高中数学集合概念与运算

【考点透视】

1．理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.

2．了解空集和全集的意义.

3．了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．

4．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.

5．注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB,则有A=或A≠两种可能，此时应分类讨论.

【例题解析】

题型1． 正确理解和运用集合概念

理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键.

例1.已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（ ）

A．（0，1），（1，2）  B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2}   D．{y|y≥1}

思路启迪：集合M、N是用描述法表示的，元素是实数y而不是实数对(x,y)，因此M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．

解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．

∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D．

点评：①本题求M∩N，经常发生解方程组 

从而选B的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集．②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．

例2.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（ ）

A．P　　   B．Q       C．　       D．不知道

思路启迪：类似上题知P集合是y=x2（x∈R）的值域集合，同样Q集合是y= x2＋1（x∈R）的值域集合，这样P∩Q意义就明确了．

解：事实上，P、Q中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y= x2＋1的值域，由P={y|y≥0},Q={y|y≥1}，知QP，即P∩Q=Q．∴应选B．

例3. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（ ）

A．P∩Q=　 B．P Q   C．P=Q   D．P Q

思路启迪：有的同学一接触此题马上得到结论P=Q，这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,x∈R相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的，P集合是函数值域集合，Q集合是y=x2,x∈R上的点的集合，代表元素根本不是同一类事物．

解：正确解法应为： P表示函数y=x2的值域，Q表示抛物线y=x2上的点组成的点集，因此P∩Q=．∴应选A．

例4若，则=    （  ）

A．{3}    B．{1}    C．    D．{－1}

思路启迪： 

解：应选D．

点评：解此类题应先确定已知集合．

题型2．集合元素的互异性

  集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识．

例5. 若A={2，4, 3－22－＋7},B={1,＋1, 2－2＋2,－(2－3－8), 3＋2＋3＋7}，且A∩B={2，5}，则实数的值是________．

解答启迪：∵A∩B={2，5}，∴ 3－22－＋7=5,由此求得=2或=±1． A={2,4,5}，集合B中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查．

当=1时， 2－2＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去=1．

当=－1时，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去=－1．

当=2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设．

故=2为所求．

例6. 已知集合A={,＋b,＋2b}，B={,c, c2}．若A=B，则c的值是______．

思路启迪：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式． 

解：分两种情况进行讨论． 

（1）若＋b=c且＋2b=c2，消去b得：＋c2－2c=0，

=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故≠0．

∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．

（2）若＋b=c2且＋2b=c，消去b得：2c2－c－=0，

∵≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－．

点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正．

例7.已知集合A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x2－x＋－1=0}，且A∪B=A，则的值为______．

思路启迪：由A∪B=A而推出B有四种可能，进而求出的值．

解： ∵ A∪B=A，

∵ A={1，2}，∴ B=或B={1}或B={2}或B={1，2}．

若B=，则令△<0得∈；

若B={1}，则令△=0得=2，此时1是方程的根；

若B={2}，则令△=0得=2，此时2不是方程的根，∴∈；

若B={1，2}则令△>0得∈R且≠2，把x=1代入方程得∈R，把x=2代入方程得=3．

综上的值为2或3．

点评：本题不能直接写出B={1，－1}，因为－1可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B有可能是空集，还有可能是单元素集的情况．

题型3．要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法

集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视．反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的．因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去．

例8.设集合A={|=3n＋2,n∈Z}，集合B={b|b=3k－1,k∈Z}，则集合A、B的关系是________． 

解：任设∈A，则=3n＋2=3(n＋1)－1(n∈Z)， 

∴ n∈Z,∴n＋1∈Z.∴∈B,故． 　　　①

又任设 b∈B，则 b=3k－1=3(k－1)＋2(k∈Z),

∵ k∈Z,∴k－1∈Z.∴ b∈A，故　　　②

由①、②知A=B．

点评：这里说明∈B或b∈A的过程中，关键是先要变（或凑）出形式，然后再推理．

例9若A、B、C为三个集合，，则一定有（  ）

A .　　　　B .　　　　C .　　　　D . 

[考查目的]本题主要考查集合间关系的运算.

解：由知，，故选A.

例10．设集合,则满足的集合B的个数是（  ）

A . 1    B .3    C .4   D . 8

[考查目的] 本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想.

解：，，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有个.故选C.

例11． 记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．

（）若，求；

（）若，求正数的取值范围．

思路启迪：先解不等式求得集合和．

解：（）由，得．

（）．

由，得，又，所以，

即的取值范围是．

题型4. 要注意空集的特殊性和特殊作用

空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合．当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误．

例12. 已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x－2=0}且A∪B=A，则实数组成的集合C是________． 

解：由x2－3x＋2=0得x=1或2．当x=1时， =2，当x=2时， =1．

这个结果是不完整的，上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A，当=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．

例13．已知集合，．若，则实数的取值范围是                    ．

思路启迪：先确定已知集合A和B．

解： 

故实数的取值范围是．

例14. 已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩=，则实数m的取值范围是_________．

思路启迪：从方程观点看，集合A是关于x的实系数一元二次方程x2＋(m＋2)x＋1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A∩=可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m的不等式，并解出m的范围．

解：由A∩=又方程x2＋(m＋2)x＋1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根， 

或△=(m＋2)2－4<0．解得m≥0或－4－4．

点评：此题容易发生的错误是由A∩=只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积为1，因为方程无零根），而把A=漏掉，因此要全面准确理解和识别集合语言．

例15.已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，则实数p的取值范围是________．

解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5． 

欲使BA，只须∴ p的取值范围是－3≤p≤3．

上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设．

应有：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2．

由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5．由－3≤p≤3．∴ 2≤p≤3.

②当B=时，即p＋1>2p－1p＜2．

由①、②得：p≤3．

点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．

题型5．要注意利用数形结合解集合问题

集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解．

例16.设全集U={x|0思路启迪：本题用推理的方法求解不如先画出文氏图，用填图的方法来得简捷，由图不难看出．

解：A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}．

例17.集合A={x|x2＋5x－6≤0},B={x|x2＋3x>0}，求A∪B和A∩B．

解：∵ A={x|x2－5x－6≤0}={x|－6≤x≤1}，

B={x|x2＋3x>0}={x|x<－3，或x>0}． 如图所示， 

∴ A∪B={x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3，或x>0}=R． 

A∩B={x|－6≤x≤1}∩{x|x<－3，或x>0}={x|－6≤x＜－3，或0点评：本题采用数轴表示法，根据数轴表示的范围，可直观、准确的写出问题的结果．

例18.设A={x|－21}，B={x|x2＋x＋b≤0}，已知A∪B={x|x>－2}，A∩B={x|1思路启迪：可在数轴上画出图形，利用图形分析解答．

解：如图所示，设想集合B所表示的范围在数轴上移动，

显然当且仅当B覆盖住集合{x|－1－2}，且A∩B={x|1根据二次不等式与二次方程的关系，可知－1与3是方程x2＋x＋b=0的两根，

∴=－(－1＋3)=－2， b=(－1)×3=－3．

点评：类似本题多个集合问题，借助于数轴上的区间图形表示进行处理，采用数形结合的方法，会得到直观、明了的解题效果．

【专题训练】

一.选择题:

1．设M={x|x2+x+2=0}， =lg(lg10)，则{}与M的关系是（  ）

A、{}=M       B、M{}    C、{}M            D、M{}

2．已知全集=R，A={x|x-|<2}，B={x|x-1|≥3}，且A∩B=，则的取值范围是（  ）

A、[0，2]          B、（-2，2）      C、（0，2]            D、（0，2）

3．已知集合M={x|x=2-3+2，∈R}，N={x|x=b2-b，b∈R}，则M，N的关系是（  ）

A、MN         B、MN         C、M=N               D、不确定

4．设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，则A∪B中的元素个数是（  ）

A、11           B、10            C、16                D、15

5．集合M={1，2，3，4，5}的子集是（  ）

A、15           B、16            C、31                D、32

6 集合M={x|x=,k∈Z},N={x|x=,k∈Z},则(    )

A M=N            B MN        　C MN        D M∩N=

7. 已知集合A={x|x2－4mx＋2m＋6=0,x∈R}，若A∩R－≠，求实数m的取值范围．

8． 命题甲：方程x2＋mx＋1=0有两个相异负根；命题乙：方程4x2＋4(m－2)x＋1=0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求m的取值范围． 

9 已知集合A={x|－2≤x≤7},B={x|m+1A －3≤m≤4        B －310．集合M=，且.则实数a的取值范围是(  )

      A. a-1    B. a1   C. a-1   D.a1

11．满足｛，b｝M=｛，b，c，d｝的所有集合M的个数是（  ）

      A. 7       B. 6      C. 5      D. 4

12．若命题P：xAB，则P是（  ）

      A. xAB   B. xA或xB   C. xA且xB   D. xAB

13．已知集合M=｛,｝.P=｛-,2-1｝；若card(MP)=3，则MP= (  )

      A.｛-1｝         B.｛1｝        C.｛0｝       D.｛3｝

14．设集合P=｛3,4,5｝.Q=｛4,5,6,7｝.令P*Q=，则P*Q中元素的个数是 (  )

      A. 3          B. 7       C. 10      D. 12

二．填空题：

15．已知M={}，N={x|，则M∩N=__________.

16．非空集合p满足下列两个条件：（1）p{1，2，3，4，5}，（2）若元素∈p，则6-∈p，则集合p个数是__________.

17．设A=｛1，2｝，B=｛x｜xA｝若用列举法表示，则集合B是                 .

18．含有三个实数的集合可表示为，则       ．

三．解答题：

19．设集合A={(x，y)|y=x+1}，B={(x，y)|y=|x|}，若A∩B是单元素集合，求取值范围.

20.设A={x|x2+px+q=0}≠，M={1，3，5，7，9}，N={1，4，7，10}，若A∩M=，A∩N=A，求p、q的值.

21．已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N．

22．已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-mx+2=0}，且A∩B=B，求实数m范围．

23．已知全集=R，且，求.

24．已知集合,

且，，求,b的值.

【参】

1． C   2. A   3. C   4. C   5. D   

6. C  解析 对M将k分成两类 k=2n或k=2n+1(n∈Z), M={x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z},

对N将k分成四类，k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),

N={x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+π,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z} 

7．解：设全集={m|△=(－4m)2－4(2m＋6)≥0}={m|m≤－1或m≥}．

若方程x2－4mx＋2m＋6=0的二根为x1、x2均非负，

因此，{m|m≥}关于补集{m|m≤－1}即为所求．

8．解：使命题甲成立的条件是： 

∴ 集合A={m|m>2}．

使命题乙成立的条件是：△2=16(m－2)2－16<0，∴1＜m＜3．∴ 集合B={m|1若命题甲、乙有且只有一个成立，则有：

（1）m∈A∩CRB，（2）m∈CRA∩B．

若为（1），则有：A∩CRB={m|m>2}∩{m|m≤1或m≥3}={m|m≥3}；

若为（2），则有：B∩CRA={m|1综合（1）、（2）可知所求m的取值范围是{m|19.D   解析 ∵A∪B=A，∴BA,又B≠,

∴，即2＜m≤4 

10.C   11.D   12.B    13.D   14.B

二.填空题:

15.；  16. 7 ；  17.； 18.-1.  

三.解答题: 

19.≥1或≤-1，提示：画图.

20．或或

21．解：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征．M、N均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合，或者说使集合的特征明朗化．M={y|y=x2+1，x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x+1，x∈R}={y|y∈R}．∴ M∩N=M={y|y≥1}．

22．解：化简条件得A={1，2}，A∩B=BBA．

根据集合中元素个数集合B分类讨论，B=，B={1}或{2}，B={1，2}．

当B=时，△=m2-8<0．∴．

当B={1}或{2}时，，m无解．

当B={1，2}时，∴ m=3．

综上所述，m=3或．

24. 解： ∵. ∴中元素必是B的元素.

 又∵, ∴中的元素属于B,

 故.

 而. ∴-1,4是方程的两根， ∴a=-3,b=-4.