h:-2*pi+pi/11+2*h; X1=-2*pi:0.001:-2*pi+3*h;

Y1=interp1(x1,c1,xx1, 'pchip'); YY1=interp1(x1,c1,X1, 'pchip');

pp1 = interp1 (x1,c1,xx1,'spline ');

P1 = interp1 (x1,c1,X1,'spline ');

cc1 =0.5.*X1-cos(X1);

plot(x1,c1,'bo',xx1,pp1,'k*',X1,P1,'k-',xx1,Y1,'rx',X1,

YY1,'r:',X1,cc1,'g-.')

subplot(2,2,2)

x2=2*pi-3*h:h:2*pi;c2=0.5.*x2-cos(x2);

xx2 =2*pi-4*pi/14-2*h:h:2*pi-4*pi/14;

X2=2*pi-3*h:0.001:2*pi; pp2 = interp1 (x2,c2,xx2,

'spline ');

YY2=interp1(x2,c2, X2, 'pchip'); Y2=interp1(x2,c2,xx2, 'pchip');

P2= interp1 (x2,c2,X2,'spline '); cc2=0.5.*X2-cos(X2);

plot(x2,c2,'bo',xx2,pp2,'k*',X2,P2,'k-',xx2,Y2,'rx',X2,

YY2,'r:',X2,cc2,'g-.')

title('y=0.5x-cos(x)及其三次样条函数,分段三次埃尔米特插值函数,节点和插值点的图形')

subplot(2,1,2)

x=-2*pi:h:2*pi;c=0.5.*x-cos(x); xx =-2*pi+4*pi/14:h:2*pi-4*pi/14;

pp = spline(x,c,xx),Y=interp1(x,c,xx, 'pchip'), X=-2*pi:0.001:2*pi;

P = interp1 (x,c,X,'spline '); YY=interp1(x,c,X, 'pchip'); cc=0.5.*X-cos(X);

plot(x,c,'bo',xx,pp,'k*',X,P,'k-',xx,Y,'rx',X,YY,'r:',X,cc,'g-.')

legend('节点(xi,yi)','三次样条插值','三次样条插值函数','分段三次埃尔米特插值','分段三次埃尔米特插值函数','y=0.5x-cosx 的函数')

在MATLAB工作窗口输入文件名

>> sanci

运行后屏幕显示各小区间中点处三次样条插值pp和分段三次埃尔米特插值Y，出现被插值函数，节点，三次样条和分段三次埃尔米特的函数及其插值点等图形（略）。

pp =-3.2181 -0.9609 -0.6824 -0.9476 1.1128 2.6295 2.1675

Y=-3.0085 -1.0074 -0.75 -0.7872 1.1498 2.4072 2.3787

6.7.8 用MATLAB计算有关分段三次样条的误差

例6.7.12 设函数定义在区间上，取，按等距节点分别作分段线性插值、拉格朗日插值、三次样条插值和分段埃尔米特插值.用MATLAB程序计算各小区间中点处四种插值及其绝对误差和相对误差，作出及其后三种插值函数，插值点和节点的图形，并进行比较.

解编写并保存名为sanli679.m的M文件如下

h=2*pi/n; x=(-2*pi+h)/2:h:(2*pi-h)/2;

y= tan(cos((sqrt(3)+sin(2*x))./(3+4*x.^2))); x0=-pi:h:pi;X=-pi:h/12:pi;

y0= tan(cos((3^(1/2)+sin(2*x0))./(3+4*x0.^2)));

Y= tan(cos((3^(1/2)+sin(2*X))./(3+4*X.^2)));

YL=lagr1(x0,y0,X); YS=interp1(x0,y0,X,'spline');

YH=interp1(x0,y0,X, 'pchip'); yL=lagr1(x0,y0,x);

yX=interp1(x0,y0,x); yS=interp1(x0,y0,x,'spline');

yH=interp1(x0,y0,x, 'pchip'); RL=abs((y-yL)./y);RS=abs((y-yS)./y);

RH=abs((y-yH)./y); RX=abs((y-yX)./y);RLj=abs(y-yL);mRLj=mean(RLj);

RSj=abs(y-yS);

mRSj=mean(RSj);RHj=abs(y-yH);RXj=abs(y-yX);mRHj=mean(RHj);

mRXj=mean(RXj);mRL=mean(RL);mRX=mean(RX);

mRS=mean(RS);mRH=mean(RH);

CZ=[x' y' yL' yX' yS' yH'],R=[x' RL' RX' RS' RH'],

mR=[mRL' mRX' mRS' mRH']

Rj=[x' RLj' RXj' RSj' RHj'],mRj=[mRLj' mRXj' mRSj' mRHj'],

plot(x0,y0,'bo',x,yS,'r*',X,Y,'k-',X,YL,'g-.',X,YS,'c:', X,YH,'m--'),

legend('节点','三次样条插值点','被插值函数','拉格朗日插值函数','三次样条函数','分段三次埃尔米特插值函数')

title('y=tan(cos((sqrt(3)+sin(2x))/(3+4x^2)))及其三种插值函数,节点和插值点的图形')

运行程序

>> n=7;sanli679

得到各小区间中点处的函数值，分段线性插值、拉格朗日插值、三次样条插值和分段埃尔米特插值及其绝对误差、相对误差和平均值的结果,作出及其后三种插值函数，插值点和节点的图形(略).

例6.7.13（机床加工）待加工零件的外形根据工艺要求由一组数据（x, y）给出（在平面情况下），用程控铣床加工时每一刀只能沿x方向和y方向走非常小的一步，这就需要从已知数据得到加工所要求的步长很小的（x, y）坐标.表 6–15给出的x,y数据位于机翼断面的下轮廓线上（如图6–25），假设需要得到x坐标每改变0.1时的y坐标.试完成加工所需数据，画出曲线，并求出x=0处的曲线斜率和13≤ x ≤15范围内y的最小值.

表 6–15 机翼断面下轮廓线上的部分数据

X	0	3	5	7	9	11	12	13	14	15
Y	0	1.2	1.7	2.0	2.1	2.0	1.8	1.2	1.0	1.6

图6–25 机翼断面轮廓线（表 6–15数据用圆点表示）

解根据上述提出的加工要求，以所给数据为节点，在x=0到x=15范围内求步长为0.1的插值.用四种插值方法试验，编写并保存名为sancili6710.m程序为M文件

x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 ]; x=0:0.1:15;

y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 ]; yL=lagr1(x0,y0,x);

yX=interp1(x0,y0,x); yS=interp1(x0,y0,x,'spline');

yH=interp1(x0,y0,x, 'pchip'); CZ=[x' yL' yX' yS' yH']

subplot(4,1,1)

plot(x0,y0,'bo',x,yL,'r'), grid,title('拉格朗日插值')

subplot(4,1,2)

plot(x0,y0,'bo',x,yX,'r'), grid,title('分段线性插值')

subplot(4,1,3)

plot(x0,y0,'bo',x,yS,'r'), grid,title('三次样条')

subplot(4,1,4)

plot(x0,y0,'bo',x,yH,'r'), grid,title('分段埃尔米特插值')

在MATLAB工作窗口输入文件名

>> sancili6710

运行后得到的拉格朗日插值、分段线性插值、三次样条插值和分段埃尔米特插值及其节点的图形，同时还得到拉格朗日插值、分段埃尔米特插值、分段线性插值和三次样条插值的结果(略).

6.8 高元插值及其MATLAB程序

6.8.1 MESHGRID命令的功能和调用格式

调用格式一 [X,Y] =meshgrid (x,y)

例6.8.1 已知x=-3:0.2:3；y=x，计算函数e的值，并作出函数的图形.

解输入程序

>> [X,Y] = meshgrid(-3:.2:3, -3:.2:3); Z =7-3* X.^4 .* exp(-X.^2 - Y.^2), mesh(Z)

title(' Z =7-3 X^4 exp(-X^2-Y^2)的图形')

运行后输出函数值和图形（略）.

例6.8.2 作出函数e在区域，上的图形.

解输入程序

>> [X,Y] = meshgrid(-2:.2:2, -2:.2:2);Z = 2+X .* exp(-X.^2 - Y.^2); mesh(Z)

title('Z = 2+X exp(-X^2 - Y^2)的图形')

运行后输出函数值和图形（略）.

调用格式二 [X,Y] = meshgrid (x)

调用格式三 [X,Y,Z] = meshgrid (x,y,z)

例6.8.3 计算函数e在处的函数值.

解输入程序

>> x=[0,1,2,-4];y=[0,-1,3,5];z=y;

[X,Y,Z] = meshgrid(x,y,z),

U= 2+X .* exp(-X.^2 - Y.^2- Z.^2)

运行后屏幕显示(略).

6.8.2 单调数据点上的二元插值及其MATLAB程序

例6.8.4 设节点中的值，函数eee，作在节点处X Y的双线性插值及其图形.

解输入程序

>> [x,y] = meshgrid(-3:1.5:3),

z=3*(1-x).^2.*exp(-(x.^2)-(y+1).^2)- 10*(x/5 - x.^3 - y.^5).*exp(-x.^2-y.^2)-1/3*exp(-(x+1).^2-y.^2)

[xi,yi]=meshgrid([2,3,1,7],[5,2,-1,5]);

zi=interp2(x,y,z,xi,yi),

mesh(xi,yi,zi),xlabel('x'), ylabel('y'), zlabel('z')

title('z=3(1-x)^2exp(-x^2-(y+1)^2)-10(x/5-x^3-y^5)exp(-x^2-y^2)- 1/3 exp(-(x+1)^2-y^2) 的双线性插值图形')

运行后屏幕显示双线性插值及其图形(略).

例6.8.5 设节点中的,和函数，作在插值点X Y处的二元样条插值，双三次插值和数据点的图形.

解（1）计算二元样条插值.输入程序

>> [x,y] = meshgrid(-3:0.5:3); z =7-3* x.^3 .* exp(-x.^2 - y.^2);

xi=-3.9:0.5:5;yi=-4.9:0.5:4.5; [xi,yi] = meshgrid(xi,yi);

zi = interp2(x,y,z,xi,yi, 'spline'), mesh(xi,yi,zi),

hold on,

plot3(x,y,z,'r.','markersize',3*5), hold off

xlabel('x'), ylabel('y'),

title('z =7-3 x^3 exp(-x^2 - y^2) 的二元样条插和值数据点的图形')

运行后屏幕显示在插值点X Y 处的二元样条插值及其图形(略).

（2）计算双三次插值.输入程序

>> [x,y] = meshgrid(-3:0.5:3);

z =7-3* x.^3 .* exp(-x.^2 - y.^2);

xi=-3.9:0.5:5; yi=-4.9:0.5:4.5; [xi,yi] = meshgrid(xi,yi);

zi=interp2(x,y,z,xi,yi, 'cubic'), mesh(xi,yi,zi),hold on

plot3(x,y,z,'r.','markersize',3*5), hold off

xlabel('x'), ylabel('y'), zlabel('z'),

title('z=7-3x^3exp(-x^2-y^2) 的双三次插值和数据点(x,y,z)的图形')

运行后屏幕显示在插值点X Y 处的双三次插值和数据点图形（略）（三种方法比较留给读者）

例6.8.6 设节点中的,和函数，作在插值点XY处的双三次插值和二元最近邻插值及其图形.

解（1）双三次插值.输入程序

>> [x,y] = meshgrid(-5:0.5:5);

z =7-3* x.^4 .* exp(-x.^2 - y.^2);

xi=-3.9:0.5:5; yi=-4.9:0.5:4.5;

[xi,yi] = meshgrid(xi,yi);

zi = interp2(x,y,z,xi,yi, 'cubic'),

mesh(xi,yi,zi)

hold on

plot3(x,y,z,'r.', 'markersize',3*5)

hold off

xlabel('x'), ylabel('y'), zlabel('z'),

title('z =7-3 x^4 exp(-x^2 - y^2) 的双三次插值和数据点的图形')

运行后屏幕显示在插值点XY 处的双三次插值及其图形(略).

（2）二元最近邻插值.输入程序

>> [x,y] = meshgrid(-5:0.5:5); z =7-3* x.^4 .* exp(-x.^2 - y.^2);

xi=-3.9:0.5:5; yi=-4.9:0.5:4.5; [xi,yi] = meshgrid(xi,yi);

zi = interp2(x,y,z,xi,yi, 'nearest'), mesh(xi,yi,zi)

hold on,plot3(x,y,z,'r.', 'markersize',3*5), hold off

xlabel('x'), ylabel('y'), zlabel('z')

title('z =7-3 x^3 exp(-x^2-y^2) 的二元最近邻插值和数据点的图形')

运行后屏幕显示在插值点XY 处的二元最近邻插值及其图形(略).

6.8.3 三元插值及其MATLAB程序

例6.8.7 设节点的坐标为，计算函数e在插值点处的三元线性插值，并作其图形.

解输入程序

>> x=[-4,0,1,12];y=[-1,0,3,15];z=y;

[X,Y,Z]= meshgrid(x,y,z);

V= 2+X .* exp(-X.^2 - Y.^2- Z.^2);

[xi,yi,zi] = meshgrid(-3:.25:10,-3:.25:3,-3:.25:13);

vi = interp3(X,Y,Z,V,xi,yi,zi),

slice(xi,yi,zi,vi,[-1 6 9.5],9,[-2 .2 9]),

shading flat,lighting flat

xlabel('x'), ylabel('y'), zlabel('z'),

title('V=2+ x exp(-x^2 - y^2-z^2) 的三元线性插值图形')

hold on,colorbar('horiz'), view([-30 45])

运行后屏幕显示三元线性插值及其图形（略）.

例6.8.8 取 n=10 ，作函数flow在插值点处的三元三次样条插值及其图形.

解输入程序

>> [x,y,z,v] = flow(10);

[xi,yi,zi] = meshgrid(.1:.25:10,-3:.25:3,-3:.25:3);

vi = interp3(x,y,z,v,xi,yi,zi,'spline');

slice(xi,yi,zi,vi,[2.5 7.5],0.1,[-1.2 1.5]),

shading flat,xlabel('x'), ylabel('y'), zlabel('z'),

title(' flow 的三元三次样条插值图形')

hold on,colorbar('horiz')

运行后屏幕显示三元三次样条插值及其图形（略）.

函数的插值方法及matlab程序

6.1插值问题及其误差6.1.2与插值有关的MATLAB函数(一)POLY2SYM函数调用格式一：poly2sym(C)调用格式二：f1=poly2sym(C,'V')或f2=poly2sym(C,sym('V')),(二)POLYVAL函数调用格式：Y=polyval(P,X)(三)POLY函数调用格式：Y=poly(V)(四)CONV函数调用格式：C=conv(A,B)例6.1.2求三个一次多项式、和的积.它们的零点分别依次为0.4,0.8,1.2.解我们可以用两种MATLAB程序求之.方

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