Matlab在近似计算中的应用

文章编号：1007-9831（2006）03-0093-04

Matlab 在近似计算中的应用

张水胜，万莉娟

（齐齐哈尔大学 理学院，黑龙江 齐齐哈尔 161006）

摘要：对于传统的静态教学模式不容易向学生讲解清楚的函数与其n 次近似多项式的关系和级数

收敛速度问题，借助Matlab 给出直观形象地展示．

关键词：收敛速度；幂级数展开；近似计算

中图分类号：O242.2∶TP317 文献标识码：A

1 问题的提出

问题1：如何让学生体会到)(x f 与其n 次近似多项式的一种关系，即近似多项式的次数越高，其与

)(x f 的接近程度就越好，传统的是：让n 取几个定值，具体计算相应的误差，再进行比较．但这种

做法比较麻烦、且不够直观．

问题2：利用幂级数展开式进行近似计算时，如果选取的级数收敛速度较慢，要想符合误差的要求，

计算量就会过大，必须选取相对收敛速度较快的级数进行计算，但传统的教学模式，无法直观、形象地展

现不同级数的收敛速度的快慢．

2 通过图象揭示)(x f 与其n 次近似多项式的关系

比如求x x f sin )(=的n 阶麦克劳林公式

m m m R m x x x x x 212153)!

12()1(!5!3sin +−−+++−=−−L ，令m n 2= 其中122)!

12(]2/π)12(sin[)(++++=m m x m m x x R θ， 10<<θ． 利用数学软件Matlab 将x sin 的n 次近似多项式的图象画出来，通过其与x y sin =图象的重合程度，来

探讨该近似多项式次数n 越高，2条曲线重合区域越大，即：随着近似多项式次数的增加，其与x sin 的接

近程度就越好．这里给出４幅图象，见图1~图4．可以看出，当1=n 时，x sin 的近似多项式的图象与x

y sin =的图象仅有极小部分重合（见图1）；当5=n 时，x sin 的近似多项式的图象与x y sin =的图象有四分之一

周期重合（见图2）；当10=n 时，x sin 的近似多项式的图象与x y sin =的图象有一个周期重合（见图３）

；当30=n 时，x sin 的近似多项式的图象与x y sin =的图象在10) ,10(−整个区间上都重合（见图４）

．这样使学生能直观地体会到)(x f 与其n 次近似多项式的关系，深刻体会其中的奥妙，从而能够灵活运用．

3 数形结合揭示级数收敛速度

收稿日期：2006-04-14

作者简介：张水胜（1970-），山东汶上人，男，副教授，从事概率统计理论与教学研究．

利用函数的幂级数展开式求2ln 的近似值，可以分别选取)1ln(x +，)1ln(x −与x

x −+11ln

在1=x ，1−=x 和3/1=x 时各展开式的值来近似求解，可不同的级数收敛速度不同，比如要想使误差不超过0.000 1，若级

数选取不当，就会使计算量过大，所以必须选取相对收敛速度较快的级数进行计算．但传统的教学模式无

法清晰、直观地揭示各级数的收敛速度，因此我们可以借助数学软件的计算及图形功能来辅助讲解． 图5是x

x −+11ln 的展开式的n 从0～10时，余项1+n R 对应点与0接近程度．我们知道，)5

3(211ln 53L +++=−+x x x x x )11(<<−x ，为了使学生清楚明了地看出从哪项起误差小于0.000 1，在Matlab 中输入相应命令：

>>n=0:10;

>> f=2*((1/3).^(2*n+1))./(2*n+1)

f =

0.666 7 0.024 7 0.001 6 0.000 1 0.000 0 0.000 0 0.000 0 0.000 0 0.000 0 0.000 0 0.000 0

可以看出在精确4位有效数字时，第4项为0.000 1，而第5项起以后均为零，说明该级数收敛速度极

快，对于0.000 1的精确度只需计算前4项即可．而对于级数)1ln(x −，则有

L −−−−−=−4

32)1ln(432x x x x x （11<≤−x ） 得到展开式中余项'1

+n R 的数值如下（见图6）： >> n=0:10;

>> f=((1/2).^(n+1))./(n+1)

f =

0.500 0 0.125 0 0.041 7 0.015 6 0.006 3 0.002 6 0.001 1 0.000 5 0.000 2 0.000 1 0.000 0

图1 1=n 时x sin 展开式与x y sin =图象

的近似程度 图2 5=n 时x sin 展开式与x y sin =图象的近似程度

图4 30=n 时x sin 展开式与x y sin =图象的近似程度 图3 10=n 时x sin 展开式与x y sin =图象

的近似程度

第3期 张水胜等：Matlab 在近似计算中的应用 95

此级数第10项为0.000 1，而第11项起以后均为零，说明该级数收敛速度也比较快，对于0.000

1的

精确度只需计算前10项即可． 对于L +−+−=+4

32)1ln(4

32x x x x x ， 11≤<−x ，其展开式中的余项1+n r 的数值如图7、图8，分别给出n 从0~10和n 从9901~10010时，1+n r 对应点与0接近程度．

可以看出其收敛速度较慢，再看具体数值如下：

>>n=1:10;

>>f=(-1).^n./(n+1)

f =

-0.5000 0.3333 -0.2500 0.2000 -0.1667 0.1429 -0.1250 0.1111 -0.1000 0.0909

>>n=9901:10010;

>> f=(-1).^n./(n+1)

f = 1.0e-003 *

Columns 101 through 110

-0.1000 0.1000 -0.1000 0.1000 -0.0999 0.0999 -0.0999 0.0999 -0.0999 0.0999 可以看出直到n =10 004时误差还是0.000 1，直到n =1000 5

起以后误差才小于

0.000

1，可见这个级数

收敛速度是非常的慢．图8中对应图象接行，说明其收敛速度很慢．

以上只是我们在教学中利用数学软件辅助教学的几个片段，但足以说明计算机辅助教学的优势，同时

说明利用计算机辅助教学的目的关键在于揭示数学的实质，而不是简单演示文稿及模拟图片，更多的应该

是利用数学软件的计算、绘图、做动画等功能来体现数学实质，帮助学生理解消化，以至灵活应用．

参考文献：

[1] 张奠宙．高师数学系改革的若干设想[J]．数学教育学报，1999（1）：1-2．

[2] 张水胜，张晓丹．《高师数学实验》与数学CAI 的比较研究[J]．高师理科学刊，2003，23（3）

：71-73． 图

7

n

从0~10

时1+n r 对应点与0接近程度

图8

n

从

9901~10010

时1+n r 对应点与0

接近程度 图6 n 从0~10时 n R 1

+对应点与0 接近程度

图5 n 从0~10时1+n R 对应点与0接近程度

The application of approximate computation of Matlab

ZHANG Shui-sheng，WAN Li -juan

（School of Science，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China )

Abstract：With the help of Matlab，We can show the problem of the relation of function and its approximate poly- nomialof nth degree which can’t be explained clearly with the traditional static teaching model and the convergence speed of series directly and clearly.

Key words：convergence speed；power series expansion；approximate computation

数学教学中充分体现学生的主体地位

李石

优化教学过程最根本的是引导学生积极主动参与学习过程，学会学习，使他们成为真正的学习主体．教学过程中，教师应充分发挥学生的主动性，让学生成为课堂的主体．

1 发扬教学民主，创设和谐气氛

在课堂教学中，教师只有发扬教学民主，创设轻松、和谐的课堂气氛，让学生感到自己真正是学习的主人，学生才能心情舒畅，求知欲旺盛，思维活跃．因此在课堂上，教师要注意察颜观色，调节学生的情绪和注意力，采取恰当的方式，使学生对新旧知识的学习和巩固既不生厌，也不生畏，学习情绪始终兴奋状态．例如：在讲“两圆位置关系”时，用铁丝围成两半径不等的圆，然后让学生在磁性黑板上试着摆出两圆可能存在的位置关系，学生们纷纷议论，大胆构想，整个课堂出现了积极、活跃的气氛，最后教师和同学们一起总结出两圆外离、外切、相交、内切、内含的位置关系，通过教师和同学之同“互相启发、互相促进”得出圆心距与两半径之闻的数量关系，既让学生们有了实践的机会，又让学生们对知识掌握的非常牢固．2 激发学生兴趣，吸引学生参与

学生在学习过程中．情绪会不断变化，如果因有兴趣而产生积极情绪，活跃起来，就会对学习起推动作用．所以教师必须精心设计教学，努力激发学生的兴趣，充分调动学生的积极性，吸引学生主动参与学习过程．传统的“粉笔+讲授式”的教学方式已引不起学生的兴趣．而现代教学方法是多种多样的，教学有法，教无定法，责在得法．创设好“问题情境”是激发学生学习兴趣的一个重要的方法，即设置“悬念”．教师根据教材的重点和难点，选择几点编成问题，在教学过程中与学生一起对问题进行观察和磋商，逐步造成学生急于解决问题，但利用现有的知识无法解决的局面，形成认识“冲突”，这就激发了他的求知欲．这时教师适当引导，启发学生各抒己见，引起学生思索的兴趣．心理学表明，学生思维是否活跃，主要取决于他们是否具有解决问题的需要，而“悬念”可以极大的调动学生的求知欲望，例如：讲几何“圆周角”时，通过设置悬念“如何确定一个圆的圆心?”学生即刻便能答出，再问“只有直角三角尺的情况下，你如何找到一个圆的圆心呢？”学生思考后，众说纷纭，无法肯定，在这种情况下，教师讲授必然引起学生高度重视，进而积极思维．

３ 创造条件，为学生提供自主空间

要想让学生在课堂中成为主体就要有合理的教学组织形式，有充分的活动时间和空间，为他们提供广阔的活动舞台，所以在课堂教学中要为学生提供表现的机会，尽量让学生自己观察、自己动手操作、自己讨论、自己动脑思考、自己归纳．学习活动就是学生用脑、手、眼等多种感官协同活动的过程．对激发学生的学习兴趣，培养学生创造性思维非常有好处．因此在数学教学中，放手让学生自己操作很有必要，在主动探索中开发学生创新能力，不仅能使学习气氛生动活泼，而且使学生以所学知识理解得更深刻透彻，理清了脉络，澄清了模糊概念．

４ 尊重学生的心理需要，帮助学生成功

学生的心理需要很多，但最大的需要还是获得学习的成功，尝到成功的愉快．心理学研究表明：一个人只要体现到成功的欣慰与快乐，便会激起再一次追求成功、胜利的信念和力量．因此，教师要根据学生的心理特点和实践认知的水平，努力为他们创造成功的条件．在创造成功条件的同时，也要引导学生正确对待尝试创新活动中的失败，适时调节自己的心态．在教学过程中，教师要善于发现学生的闪光点，只要有学生提出新观点、新思路，教师就要表示支持和赞同，哪怕是错误的，也不要泼冷水，留给学生充分的余地，让他们在实践中体验、反思．让学生对探索新知识产生浓厚的兴趣，体验成功的欢乐．５ 善于启发思考，培养学生创新思维

为了让学生在课堂中成为主体，培养他们的创新精神和创新能力，教师就要善于启发学生思考，培养学生创新思维．学起于思，思源于疑，疑问和惊奇最容易激发青少年好奇心和求知欲．教师要善于利用学科知识的特点，精心设问巧设疑，创设情境．从而激发学生的学习兴趣，吸引学生主动思考新问题，勇于探索新知识，从中发现新规律．尤其要涉及一些开放式的练习题，借以拓宽学生的新思维，培养了学生发现同题和解决同题的能力．

总之，在数学教学实践中，只有充分发挥学生的主体作用，最大限度地激发学生的学习兴趣，调动他们思考和探索同题的主动性和创造性，让他们在各种形式的课堂活动中真正做到自己学习，并且各有收获．才能提高数学课堂教学效率．

（作者单位：齐齐哈尔市第28中学）