提公因式法教案

知识总结归纳

    如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

    提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：

    （1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。

    （2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。

    下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解

  1. 把下列各式因式分解

    （1）

    （2）

    分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。

    解：

    （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数时，，是在因式分解过程中常用的因式变换。

    解：

  2. 利用提公因式法简化计算过程

    例：计算

    分析：算式中每一项都含有，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。

    解：原式

  3. 在多项式恒等变形中的应用

    例：不解方程组，求代数式的值。

    分析：不要求解方程组，我们可以把和看成整体，它们的值分别是3和，观察代数式，发现每一项都含有，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有和的式子，即可求出结果。

    解：

    把和分别为3和带入上式，求得代数式的值是。

  4. 在代数证明题中的应用

    例：证明：对于任意自然数n，一定是10的倍数。

    分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。

    对任意自然数n，和都是10的倍数。

    一定是10的倍数

中考点拨：

  例1。因式分解

    解：

    说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。

  例2．分解因式：

    解：

    说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。

题型展示：

  例1. 计算：

    精析与解答：

    设，则

    说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中2000、2001重复出现，又有的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。

  例2. 已知：（b、c为整数）是及的公因式，求b、c的值。

    分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b、c，但比较麻烦。注意到是及的因式。因而也是的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。

    解：是及的公因式

    也是多项式的二次因式

    而

    b、c为整数

    得：

    说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式，从而简便求得。

  例3. 设x为整数，试判断是质数还是合数，请说明理由。

    解：

    都是大于1的自然数

    是合数

    说明：在大于1的正数中，除了1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。只能被1和本身整除的数叫质数。

实战模拟：

  1. 分解因式：

    （1）

    （2）（n为正整数）

    （3）

  2. 计算：的结果是（    ）

    A.             B.                 C.                 D. 

  3. 已知x、y都是正整数，且，求x、y。

  4. 证明：能被45整除。

  5. 化简：，且当时，求原式的值。

【试题答案】

  1. 分析与解答：

    （1）

    （2）

    （3）原式

注意：结果多项因式要化简，同时要分解彻底。

  2. B

  3. 

    是正整数

    分解成

    又与奇偶性相同，且

    说明：求不定方程的整数解，经常运用因式分解来解决。

  4. 证明：

    能被45整除

  5. 解：逐次分解：原式

    当时，原式