全国六年级小学数学竞赛测试带答案解析

班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________

一、解答题

1.如图，正方形ABCD的边长为6，1.5，2．长方形EFGH的面积为多少．

2.如图所示，正方形的边长为厘米，长方形的长为厘米，那么长方形的宽为几厘米？

3.长方形的面积为36，、、为各边中点，为边上任意一点，问阴影部分面积是多少？

4.在边长为6厘米的正方形内任取一点，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与点连接,求阴影部分的面积．

5.如图所示，长方形内的阴影部分的面积之和为70，，，四边形的面积为多少?

6.如图，长方形的面积是36，是的三等分点，,求阴影部分的面积．

7.已知为等边三角形，面积为400，、、分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形)

8.如图，已知，，，，线段将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，求三角形的面积.

9.如图在中，分别是上的点，且，，平方厘米，求的面积．

10.如图，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面积等于1，那么三角形的面积是多少？

11.如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，，，，乙部分面积是甲部分面积的几倍？

12.如图在中，在的延长线上，在上，且，，平方厘米，求的面积．

13.如图，平行四边形，，，，，平行四边形的面积是，求平行四边形与四边形的面积比．

14.如图所示的四边形的面积等于多少？

15.如图所示，中，，，，以为一边向外作正方形，中心为，求的面积．

16.如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形，，、交于．已知、的长分别为、，求三角形的面积．

17.如下图，六边形中，，，，且有平行于，平行于，平行于，对角线垂直于，已知厘米，厘米，请问六边形的面积是多少平方厘米？

18.如图，长方形的面积是平方厘米，，是的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?

19.四边形的对角线与交于点(如图所示)．如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，，那么的长度是的长度的多少倍．

20.如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，

求：⑴三角形的面积；⑵？

21.如图，平行四边形的对角线交于点，、、、的面积依次是2、4、4和6．

求：⑴求的面积；⑵求的面积．

22.如图，长方形中，，，三角形的面积为平方厘米，求长方形的面积．

23.如图，正方形面积为平方厘米，是边上的中点．求图中阴影部分的面积．

24.在下图的正方形中，是边的中点，与相交于点，三角形的面积为1平方厘米，那么正方形面积是多少平方厘米．

25.已知是平行四边形，，三角形的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是       平方厘米．

26.右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是多少平方厘米．

27.右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是多少平方厘米．

28.如图，长方形被、分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形的面积为多少平方厘米．

29.如图，是等腰直角三角形，是正方形，线段与相交于点．已知正方形的面积48，，则的面积是多少？

30.下图中，四边形都是边长为1的正方形，、、、分别是，，，的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，的值等于多少？

31.如图，平行，且，，，求的长．

32.如图，已知正方形的边长为，是边的中点，是边上的点，且，与相交于点，求.

33.如图所示，已知平行四边形的面积是1，、是、的中点， 交于，求的面积．

34.如图，为正方形，且，请问四边形的面积为多少？

35.如右图，三角形中，，，求．

36.如右图，三角形中，，，求.

37.如右图，三角形中，，，求.

38.如右图，三角形中，，且三角形的面积是，则三角形的面积为多少，三角形的面积为多少，三角形的面积为多少？

39.如右图，三角形中，，且三角形的面积是，求三角形的面积．

40.如图，中，，，那么的面积是阴影三角形面积的多少倍．

41.如图在中，,求的值．

42.如图，三角形的面积是，，，三角形被分成部分，请写出这部分的面积各是多少?

43.如图，的面积为1，点、是边的三等分点，点、是边的三等分点，那么四边形的面积是多少？

44.右图，中，是的中点，、、是边上的四等分点，与交于，与交于，已知的面积比四边形的面积大平方厘米，则的面积是多少平方厘米？

45.如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求阴影部分面积.

46.如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求中心六边形面积.

47.已知的面积为平方厘米，，求的面积．

二、填空题

1.如图，三角形的面积是，是的中点，点在上，且，与交于点．则四边形的面积等于（  ）．

2.如图， 中，，，互相平行，，则（      ）．

3.如图， 中，，，，，互相平行，，则                 ．

全国六年级小学数学竞赛测试答案及解析

一、解答题

1.如图，正方形ABCD的边长为6，1.5，2．长方形EFGH的面积为多少．

【答案】33

【解析】连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍．

三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，

,所以长方形EFGH面积为33．

2.如图所示，正方形的边长为厘米，长方形的长为厘米，那么长方形的宽为几厘米？

【答案】6.4

【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．

证明：连接．(我们通过把这两个长方形和正方形联系在一起)．

∵在正方形中，边上的高，

∴(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)

同理，．

∴正方形与长方形面积相等． 长方形的宽(厘米)．

3.长方形的面积为36，、、为各边中点，为边上任意一点，问阴影部分面积是多少？

【答案】13.5

【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接、，如下图：

可得：、、，而

即；

而，．

所以阴影部分的面积是：

解法二：特殊点法．找的特殊点，把点与点重合，

那么图形就可变成右图：

这样阴影部分的面积就是的面积，根据鸟头定理，则有：

．

4.在边长为6厘米的正方形内任取一点，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与点连接,求阴影部分的面积．

【答案】15

【解析】（法1）

特殊点法．由于是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设点与点重合，则阴影部分变为如上图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和，所以阴影部分的面积为平方厘米．

（法2）连接、．

由于与的面积之和等于正方形面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，所以阴影部分的面积为平方厘米．

5.如图所示，长方形内的阴影部分的面积之和为70，，，四边形的面积为多少?

【答案】10

【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形、和四边形的面积之和，以及三角形和的面积之和，进而求出四边形的面积．由于长方形的面积为，所以三角形的面积为，所以三角形和的面积之和为；又三角形、和四边形的面积之和为，所以四边形的面积为．另解：从整体上来看，四边形的面积三角形面积三角形面积白色部分的面积，而三角形面积三角形面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即，所以四边形的面积为．

6.如图，长方形的面积是36，是的三等分点，,求阴影部分的面积．

【答案】2.7

【解析】如图，连接．根据蝴蝶定理，，所以；，所以．又，，所以阴影部分面积为：．

7.已知为等边三角形，面积为400，、、分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形)

【答案】43

【解析】因为、、分别为三边的中点，所以、、是三角形的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形和三角形的面积都等于三角形的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有，即，所以．又，所以．

8.如图，已知，，，，线段将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，求三角形的面积.

【答案】40

【解析】连接，．

根据题意可知，；；

所以，，，，，

于是：；；

可得．故三角形的面积是40．

9.如图在中，分别是上的点，且，，平方厘米，求的面积．

【答案】70

【解析】连接，，，所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．

10.如图，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面积等于1，那么三角形的面积是多少？

【答案】15

【解析】

连接．

∵ 

∴

又∵

∴，∴．

11.如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，，，，乙部分面积是甲部分面积的几倍？

【答案】5

【解析】

连接．

∵，

∴，

又∵，

∴，∴，．

12.如图在中，在的延长线上，在上，且，，平方厘米，求的面积．

【答案】50

【解析】

连接，                                                                         ，所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比

13.如图，平行四边形，，，，，平行四边形的面积是，求平行四边形与四边形的面积比．

【答案】1：18

【解析】

连接、．根据共角定理

∵在和中，与互补，

∴．

又，所以．

同理可得，，．

所以．

所以．

14.如图所示的四边形的面积等于多少？

【答案】144

【解析】

题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.

我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形绕顶点逆时针旋转，使长为的两条边重合，此时三角形将旋转到三角形 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.

因此，原来四边形的面积为.(也可以用勾股定理)

15.如图所示，中，，，，以为一边向外作正方形，中心为，求的面积．

【答案】10

【解析】

如图，将沿着点顺时针旋转，到达的位置．由于，，所以．而，所以，那么、、三点在一条直线上．由于，，所以是等腰直角三角形，且斜边为，所以它的面积为．根据面积比例模型，的面积为．

16.如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形，，、交于．已知、的长分别为、，求三角形的面积．

【答案】2.5

【解析】

如图，连接，以点为中心，将顺时针旋转到的位置．那么，而也是，所以四边形是直角梯形，且，所以梯形的面积为：()．又因为是直角三角形，根据勾股定理，，所以()．那么()，所以()．

17.如下图，六边形中，，，，且有平行于，平行于，平行于，对角线垂直于，已知厘米，厘米，请问六边形的面积是多少平方厘米？

【答案】432

【解析】

如图，我们将平移使得与重合，将平移使得与重合，这样、都重合到图中的了．这样就组成了一个长方形，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形的面积为平方厘米，所以六边形的面积为平方厘米．

18.如图，长方形的面积是平方厘米，，是的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?

【答案】平方厘米

【解析】设份，则根据燕尾定理其他面积如图所示平方厘米.

19.四边形的对角线与交于点(如图所示)．如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，，那么的长度是的长度的多少倍．

【答案】2

【解析】在本题中，四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作垂直于，垂直于，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题．

解法一：∵，∴，∴．

解法二：作于，于．

∵，∴，∴，

∴，∴，∴．

20.如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，

求：⑴三角形的面积；⑵？

【答案】6；1：3

【解析】⑴根据蝴蝶定理，，那么；⑵根据蝴蝶定理，．

21.如图，平行四边形的对角线交于点，、、、的面积依次是2、4、4和6．

求：⑴求的面积；⑵求的面积．

【答案】

【解析】⑴根据题意可知，的面积为，那么和的面积都是，所以的面积为；

⑵由于的面积为8，的面积为6，所以的面积为，

根据蝴蝶定理，，所以，

那么．

22.如图，长方形中，，，三角形的面积为平方厘米，求长方形的面积．

【答案】72

【解析】连接，．

因为，，所以．

因为，，所以平方厘米，所以平方厘米．因为，所以长方形的面积是平方厘米．

23.如图，正方形面积为平方厘米，是边上的中点．求图中阴影部分的面积．

【答案】1

【解析】因为是边上的中点，所以，根据梯形蝴蝶定理可以知道，设份，则 份，所以正方形的面积为份，份，所以，所以平方厘米．

24.在下图的正方形中，是边的中点，与相交于点，三角形的面积为1平方厘米，那么正方形面积是多少平方厘米．

【答案】12

【解析】连接，根据题意可知，根据蝴蝶定理得(平方厘米)，(平方厘米)，那么(平方厘米)．

25.已知是平行四边形，，三角形的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是       平方厘米．

【答案】21

【解析】连接．

由于是平行四边形，，所以，根据梯形蝴蝶定理，，所以(平方厘米)，(平方厘米)，又(平方厘米)，阴影部分面积为(平方厘米)．

26.右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是多少平方厘米．

【答案】6

【解析】

连接．由于与是平行的，所以也是梯形，那么．根据蝴蝶定理，，故，所以(平方厘米)．

27.右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是多少平方厘米．

【答案】4

【解析】

连接．由于与是平行的，所以也是梯形，那么．根据蝴蝶定理，，故，所以(平方厘米)．另解：在平行四边形中，(平方厘米)，所以

(平方厘米)，根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为(平方厘米)．

28.如图，长方形被、分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形的面积为多少平方厘米．

【答案】9

【解析】

连接、．四边形为梯形，所以，又根据蝴蝶定理，，所以，所以(平方厘米)，(平方厘米)．那么长方形的面积为平方厘米，四边形的面积为(平方厘米)．

29.如图，是等腰直角三角形，是正方形，线段与相交于点．已知正方形的面积48，，则的面积是多少？

【答案】12

【解析】

由于是正方形，所以与平行，那么四边形是梯形．在梯形中，和的面积是相等的．而，所以的面积是面积的，那么的面积也是面积的．由于是等腰直角三角形，如果过作的垂线，为垂足，那么是的中点，而且，可见和的面积都等于正方形面积的一半，所以的面积与正方形的面积相等，为48．

那么的面积为．

30.下图中，四边形都是边长为1的正方形，、、、分别是，，，的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，的值等于多少？

【答案】5

【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．

如下图所示，在左图中连接．设与的交点为．左图中为长方形，可知的面积为长方形面积的，所以三角形的面积为．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为．

如上图所示，在右图中连接、．设、的交点为．可知∥且．那么三角形的面积为三角形面积的，所以三角形 的面积为，梯形的面积为．在梯形中，由于，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：，所以三角形的面积为，那么四边形的面积为．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为．

那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为，即，

那么．

31.如图，平行，且，，，求的长．

【答案】10

【解析】由金字塔模型得，所以

32.如图，已知正方形的边长为，是边的中点，是边上的点，且，与相交于点，求.

【答案】

【解析】方法一：连接，延长，两条线交于点，

构造出两个沙漏，所以有，因此，根据题意有，再根据另一个沙漏有，所以．

方法二：连接，

分别求，，根据蝴蝶定理

，所以．

33.如图所示，已知平行四边形的面积是1，、是、的中点， 交于，求的面积．

【答案】

【解析】解法一：由题意可得，、是、的中点，得，而，所以，

并得、是的三等分点，所以，所以，所以，；

又因为，所以．

解法二：延长交于，如下图，

可得，，从而可以确定的点的位置，

，，(鸟头定理)，

可得

34.如图，为正方形，且，请问四边形的面积为多少？

【答案】

【解析】 (法)由，有，所以，又，所以

，所以，所以占的，

所以．

(法)如图，连结，

则(，

而，所以，()．

而()，因为，

所以，则()，阴影部分面积等于

()．

35.如右图，三角形中，，，求．

【答案】27：16

【解析】根据燕尾定理得

（都有的面积要统一，所以找最小公倍数）

所以

本题关键是把的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

36.如右图，三角形中，，，求.

【答案】10：9

【解析】根据燕尾定理得

（都有的面积要统一，所以找最小公倍数）

所以

37.如右图，三角形中，，，求.

【答案】15：8

【解析】根据燕尾定理得

（都有的面积要统一，所以找最小公倍数）

所以

本题关键是把的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

38.如右图，三角形中，，且三角形的面积是，则三角形的面积为多少，三角形的面积为多少，三角形的面积为多少？

【答案】，，

【解析】

连接、、．

由于，所以，故；

根据燕尾定理，，，所以

，则，；

那么；

同样分析可得，则，，所以，同样分析可得，

所以，．

39.如右图，三角形中，，且三角形的面积是，求三角形的面积．

【答案】19

【解析】

连接BG，份

根据燕尾定理，，

得(份)，(份)，则(份)，因此,

同理连接AI、CH得,,所以

三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是19

40.如图，中，，，那么的面积是阴影三角形面积的多少倍．

【答案】7

【解析】

如图，连接．根据燕尾定理，，，所以，，那么，．同理可知和的面积也都等于面积的，所以阴影三角形的面积等于面积的，所以的面积是阴影三角形面积的7倍．

41.如图在中，,求的值．

【答案】

【解析】

连接BG,设1份，根据燕尾定理,,得(份)，(份),则(份)，因此,同理连接AI、CH得,,所以如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.

42.如图，三角形的面积是，，，三角形被分成部分，请写出这部分的面积各是多少?

【答案】

【解析】

设BG与AD交于点P，BG与AE交于点Q，BF与AD交于点M，BF与AE交于点N．连接CP，CQ，CM，CN．根据燕尾定理，，，设(份)，则(份)，所以

同理可得，,,而，所以，．

同理，,所以，,,

43.如图，的面积为1，点、是边的三等分点，点、是边的三等分点，那么四边形的面积是多少？

【答案】

【解析】

连接、、．

根据燕尾定理，，，

所以，那么，．

类似分析可得．

又，，可得．

那么，．

根据对称性，可知四边形的面积也为，那么四边形周围的图形的面积之和为，所以四边形的面积为．

44.右图，中，是的中点，、、是边上的四等分点，与交于，与交于，已知的面积比四边形的面积大平方厘米，则的面积是多少平方厘米？

【答案】336

【解析】

连接、．

根据燕尾定理，，，所以；

再根据燕尾定理，，所以，所以，那么，所以．

根据题意，有，可得(平方厘米)

45.如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求阴影部分面积.

【答案】

【解析】

令BI与CD的交点为M，AF与CD的交点为N，BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q,连接AM、BN、CP

⑴求：在中，根据燕尾定理，

设(份)，则(份),(份),(份),

所以，所以,,

所以,

同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是面积的

⑵求：在中，根据燕尾定理,

所以,同理

在中，根据燕尾定理,

所以，所以

同理另外两个五边形面积是面积的，所以

46.如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求中心六边形面积.

【答案】

【解析】

设深黑色六个三角形的顶点分别为N、R、P、S、M、Q，连接CR在中根据燕尾定理，,

所以,同理,

所以，同理

根据容斥原理，和上题结果

47.已知的面积为平方厘米，，求的面积．

【答案】24

【解析】，

设份，则份，份，份，份，恰好是平方厘米，所以平方厘米

二、填空题

1.如图，三角形的面积是，是的中点，点在上，且，与交于点．则四边形的面积等于（  ）．

【答案】

【解析】方法一：连接，

根据燕尾定理，，,

设份，则份，份，份，如图所标

所以

方法二：连接，

由题目条件可得到，，所以，，

而．所以则四边形的面积等于．

2.如图， 中，，，互相平行，，则（      ）．

【答案】1：3：5

【解析】设份，根据面积比等于相似比的平方，

所以，，

因此份，份，

进而有份，份，所以.

3.如图， 中，，，，，互相平行，，则                 ．

【答案】1：3：5：7：9

【解析】设份，，因此份，进而有份，同理有份，份，份．

所以有