数值分析(研)试题答案

2011-2012学年 第一学期

课程名称：数值分析 出题人: 王吉波  审核人:        

一、填空题（本题40分 每空4分）

1．设为节点的n次基函数，则 。

2．已知函数，则三阶差商=     0     。

3．当n=3时，牛顿-柯特斯系数，则       。

4．用迭代法解线性方程组Ax=b时，迭代格式收敛的充分必要条件是  或 B的谱半径小于1 。

5．设矩阵，则A的条件数=  3  。

6.正方形的边长约为100cm，则正方形的边长误差限不超过  0.005    cm 才能使其面积误差不超过1。

7.要使求积公式具有2次代数精确度，则

  2/3   ，    3/4   。

8. 用杜利特尔（Doolittle）分解法分解，，则，

二、（10分）已知由数据（0,0），（0.5，y），（1,3）和（2，2）构造出的三次插值多项式的的系数是6，试确定数据y。

答案：利用Lagrange插值多项式，

及基函数的表达式可知的系数为

 +

++

                                            （5分）

代入有关数据得    

解得y=4.25.

                                           （5分）

三、（15分）试导出计算的Newton迭代格式，使公式中（对）既无开方，又无除法运算，并讨论其收敛性。

答案：将计算等价化为求的正根。            

而此时有 ，                            （5分）        

故计算的Newton迭代格式为

                  （5分）

迭代函数，故迭代法局部收敛。                                                             （5分）

四、（15分）已知。

（1）推导出以这3个点作为求积节点在[0，1]上的插值型求积公式；

（2）指明求积公式所具有的代数精确度；

（3）用所求公式计算。

答案：（1）过这3个点的插值多项式

故，其中

，故所求的插值型求积公式为 

                     （5分）

（2）上述求积公式是由二次插值函数积分而来，故至少具有2次代数精确度。再将代入上述求积公式，有

故上述求积公式具有3次代数精确度。                      （5分）

（3）                （5分）

五、（10分）给定方程组

判定Jacobi和Gauss-Seidel方法的收敛性。

答案：Jacobi迭代矩阵为 ；           （2分）

由于，故Jacobi迭代收敛。                      （3分）

Gauss-Seidel迭代矩阵为 ；      （2分）     

故，故Gauss-Seidel迭代收敛。                  （3分）

六、（10分）定义内积，试在中寻求对于

的最佳平方逼近多项式。

答案：取，经计算得法方程组为。（5分）

解得，故的最佳平方逼近多项式为。

                                                                （5分）