2021年山东省青岛市崂山区中考数学一模试卷(解析版)

一、选择题（共8小题）.

1．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

2．﹣的相反数是（　　）

A．    B．    C．2021    D．﹣2021

3．如图是由几个相同的小正方体堆砌成的几何体，从左面看到该几何体的形状图是（　　）

A．    B．    

C．    D．

4．中芯国际集成电路制造有限公司，是世界领先的集成电路晶圆代工企业之一，也是中国内地技术最先进、配套最完善、规模最大、经营的集成电路制造企业集团，中芯国际第一代14纳米FinFET技术取得了突破性进展，并于2019年第四季度进入量产，代表了中国自主研发集成电路的最先进水平，14纳米＝0.000000014米，0.000000014用科学记数法表示为（　　）

A．1.4×10﹣7    B．14×10﹣7    C．1.4×10﹣8    D．1.4×10﹣9

5．如图，在平面直角坐标系中，正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度，其中点B的坐标为（2，1），三角形AOB绕B点顺时针旋转90°得到三角形A'O'B，旋转后点O所对应点O′坐标为（　　）

A．（1，3）    B．（﹣2，3）    C．（0，2）    D．（﹣2，1）

6．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFC＝120°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则AE的长度为（　　）

A．2    B．    C．    D．1

7．如图，AB是圆O的直径，C，D是AB上的两点，连接AC，BD相交于点E，若∠BEC＝58°，那么∠DOC的度数为（　　）

A．32°    B．°    C．61°    D．58°

8．已知一次函数y＝ax+bc图象如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c与反比例函数y＝的图象可能是（　　）

A．    B．    

C．    D．

二．填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）

9．计算：（﹣）÷＝　              　．

10．“绿水青山就是金山银山”，某区根据实际情况，推进“退耕还林”行动，将某一部分耕地改为林地，改变后，林地面积和耕地面积共有270平方千米，耕地面积恰好为林地面积的30%．为求改变后林地面积和耕地面积各多少平方千米，设改变后耕地面积为x平方千米，林地面积为y平方千米，根据题意，列出方程组为　                　．

11．抛物线y＝﹣x2+2x﹣（a+5）图象与x轴无交点，则a的取值范围为　     　．

12．一组数据4，7，x，6，9众数是9，则这5个数据的平均数为　 　．

13．如图，扇形圆心角为60°，半径为4，点E，F分别为OA，OB中点，连接BE与AF相交于点G，则阴影部分面积为　                　．

14．如图，在正方形ABCD中，边长AB＝4，延长BC至E，使得BC＝CE，连接DE，取DE中点F，连接BF，则点A到直线BF的距离为　                　．

三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

15．已知：△ABC．

求作：一个圆O，使圆心O到AB，AC距离相等，并且与线段AC相切，切点为线段AC中点．

四．解答题（本大题共9小题，共74分）

16．（1）求值：4cos30°﹣|1﹣2|；

（2）先化简再求值：（3x+3）÷（x2﹣1），其中x＝+1．

17．2021年4月1日青岛市召开了全国文明城市总结表彰暨争创全国文明典范城市动员部署会．会议结束后，我区第一时间行动，狠抓落实整改，迅速掀起全国文明典范城市创建热潮．某学校举办了“全国文明典范城市创建我先行”为主题的志愿服务活动，综合实践社团随机调查了部分同学在“洁净家园”“文明出行”“遵纪守德”“文明餐桌”四项活动中选择一项参加活动的意愿，并根据调查结果绘制成了如下不完整的统计图．

（1）综合实践社团随机调查的学生总人数为　    　；

（2）在图一中“遵纪守德”所在的扇形的圆心角度数为　    　°；

（3）请你将条形图补充完整；

（4）该校共有学生1200人，请你估计志愿服务活动选择“文明出行”的学生人数．

18．“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动．某班有甲、乙2位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，用树状图或列表法求《大学》被选中的概率．

19．新建成的海天中心主楼堪称“青岛第一高楼”，成为青岛地标性建筑之一，如图为了测量海天中心主楼AB的高度，某数学实践小组在D处测得楼顶B的仰角为22.62°，仪器CD高度为1.50米，将仪器CD沿着CA方向前进392米到达EF，在F处测得楼顶B的仰角为37°，请计算海天中心主楼AB的高度．

（sin22.62°≈，tan22.62°≈，cos37°≈，tan37°≈）

20．如图，在▱ABCD中，BA⊥AC，延长DC至E，使得DC＝CE，连接BE，连接AE交BC于O．

（1）求证：△COE≌△BOA；

（2）当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABEC是正方形？请说明理由．

21．2020年9月22日，中国在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和”．某公司研发生产了一款废气处理设备，固定成本800（万元），每生产一件成本为10（万元），该设备销售量m件与销售单价x（万元/件）满足函数m＝﹣2x+120．

（1）试求利润y（万元）与售价x（万元/件）之间的函数关系式；

（2）当销售价x（万元/件）定为多少时，使得利润最大，最大利润是多少？

（3）在让购买者得到实惠的前提下，公司还要获利250万元，那么销售单价应该定为多少？

22．如图，一次函数y＝ax+5的图象与y轴相交于点C，与反比例函数y＝的图象相交于点A（m，4），B（2，1），点D为OC中点，连接OA，OB，连接BD交OA于E．

（1）求a，k，m的值；

（2）求直线OA的方程；

（3）求直线BD的方程；

（4）求△OBE的面积．

23．问题提出：在平面上，给出n个圆把平面至多分割成多少个区域？

问题探究：

为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．下面我们先从直线分割平面入手来探究这个问题．

探究一：1条直线可以将平面分成2个区域；2条直线时，要使分成的区域尽最多，则第2条直线要与第1条直线相交可以将平面分成4个区域；3条直线时，如图1，要使分成的区域尽量多，就必须将第3条直线与前面2条直线尽可能两两相交，避免多条直线相交于一点和平行关系的出现，这样就会得到2个交点，这2个交点将第3条直线分为了2条射线和1条线段，而每条射线和线段将已有的区城一分为二，这样就多了2+1＝3个区域，所以3条直线至多将平面分成7个区域；4条直线时，如图2，要使分成的区域尽量多，就必须将第4条直线与前面3条相交直线尽可能两两相交，避免多条直线相交于一点和平行关系的出现，这样就会得到3个交点，这3个交点将第4条直线分为了2条射线和4﹣2＝2条线段，而每条射线和线段将已有的区域一分为二，这样就多了2+2＝4个区域，所以三条直线至多将平面分成11个区域；5条直线时，如图3，要使分成的区域尽量多，就必须将第5条直线与前面4条相交直线尽可能两两相交，避免多条直线相交于一点和平行关系的出现，这样就会得到4个交点，这4个交点将第5条直线分为了2条射线和5﹣2＝3条线段，而每条射线和线段将已有的区域一分为二，这样就多了2+3＝5个区域，所以三条直线至多将平面分成16个区域；由此可推断6条直线可以将平面至多分成　   　个区域；依此类推n条直线可以将平面至多分成　   　个区域．

探究二：1个圆可以将平面分成2个区域；2个圆时，要使分成的区域尽量多，2个圆相交将平面分成4个区域；3个圆时，要使分成的区域尽量多，第3个圆与前2个圆都相交被分成了2（3﹣1）＝4条弧，将平面至多分成了4+4＝8个区域；4个圆时，要使分成的区域尽量多，第4个圆与前3个圆都相交被分成了2（4﹣1）＝6条弧，将平面至多分成了8+6＝14个区城；以此类推5个圆可以将平面分成　   　个区域．

问题解决：n个圆至多可以将平面分成　   　个区城．

问题拓展：仿照前面的过程，n个三角形至多可以将平面分成　   　个区城．

24．已知：如图，矩形ABCD中和Rt△EBF中，点C在BF上，∠EBF＝90°，AB＝BF＝8cm，AD＝BE＝6cm，连接BD，点M从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点N从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s．过点M作GH⊥AB交AB于点H，交CD于点G．设运动时间为t（s）（0＜t＜10）．

解答下列问题：

（1）当t为何值时，MF⊥BD？

（2）连接MN，做NQ⊥BE交BE于Q，当四边形MHQN为矩形时，求t的值；

（3）连接NC，NH，设四边形NCGH的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；

（4）点M在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点M在线段EF的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

参

一、选择题（共8小题）.

1．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D、是中心对称图形，故本选项符合题意．

故选：D．

2．﹣的相反数是（　　）

A．    B．    C．2021    D．﹣2021

解：﹣的相反数是．

故选：A．

3．如图是由几个相同的小正方体堆砌成的几何体，从左面看到该几何体的形状图是（　　）

A．    B．    

C．    D．

解：从左面看到该几何体的形状图是，

故选：A．

4．中芯国际集成电路制造有限公司，是世界领先的集成电路晶圆代工企业之一，也是中国内地技术最先进、配套最完善、规模最大、经营的集成电路制造企业集团，中芯国际第一代14纳米FinFET技术取得了突破性进展，并于2019年第四季度进入量产，代表了中国自主研发集成电路的最先进水平，14纳米＝0.000000014米，0.000000014用科学记数法表示为（　　）

A．1.4×10﹣7    B．14×10﹣7    C．1.4×10﹣8    D．1.4×10﹣9

解：0.000000014＝1.4×10﹣8．

故选：C．

5．如图，在平面直角坐标系中，正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度，其中点B的坐标为（2，1），三角形AOB绕B点顺时针旋转90°得到三角形A'O'B，旋转后点O所对应点O′坐标为（　　）

A．（1，3）    B．（﹣2，3）    C．（0，2）    D．（﹣2，1）

解：如图，△A'O'B即为所求作．观察图像可知，O′（1，3）．

故选：A．

6．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFC＝120°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则AE的长度为（　　）

A．2    B．    C．    D．1

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，∠A＝90°，

∴∠BEF＝180°﹣∠EFC＝60°，

∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，

∴∠BEF＝∠FEB'＝60°，BE＝B'E，

∴∠AEB'＝180°﹣∠BEF﹣∠FEB'＝60°，

∴B'E＝2AE，

设AE＝x，则B'E＝2x＝BE，

∵AB＝6，

∴x+2x＝6，

解得x＝2．

故选：A．

7．如图，AB是圆O的直径，C，D是AB上的两点，连接AC，BD相交于点E，若∠BEC＝58°，那么∠DOC的度数为（　　）

A．32°    B．°    C．61°    D．58°

解：连接BC，

∵AB是圆O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵∠BEC＝58°，

∴∠1＝90°﹣∠BEC＝90°﹣58°＝32°，

∴∠DOC＝2∠1＝2×32°＝°，

故选：B．

8．已知一次函数y＝ax+bc图象如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c与反比例函数y＝的图象可能是（　　）

A．    B．    

C．    D．

解：∵一次函数y＝ax+bc图象经过第一、二、四，象限，

∴a＜0，bc＞0，

∴二次函数y＝ax2+bx+c的图像的开口向下，

故C和D不合题意；

∵抛物线交于y轴的正半轴，

∴c＞0，

∵双曲线位于第一、三象限，

∴c＞0，

故A符合题意；

∵抛物线交于y轴的正半轴，

∴c＞0，

∵双曲线位于第二、四象限，

∴c＜0，

故B不符合题意；

故选：A．

二．填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）

9．计算：（﹣）÷＝　　．

解：原式＝（2﹣）÷

＝2﹣

＝，

故答案为：．

10．“绿水青山就是金山银山”，某区根据实际情况，推进“退耕还林”行动，将某一部分耕地改为林地，改变后，林地面积和耕地面积共有270平方千米，耕地面积恰好为林地面积的30%．为求改变后林地面积和耕地面积各多少平方千米，设改变后耕地面积为x平方千米，林地面积为y平方千米，根据题意，列出方程组为　　．

解：设改变后耕地面积为x平方千米，林地面积为y平方千米，

根据题意，列出方程组为．

故答案为：．

11．抛物线y＝﹣x2+2x﹣（a+5）图象与x轴无交点，则a的取值范围为　a＞﹣8　．

解：∵抛物线y＝﹣x2+2x﹣（a+5），

∴该抛物线开口向下，

又∵抛物线y＝﹣x2+2x﹣（a+5）图象与x轴无交点，

∴＜0，

解得a＞﹣8，

故答案为：a＞﹣8．

12．一组数据4，7，x，6，9众数是9，则这5个数据的平均数为　7　．

解：∵数据4，7，x，6，9众数是9，

∴x＝9，

∴这组数据的平均数是（4+7+9+6+9）÷5＝7；

故答案为：7．

13．如图，扇形圆心角为60°，半径为4，点E，F分别为OA，OB中点，连接BE与AF相交于点G，则阴影部分面积为　　．

解：连接AB，如图，

∵OA＝OB，∠AOB＝60°，

∴△OAB为等边三角形，

∵点E，F分别为OA，OB中点，

∴AF⊥OB，OF＝BF＝2，BE平分∠ABO，

∴AF＝＝2，∠OBE＝30°，

∴GF＝BF＝，

∴阴影部分面积＝S扇形AOB﹣S△AOF﹣S△BGF

＝﹣×2×2﹣×2×

＝．

故答案为．

14．如图，在正方形ABCD中，边长AB＝4，延长BC至E，使得BC＝CE，连接DE，取DE中点F，连接BF，则点A到直线BF的距离为　　．

解：过F作FG⊥BE于G，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝4，∠ABC＝∠DCB＝90°，

∴∠DCE＝90°，

∵FG⊥CE，DC⊥CE，

∴FG∥DC，

∵点F是DE中点，

∴DF＝EF，

∵BC＝CE＝4，

∴CG＝GE＝CE＝2，

∴FG＝CD＝2，

∴BF＝＝＝2，

过A作AH⊥BF于H，

∴∠AHB＝∠BGF＝90°，

∴∠BAH+∠ABH＝∠ABH+∠FBG＝90°，

∴∠BAH＝∠FBG，

∴△ABH∽△BFG，

∴，

∴＝，

∴AH＝，

即点A到直线BF的距离为．

故答案为：．

三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

15．已知：△ABC．

求作：一个圆O，使圆心O到AB，AC距离相等，并且与线段AC相切，切点为线段AC中点．

解：如图，⊙O即为所求作．

四．解答题（本大题共9小题，共74分）

16．（1）求值：4cos30°﹣|1﹣2|；

（2）先化简再求值：（3x+3）÷（x2﹣1），其中x＝+1．

解：（1）4cos30°﹣|1﹣2|

＝4×﹣（2﹣1）

＝2﹣2+1

＝1；

（2）（3x+3）÷（x2﹣1）

＝

＝，

当x＝+1时，原式＝＝．

17．2021年4月1日青岛市召开了全国文明城市总结表彰暨争创全国文明典范城市动员部署会．会议结束后，我区第一时间行动，狠抓落实整改，迅速掀起全国文明典范城市创建热潮．某学校举办了“全国文明典范城市创建我先行”为主题的志愿服务活动，综合实践社团随机调查了部分同学在“洁净家园”“文明出行”“遵纪守德”“文明餐桌”四项活动中选择一项参加活动的意愿，并根据调查结果绘制成了如下不完整的统计图．

（1）综合实践社团随机调查的学生总人数为　400　；

（2）在图一中“遵纪守德”所在的扇形的圆心角度数为　90　°；

（3）请你将条形图补充完整；

（4）该校共有学生1200人，请你估计志愿服务活动选择“文明出行”的学生人数．

解：（1）综合实践社团随机调查的学生总人数为：120÷30%＝400（人），

故答案为：400；

（2）在图一中“遵纪守德”所在的扇形的圆心角度数为：360°×＝90°，

故答案为：90；

（3）文明餐桌的人数为：400﹣120﹣100﹣60＝120，

补全的条形统计图如右图所示；

（4）1200×＝180（人），

即估计志愿服务活动选择“文明出行”的学生有180人．

18．“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动．某班有甲、乙2位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，用树状图或列表法求《大学》被选中的概率．

解：把《大学》《中庸》《论语》《孟子》分别记为A、B、C、D，

画树状图如图：

共有12个等可能的结果，《大学》被选中的结果有6个，

∴《大学》被选中的概率为＝．

19．新建成的海天中心主楼堪称“青岛第一高楼”，成为青岛地标性建筑之一，如图为了测量海天中心主楼AB的高度，某数学实践小组在D处测得楼顶B的仰角为22.62°，仪器CD高度为1.50米，将仪器CD沿着CA方向前进392米到达EF，在F处测得楼顶B的仰角为37°，请计算海天中心主楼AB的高度．

（sin22.62°≈，tan22.62°≈，cos37°≈，tan37°≈）

解：连接DF，并且延长DF交AB于点G，

则四边形CDFE，EFGA是矩形，EF＝CD＝GA，DF＝CE，FG＝AE，

由题意知：CE＝392米，CD＝EF＝AG＝1.50米，

∠BDG＝22.62°，∠BFG＝37°，

设FG＝x，在△BGF中，

∵tan∠BFG＝，

∴tan37°＝，

∴BG＝x，

在△BDG中，

tan∠BDG＝，

∴tan22.62°＝＝＝，

∴BG＝×（392+x）＝x，

解得：x＝490，

∴FG＝490（米），

BG＝×490＝367.5（米 ），

∴AB＝BG+AG＝367.5+1.5＝369（米 ），

∴海天中心主楼AB的高度是369米．

20．如图，在▱ABCD中，BA⊥AC，延长DC至E，使得DC＝CE，连接BE，连接AE交BC于O．

（1）求证：△COE≌△BOA；

（2）当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABEC是正方形？请说明理由．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABO＝∠D，AB＝DC，AB∥DC，

∴AB∥DE，

∴∠CEO＝∠BAO，

∵DC＝CE，

∴AB＝CE，

在△COE和△BOA中，

，

∴△COE≌△BOA（AAS）；

（2）解：当BC＝AB时，四边形ABEC是正方形，

理由如下：

由（1）知，AB＝CE，AB∥CE，

∴四边形ABEC是平行四边形，

∵BA⊥AC，

∴∠BAC＝90°，

∴四边形ABEC是矩形，

在Rt△ABC中，

∵BC2＝AB2+AC2，BC＝AB，

∴（AB）2＝AB2+AC2，

∴AB2＝AC2，

∴AB＝AC，

∴四边形ABEC是正方形．

21．2020年9月22日，中国在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和”．某公司研发生产了一款废气处理设备，固定成本800（万元），每生产一件成本为10（万元），该设备销售量m件与销售单价x（万元/件）满足函数m＝﹣2x+120．

（1）试求利润y（万元）与售价x（万元/件）之间的函数关系式；

（2）当销售价x（万元/件）定为多少时，使得利润最大，最大利润是多少？

（3）在让购买者得到实惠的前提下，公司还要获利250万元，那么销售单价应该定为多少？

解：（1）由题意得：

y＝（x﹣10）•m﹣800

＝（x﹣10）•（﹣2x+120）﹣800

＝﹣2x2+140x﹣1200﹣800

＝﹣2x2+140x﹣2000，

∴利润y（万元）与售价x（万元/件）之间的函数关系式为y＝﹣2x2+140x﹣2000；

（2）由（1）得：y＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450，

∵a＝﹣2＜0，

∴x＝35时，y最大值为450，

答：当销售价（万元/件）定为35时，使得利润最大，最大利润是450万元；

（3）由题意得：y＝﹣2x2+140x﹣2000＝250，

解得：x1＝25，x2＝45，

∵在让购买者得到实惠的前提下，

∴销售单价应该定为25（万元/件），

答：销售单价应该定为25万元/件．

22．如图，一次函数y＝ax+5的图象与y轴相交于点C，与反比例函数y＝的图象相交于点A（m，4），B（2，1），点D为OC中点，连接OA，OB，连接BD交OA于E．

（1）求a，k，m的值；

（2）求直线OA的方程；

（3）求直线BD的方程；

（4）求△OBE的面积．

解：（1）∵点B（2，1）在一次函数y＝ax+5的图象上，

∴2a+5＝1，

∴a＝﹣2，

∵点B（2，1）在反比例函数y＝的图象上，

∴k＝2×1＝2，

∴反比例函数的表达式为y＝，

∵点A（m，4）在反比例函数图象上，

∴4m＝2，

∴m＝；

（2）设直线OA的解析式为y＝k1x，

∵A（，4），

∴k1＝4，

∴k1＝8，

∴直线OA的解析式为y＝8x；

（3）∵直线AB的解析式为y＝﹣2x+5，

∴C（0，5），

∵点D为OC中点，

∴D（0，），

设直线BD的解析式为y＝k2x+b，

∴，解得，

∴直线BD的解析式为y＝﹣x+；

（4）解得，

∴E（，），

∴S△OBE＝S△OBD﹣S△ODE＝×2﹣×＝．

23．问题提出：在平面上，给出n个圆把平面至多分割成多少个区域？

问题探究：

为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．下面我们先从直线分割平面入手来探究这个问题．

探究一：1条直线可以将平面分成2个区域；2条直线时，要使分成的区域尽最多，则第2条直线要与第1条直线相交可以将平面分成4个区域；3条直线时，如图1，要使分成的区域尽量多，就必须将第3条直线与前面2条直线尽可能两两相交，避免多条直线相交于一点和平行关系的出现，这样就会得到2个交点，这2个交点将第3条直线分为了2条射线和1条线段，而每条射线和线段将已有的区城一分为二，这样就多了2+1＝3个区域，所以3条直线至多将平面分成7个区域；4条直线时，如图2，要使分成的区域尽量多，就必须将第4条直线与前面3条相交直线尽可能两两相交，避免多条直线相交于一点和平行关系的出现，这样就会得到3个交点，这3个交点将第4条直线分为了2条射线和4﹣2＝2条线段，而每条射线和线段将已有的区域一分为二，这样就多了2+2＝4个区域，所以三条直线至多将平面分成11个区域；5条直线时，如图3，要使分成的区域尽量多，就必须将第5条直线与前面4条相交直线尽可能两两相交，避免多条直线相交于一点和平行关系的出现，这样就会得到4个交点，这4个交点将第5条直线分为了2条射线和5﹣2＝3条线段，而每条射线和线段将已有的区域一分为二，这样就多了2+3＝5个区域，所以三条直线至多将平面分成16个区域；由此可推断6条直线可以将平面至多分成　22　个区域；依此类推n条直线可以将平面至多分成　　个区域．

探究二：1个圆可以将平面分成2个区域；2个圆时，要使分成的区域尽量多，2个圆相交将平面分成4个区域；3个圆时，要使分成的区域尽量多，第3个圆与前2个圆都相交被分成了2（3﹣1）＝4条弧，将平面至多分成了4+4＝8个区域；4个圆时，要使分成的区域尽量多，第4个圆与前3个圆都相交被分成了2（4﹣1）＝6条弧，将平面至多分成了8+6＝14个区城；以此类推5个圆可以将平面分成　22　个区域．

问题解决：n个圆至多可以将平面分成　n2﹣n+2　个区城．

问题拓展：仿照前面的过程，n个三角形至多可以将平面分成　3n2﹣3n+2　个区城．

解：探究一：由题意：

1条直线把平面分成1+1＝2个区域；

2条直线把平面分成1+1+2＝4个区域；

3条直线把平面分成1+1+2+3＝7个区域；

4条直线把平面分成1+1+2+3+4＝11个区域；

5条直线把平面分成1+1+2+3+4+5＝16个区域；

6条直线把平面分成1+1+2+3+4+5+6＝22个区域；

.....．

n条直线把平面分成1+1+2+3+...+n＝1+＝个区域；

故答案为：22，．

探究二：根据题意：

1个圆把平面分成（1﹣1）×1+2＝2个区域；

2个圆把平面分成（2﹣1）×2+2＝4个区域；

3个圆把平面分成（3﹣1）×3+2＝8个区域；

4个圆把平面分成（4﹣1）×4+2＝14个区域；

5个圆把平面分成（5﹣1）×5+2＝22个区域；

问题解决：n个圆把平面分成（n﹣1）×n+2＝n2﹣n+2个区域，

故答案为：22，n2﹣n+2；

问题拓展：

设n个三角形最多把平面分成An个区域，

n＝1时，A1＝2；

n＝2时，第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有2个交点，三条边与第一个三角形有2×3个交点，6个交点把第二个三角形的边分成了6段，

这6段的每一段都将原来的每个区域分成了2个区域，从而增加了6个区域，即A2＝2+2×3＝8；

n＝3时，第三个三角形与前面两个三角形最多有4×3＝12个交点，从而增加了12个区域，即A3＝2+2×3+4×3＝20；

一般地，第n个三角形与前面（n﹣1）个三角形最多有2（n﹣1）×3个交点，从而增加2（n﹣1）×3个区域，

故An＝2+2×3+4×3+......+2（n﹣1）×3

＝2+[2+4+......+2（n﹣1）]×3

＝2+3n（n﹣1）

＝3n2﹣3n+2．

故答案为：3n2﹣3n+2．

24．已知：如图，矩形ABCD中和Rt△EBF中，点C在BF上，∠EBF＝90°，AB＝BF＝8cm，AD＝BE＝6cm，连接BD，点M从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点N从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s．过点M作GH⊥AB交AB于点H，交CD于点G．设运动时间为t（s）（0＜t＜10）．

解答下列问题：

（1）当t为何值时，MF⊥BD？

（2）连接MN，做NQ⊥BE交BE于Q，当四边形MHQN为矩形时，求t的值；

（3）连接NC，NH，设四边形NCGH的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；

（4）点M在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点M在线段EF的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）作FM⊥BD，

∵AD＝6，AB＝8，BE＝6，AF＝8，

∴BD＝FE＝10，

∵cos∠DBF＝，cos，

∴，

∴t＝．

（2）若MHQN为矩形时，

∴NQ＝MH，＝sin，

∴MH＝MB＝（10﹣t），，

∴t，

∴（10﹣t）＝t，

∴t＝．

（3）连接NH与BF交于K，

∵BH＝BM＝（10﹣t），BQ＝BE﹣EQ＝6﹣t，，

∴，

∴BK＝t，CK＝6﹣，

∴S＝＝＝．

（4）存在，过点R作EF中垂线与BD交M，

∴RE＝5，ET＝，BT＝，

过M作MJ⊥AB于J，

∴＝tan∠MJT＝＝，

∴，

∴＝tan∠MBJ＝＝，

∴BJ＝MJ，

∴BT＝BJ+TJ＝MJ＝，

∴BM＝＝，

∵BM＝10﹣t，

∴10﹣t＝，

∴t＝．