带电粒子在复合场中运动压轴题精讲10例

河南  李仲旭

温馨提示：通过下列精讲10例，可以完全掌握高考问题中带电粒子在复合场中运动压轴题，解析后大多还有试题点评，稳拿高分，纯word版，方便编辑使用.

1．如图甲所示,竖直平面坐标系xOy第二象限内有一水平向右的匀强电场,第一象限内有竖直向上的匀强电场,场强E2=。该区域同时存在按图乙所示规律变化的可调磁场,磁场方向垂直纸面(以向外为正)。可视为质点的质量为m、电荷量为q的带正电微粒,以速度v0从A点竖直向上进入第二象限,并在图乙t=0时刻从C点水平进入第一象限,调整B0、T0不同的取值组合,总能使微粒经过相应磁场的四分之一周期速度方向恰好偏转,又经一段时间后恰能以水平速度通过与C在同一水平线上的D点。已知重力加速度为g,OA=OC,CD=OC。

(1)求微粒运动到C点时的速度大小vC以及OC的长度L;

(2)求微粒从C点到D点的所有可能运动情况中离CD的最大距离Hm;

(3)若微粒以水平速度通过与C同一水平线上的是D'点,CD'=3OC,求交变磁场磁感应强度B0及周期T0的取值分别应满足的条件。

【解析】(1)OA=OC=L,则粒子在第一象限中有:

水平方向:L=t

竖直方向:L=t

由上式得:vC=v0

竖直方向:-2gL=0-

得:L=

(2)依题意可得:qE2=mg

故粒子从C运动至D的轨迹如图所示,

则有:

4nR=L(n=1,2,3,…)

粒子离CD的最大距离为:

H=2R

解得:H=(n=1,2,3,…)

故Hm=

(3)粒子从C运动至D'的轨迹与上图相同,有:

4kR'=3L(k=1,2,3,…)

粒子要不离开第一象限到达D'应满足:

2R'≤L

粒子做匀速圆周运动有:

qvCB0=m

解得:B0=(k=2,3,4,…)

粒子做匀速圆周运动的周期为

T=

由粒子运动规律得:

T0=T

解得:T0=(k=2,3,4,…)

(用其他合理方法解得正确结果同样给分)

2．如图所示,在xOy平面内存在着垂直于xOy平面的磁场和平行于y轴的电场,磁场和电场随时间的变化规律如图甲、图乙所示。以垂直于xOy平面向里磁场的磁感应强度为正,以沿y轴正方向电场的电场强度为正。t=0时,带负电粒子从原点O以初速度v0沿y轴正方向运动,t=5t0时,粒子回到O点,v0、t0、B0已知,粒子的比荷=,不计粒子重力。

(1)求粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期;

(2)求电场强度E0的值;

(3)保持磁场仍如图甲所示,将图乙所示的电场换成图丙所示的电场。t=0时刻,前述带负电粒子仍由O点以初速度v0沿y轴正方向运动,求粒子在t=9t0时的位置坐标。

【解析】(1)粒子在磁场中运动时qv0B0=　①

T=　②

=

得T=2t0　③

(2)粒子t=5t0时回到原点,轨迹如图所示

由牛顿第二定律qv0B0=　④

由几何关系得r2=2r1　⑤

得v2=2v0　⑥

由运动学公式v2=v0+at0　⑦

由牛顿第二定律E0q=ma　⑧

得E0=　⑨

(3)t0时刻粒子回到x轴　⑩

t0~2t0时间内,粒子位移s1=2[v0·+a()2]　

2t0时刻粒子速度大小为v0

3t0时刻,粒子以速度大小v0到达y轴　

3t0~4t0时间内,粒子运动的位移

s2=2[v0·-a()2]　

4t0时刻粒子速度大小为v0

5t0时刻粒子运动到点[2r1,-(s1-s2)]　

根据粒子的周期性运动规律可知,t=9t0时刻的位置坐标为[2r1,-2(s1-s2)]代入数据即为(,-v0t0)　

【点评】本题考查带电粒子在交变电场、磁场中的运动,意在考查考生的分析综合能力和利用数学知识解决实际问题的能力。

3．如图所示,在坐标系xOy的第一、第三象限内存在相同的匀强磁场,磁场方向垂直于xOy平面向里;第四象限内有沿y轴正方向的匀强电场,电场强度大小为E。一带电荷量为+q、质量为m的粒子,自y轴上的P点沿x轴正方向射入第四象限,经x轴上的Q点进入第一象限,随即撤去电场,以后仅保留磁场。已知OP=d,OQ=2d。不计粒子重力。

(1)求粒子过Q点时速度的大小和方向。

(2)若磁感应强度的大小为一确定值B0,粒子将以垂直y轴的方向进入第二象限,求B0。

(3)若磁感应强度的大小为另一确定值,经过一段时间后粒子将再次经过Q点,且速度与第一次过Q点时相同,求该粒子相邻两次经过Q点所用的时间。

【解析】(1)设粒子在电场中运动的时间为t0,加速度的大小为a,粒子的初速度为v0,过Q点时速度的大小为v,沿y轴方向分速度的大小为vy,速度与x轴正方向间的夹角为θ,由牛顿第二定律得

qE=ma　①

由运动学公式得

d=a　②

2d=v0t0　③

vy=at0　④

v=　⑤

tan θ=　⑥

联立①②③④⑤⑥式得

v=2　⑦

θ=45°　⑧

(2)设粒子做圆周运动的半径为R1,粒子在第一象限的运动轨迹如图所示,O1为圆心,由几何关系可知△O1OQ为等腰直角三角形,得

R1=2 d　⑨

由牛顿第二定律得

qvB0=m　⑩

联立⑦⑨⑩式得

B0=　

(3)设粒子做圆周运动的半径为R2,由几何分析【粒子运动的轨迹如图所示,O2、O'2是粒子做圆周运动的圆心,Q、F、G、H是轨迹与两坐标轴的交点,连接O2、O'2,由几何关系知,O2FGO'2和O2QHO'2均为矩形,进而知FQ、GH均为直径,QFGH也是矩形,又FH⊥GQ,可知QFGH是正方形,△QOF为等腰直角三角形。】可知,粒子在第一、第三象限的轨迹均为半圆,得

2R2=2 d　

粒子在第二、第四象限的轨迹为长度相等的线段,得

FG=HQ=2R2　

设粒子相邻两次经过Q点所用的时间为t,

则有

t=　

联立⑦式得

t=(2+π)　

4．如图所示在平面直角坐标系xOy中,第Ⅰ、Ⅱ象限存在沿y轴负方向的匀强电场,场强大小为E,第Ⅲ、Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场,磁感应强度为B。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴正半轴上到原点O的距离为d的P点以速度v0垂直于y轴射入第Ⅰ象限的电场,经x轴射入磁场,已知E=,B=。不计粒子重力,求:

(1)粒子在磁场中运动的半径,画出带电粒子运动的轨迹;

(2)从粒子射入电场开始,求粒子经过x轴时间的可能值。

【解析】(1)带电粒子射入电场中做类平抛运动

由牛顿第二定律a==

由类平抛运动的特点,带电粒子在竖直方向上做初速度为零的匀加速运动,粒子离开电场时,有d=a,vy=at1

水平方向上做匀速运动x=v0t1

设此时合速度与水平方向的夹角为θ,由合速度与分速度的关系得tan θ=

v合=

联立可得x=2d,v合=v0,θ=

带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,qv合B=,代入得r=2d

由几何关系可确定出带电粒子在磁场中做圆周运动的圆心在y轴上-2d处,设为O',根据圆的对称性,粒子出磁场时的速度和位置与入磁场时对称,带电粒子进入第Ⅳ象限做斜抛运动,运动情况和在第Ⅰ象限对称,故可画出带电粒子运动的轨迹如图所示

(2)由(1)知粒子在第Ⅰ象限的电场中运动的时间t1=

带电粒子在磁场中运动的周期为T=

带电粒子在磁场中运动的时间为t2===

带电粒子在第Ⅳ象限的电场中运动的时间t3=t1=

故带电粒子经过x轴正半轴时间的可能值为t=n(t1+t2+t3)+t1=+(n=0、1、2、3、…)

带电粒子经过x轴负半轴时间的可能值为t=n(t1+t2+t3)+t1+t2=+(n=0、1、2、3、…)

【点评】求解带电粒子在电磁组合场中的运动问题时,关键要明确带电粒子在不同场中受力及受力方向与运动方向的关系,画出可能的运动轨迹,转化为类平抛运动、圆周运动等物理模型,利用动力学等知识即可解决。

5．如图所示,在半径为a的圆形区域中存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。在圆形区域中固定放置一绝缘材料制成的边长为a的刚性等边三角形框架DEF,其中心位于圆心O上。DE边上中点S处有一粒子源,可沿垂直于DE边向下,以不同速率发射质量为m,电荷量为q的正电粒子。若这些粒子与三角形框架发生碰撞时,粒子速度方向均垂直于被碰的边并以原速率返回且电荷量不变,不考虑粒子间相互作用及重力,求:

(1)带电粒子速度v的大小取哪些数值时,可使S点发出的粒子最终又回到S点。

(2)这些粒子中,回到S点所用的最短时间是多少。

【解析】解:(1)带电粒子从S点垂直于DE边以速度v射出后,在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,其轨迹圆心一定位于DE边上,其轨迹半径R可由 qvB=,求得R=

要求粒子每次与△DEF的三条边碰撞时速度都与边垂直,且能回到S点,则R和v应满足以下条件:

由于碰撞时速度v与边垂直,粒子运动轨迹圆的圆心一定位于△DEF的边上,粒子绕过△DEF顶点D、E、F时的圆弧的圆心就一定要在相邻边的交点(即D、E、F)上。粒子从S点开始向右做圆周运动,其轨迹为一系列半径为R的半圆,在SE边上最后一次的碰撞点与E点的距离应为R,所以SE的长度应是R的奇数倍。即SE=a=(2n+1)R(n=0,1,2,3…)

由几何知识得:OE==a

延长OE交圆形区域边界于M,EM=1.1a -OE=0.1a

若使粒子不射出磁场,有R≤0.1a

得:n≥3.83 即n=4,5,6…

得: v=R=(n=4,5,6…)

(2)这些粒子在磁场中做圆周运动的周期为T=

可见,在B及q/m给定时T与v无关。粒子从S点出发最后回到S点的过程中,与△DEF的边碰撞次数愈少,所经历的时间就愈少,

所以应取n=4, 粒子半径R==

a,=9

如图所示(图中只画出SE间的碰撞情况)

,由对称性可知该粒子的轨迹包括3×8个半圆和3个圆心角为300°的圆弧,所需时间为t=3×8×+3×T=T

得t=29

【点评】本题以带电粒子在有界匀强磁场中运动为载体考查了洛伦兹力、向心力、周期公式等知识点,意在考查考生的综合应用能力。

6．如图所示,三个同心圆是磁场的理想边界,圆1半径R1=R、圆2半径R2=3R、圆3半径R3(R3>R2)大小未定,圆1内部区域磁感应强度为B,圆1与圆2之间的环形区域是无场区,圆2与圆3之间的环形区域磁感应强度也为B。两个区域磁场方向均垂直于纸面向里。t=0时一个质量为m,带电荷量为+q(q>0)的离子(不计重力),从圆1上的A点沿半径方向以速度v=飞进圆1内部磁场。问:

(1)离子经多长时间第一次飞出圆1;

(2)若离子飞不出环形磁场圆3边界,则圆3半径R3至少为多大;

(3)在满足了第(2)问的条件后,离子自A点射出后会在两个磁场不断地飞进飞出,从t=0开始到离子第二次回到A点,离子运动的总时间为多少;

(4)在同样满足了第(2)问的条件后,若环形磁场方向为垂直于纸面向外,其他条件不变,从t=0开始到离子第一次回到A点,离子运动的路径总长为多少。

【解析】(1)

由qvB=m可得r1=R

如图1,根据几何知识:

离子在圆1中运动圆弧对应的圆心角为60°

得:t1=

(2)依题意离子在环形磁场中的轨迹与圆3相切时对应的就是半径最小值,如图2:

由于两磁场的磁感应强度相同,有:r2=r1=R

由图中几何关系得:+r2=R3

得:R3=3R

(3)根据几何知识:

离子在圆2和圆3之间的运动圆弧对应的圆心角为240°,

得:t2=

作图如图3(只画了单程,这样的单程重复总共需6次)。

从t=0开始到离子第二次回到A点,离子在圆1内磁场中运动共6次;

离子在环形磁场中运动共6次;离子在无场区中直线运动共12次

在无场区离子直线单程的时间t3=

总时间t=6t1+6t2+12t3=(10π+8)

(4)

作图如图4(只画了单程,这样的单程重复总共需2次)。

从t=0开始到离子第一次回到A点,离子在圆1内磁场中运动共2次;

离子在环形磁场中运动共2次;离子在无场区中直线运动共4次

路径总长s=(+8)R

【点评】本题考查带电离子在环形磁场中的运动问题,意在考查考生运用磁场知识进行运动分析与计算的能力。

7．如图所示,边长为3L的等边三角形APC区域内存在垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B。D、E、F三点分别在PC、CA、AP边上,AF=PD=CE=L。现有一质量为m、电荷量为q的带正电离子(不计重力),从F点以速度v射入磁场。

(1)如果速度v方向与PC边平行,离子第一次到分界线就经过D点,则速度v的大小是多少?

(2)保持速度v的方向与PC边平行,改变速度v的大小,试求PC边上离子出射的可能范围(要求明确PC边上离子出射的范围左右端点分别与P点的距离)。

(3)假设三角形区域外存在磁感应强度大小同为B,方向垂直于纸面向里的匀强磁场,且磁场区域足够大。改变速度的大小和方向(速度的方向均在纸平面内),使离子第一次、第二次到达分界线时依次经过D点和E点。求离子周期性运动的周期。

【解析】(1)

带电离子的运动轨迹如图1所示,可得圆周运动的半径:

r===L

根据洛伦兹力提供向心力,可得

qvB=m

由上式可得v=

(2)带电离子从PC边射出的两条临界运动轨迹如图1所示,

离子在PC边上出射的左端点为D,得PD=L

离子在PC边上出射的右端点为G,PG=L+r2,由几何关系可得

r2=FD==L

得PG=(+1)L

PC边上离子出射的可能范围为D点到G点之间。

(3)

连接D、E、F,可得△DEF是等边三角形,当离子沿∠DFE的角平分线方向射入时,离子才能依次经过D点、E点,其运动的各段轨迹依次是a、b、c、d、e、f。回到F点,完成一个周期运动,如图2所示。

离子一个周期运动的路径为3个圆的周长,所以其运动周期T=

【点评】本题考查带电离子在匀强磁场中的运动、牛顿运动定律,意在考查数学知识(平面几何知识)在物理中的运用。

8．如图所示,半径为R的绝缘圆筒中有沿轴线方向的匀强磁场,磁场方向垂直纸面向里,匀强磁场的磁感应强度为B,圆筒形场区的边界由弹性材料构成。一个质量为m、电荷量为q的正粒子(不计粒子的重力)以某一速度从圆筒上的小孔M进入圆筒中,速度方向与半径成30°角,并垂直于磁场方向。粒子和筒壁碰撞量和电荷量的损失。则:

(1)粒子的速度多大时,可以在最短的时间内返回M孔?

(2)若粒子与筒壁发生两次碰撞后从M孔射出,粒子的速率是多大?

(3)若粒子与筒壁发生n次碰撞后从M孔射出,粒子的速率为多大?

【解析】(1)粒子要在最短的时间内返回M孔,粒子与筒壁只能碰撞一次,据此画出粒子的运动轨迹如图1所示。碰撞点在过M点的直径的另一端点N,设粒子在磁场中运动的轨迹半径为r1,速度为v1,则有qv1B=m

结合图中的几何关系可得r1=2R

联立解得粒子的速度为v1=

(2)粒子与筒壁发生两次碰撞后从M孔射出,根据对称性画出粒子的运动轨迹如图2所示,结合图中的几何关系可知r2=R

根据圆周运动知识qv2B=m

解得粒子的速度为v2=

(3)设粒子与筒壁碰撞n次从M孔射出,每相邻两次碰撞点对应的场区的圆心角为θ,则必须满足:θ(n+1)=k×2π(k=1、2、3、…)

结合图中的几何关系可得+β=

=

解得rn= (k=1、2、3、…)

根据圆周运动知识qvnB=m

解得vn=× (k=1、2、3、…)

【点评】1.在研究带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动规律时,着重把握“一找圆心,二找半径(R=),三找周期(T=)或时间”的规律;2.注意圆周运动中的有关对称规律。如从同一直线边界射入的粒子,再从这一边界射出时,速度与边界的夹角相等;在圆形磁场区域内,沿径向射入的粒子,必沿径向射出。

9．如图(a)所示,在以O为圆心,内外半径分别为R1和R2的圆环区域内,存在辐射状电场和垂直纸面的匀强磁场,内外圆间的电势差U为常量,R1=R0,R2=3R0,一电荷量为+q,质量为m的粒子从内圆上的A点进入该区域,不计重力。

1.已知粒子从外圆上以速度v1射出,求粒子在A点的初速度v0的大小。

2.若撤去电场,如图(b),已知粒子从OA延长线与外圆的交点C以速度v2射出,方向与OA延长线成45°角,求磁感应强度的大小及粒子在磁场中运动的时间。

3.在图(b)中,若粒子从A点进入磁场,速度大小为v3,方向不确定,要使粒子一定能够从外圆射出,磁感应强度应小于多少?

图(a)　　　  　　　图(b)

【解析】(1)电、磁场都存在时,只有电场力对带电粒子做功,由动能定理

qU=m-m①

得v0=②

(2)由牛顿第二定律

qBv=m③

如图1,由几何关系确定粒子运动轨迹的圆心O'和半径R

图1

R2+R2=(R2-R1)2④

联立③④,得磁感应强度大小

B=⑤

粒子在磁场中做匀速圆周运动周期

T=⑥

由几何关系确定粒子在磁场中运动的时间

t=⑦

联立④⑥⑦式,得

t=⑧

(3)如图2,为使粒子射出,则粒子在磁场内的运动半径应大于过A点的最大内切圆半径, 

图2

该半径为Rc=⑨

由③⑨得磁感应强度应小于

Bc=⑩

10．如图所示,直角坐标平面xOy内有一条直线AC过坐标原点O,与x轴成45°夹角,在OA与x轴负半轴之间的区域内存在垂直xOy平面向外的匀强磁场B1,在OC与x轴正半轴之间的区域内存在垂直xOy平面向外的匀强磁场B2。现有一质量为m,带电荷量为q(q>0)的带电粒子以速度v从位于直线AC上的P点,坐标为(L,L),竖直向下射出,经测量发现,此带电粒子每经过相同的时间T,会再次回到P点,已知磁感应强度B2=。(不计粒子重力)

(1)请在图中画出带电粒子的运动轨迹,并求匀强磁场B1与B2的比值;(B1、B2磁场足够大)

(2)求带电粒子相邻两次经过P点的时间间隔T;

(3)若保持磁感应强度B2不变,改变B1的大小,但不改变其方向,使B1=。现从P点向下先后发射速度分别为和的与原来相同的带电粒子(不计两个带电粒子之间的相互作用力,并且此时当做第一次经过直线AC),如果它们第三次经过直线AC时轨迹与AC的交点分别记为E点和F点(图中未画出),试求EF两点间的距离;

(4)若要使(3)中所说的两个带电粒子同时第三次经过直线AC,问两带电粒子第一次从P点射出时的时间间隔Δt要多长?

【解析】(1)

带电粒子从P点匀速运动到Q点,然后做半径为R2==L的匀速圆周运动,运动到H点时的速度方向与AC垂直,从H点匀速运动到D点,再做匀速圆周运动到P点。运动轨迹如图1所示。

根据平面几何知识可知:PO=OD=L,四边形PODO1为菱形,带电粒子在匀强磁场B1中做匀速圆周运动时的半径R1为L,O1为圆心,根据qvB1=m,得:

B1==B2,即=

(2)T=t1+t2+t3+t4

t1=,t2=T2=

t3=,t4=T1=

T=t1+t2+t3+t4=

(3)两带电粒子在磁场B2中运动时的半径为

R'2==,R″2==

B1==,故粒子在磁场B1中的运动半径为磁场B2中运动半径的2倍,则两带电粒子都刚好运动1/4圆周到达P点,所以EF两点间的距离EF=0(如图2所示,3分)

(4)两带电粒子在同一磁场中做匀速圆周运动的周期相同,转过的圆心角也相同,故在同一磁场中的运动时间相同,所以时间间隔Δt就是直线运动的时间差:Δt=-=

【点评】本题考查带电粒子在有界磁场中的运动问题,意在考查考生运用磁场知识进行运动分析与综合计算的能力。