第二十四届希望杯初二第2试试题及答案解析

初二 第2试试题

2013年4月14日 上午9：00至11：00

竞赛结束时，只交答题卡，试卷可带走。答案于今日11：00在以下网站和微博公布：

“希望杯”官方网站：http ://www .hopecup .org “希望杯”微博：http ://e .weibo .com /xiwangbei 《数理天地》官方网站：http ://www .mpw 91.com 《数理天地》微博：http ://e .weibo .com /shulitiandi 未经“希望杯”组委会授权，任何单位和个人均不准翻印或销售此试卷，也不准以任何形式(包括网络)转载。

一、选择题(每小题4分，共40分)

1．在无理数5、6、7、8中，介于

8+12与26+12之间的数有( ) (A )1个． (B )2个． (C )3个．

(D )4个． 2．已知x +1x =6(0＜x ＜1)，则x -1x

的值是( ) (A )-5． (B )-2． (C )5． (D )2．

3．有3个正整数a ，b ，c ，并且a ＞b ＞c ，从中任取2个，有3种不同的取法，将每一种取法取出的2个数分别作和及作差，得到如下6个数：42，45，，87，109，151，则a 2+b 2+c 2的值是( )

(A )12532 ． (B )12533． (C )12534 ． (D )12535．

4．已知有理数a ，b ，x ，y 满足ax +by =3，ay -bx =5，那么(a 2+b 2)(x 2+y 2)的值是( )

(A )225． (B )75． (C )54． (D )34．

5．Among all the following points ，which one is on the graph of function y =x 2-2x -3?( )

(A )(1，-3) (B )(0，3) (C )(-1，0) (D )(-2，1)

6．下列命题中，正确的是( )

(A )如果三角形三个内角的度数比是3：4：5，那么这个三角形是直角三角形．

(B )如果直角三角形的两条直角边的长分别是a 和b ，那么斜边的长是a 2+b 2．

(C )如果三角形三条边长的比是1：2：3，那么这个三角形是直角三角形．

(D )如果直角三角形的两条直角边的长分别是a 和b ，斜边长是c ，那么斜边上的高的长是ab c

． 7．甲、乙、丙、丁4名跑步运动员的速度依次是v 1，v 2，v 3，v 4 ，且v 1＞v 2＞v 3＞v 4＞0，他们沿直跑道进行追逐赛，规则如下：①4人在同一起跑线上，同时同向出发；②经过一段时间后，甲、乙、丙同时反向，谁先遇到丁谁就是冠军．则( )

(A )冠军是甲． (B )冠军是乙． (C )冠军是丙． (D )甲、乙、丙同时遇到丁．

8．已知直线y =kx +b (k ≠0)与x 轴的交点在x 的正半轴上，则( )

(A )k ＞0，b ＞0． (B )k ＜0，b ＜0． (C )kb ＞0． (D )kb ＜0．

9．如图1，函数y 1=k 1x +b 和y 2=k 2x 的图象交于点(-1，-2)，则关于x 的不

等式k 1x +b ＞k 2x 的解集是( )

(A )x ＞-1． (B )x ＜-1． (C )x ＜-2． (D )x ＞-2．

10．设q =mn ，p =q +n +q -m ，其中m ，n 是两个连续的自然数(m ＜n )．则

p ( )

(A )总是奇数． (B )总是偶数．

(C )有时是奇数，有时是偶数． (D )有时是有理数，有时是无理数．

二、填空题(每小题4分，共40分) 11．已知a =5+2，b =5-2，则a 2+b 2+7的平方根的值是 ．

12．

60名学生参加英语测试，若优秀的学生占45%，则在统计图中，表示优秀的扇形的圆心角是 图1

度；若表示良好的扇形的圆心角是120°，则良好的学生有 人．

13．若x 1，x 2都满足｜2x -1｜+｜2x +3｜=4，且x 1＜x 2，则x 1-x 2的取值范围是 ．

14．若直线y =2x +b 与坐标轴围成的三角形的面积是4，则b = ．

15．已知a ，b 都是有理数，若不等式(2a -b )x +3a -b ＜0的解集是x ＞14

，则不等式(a +3b )x +a -2b ＞0的解集是 ．

16．如图2，点P 在正方形ABCD 内，△PBC 是正三角形，若△BPD 的面积是3-1，则正方形ABCD 的边长是 ． 17．直线y =x -1与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 在坐标轴上，△ABC 是等腰三角形，则满足条件的点C 有 个．

18．已知x 2

-x -1=0，则x 3+x +1x 4= ． 19．如图3，矩形纸片ABCO 平放在xOy 坐标系中，将纸片沿对角线CA

向左翻折，点B 落在点D 处，CD 交x 轴于点E ．若CE =5，直线AC 的解析式

为y =-12

x +m ，则点D 的坐标的坐标是 ． 20．已知正整数x ，y 满足59＜y x ＜35

，则x -y 的最小值是 ． 三、解答题

每题都要写出推算过程．

21．(本题满分10分)

已知m 2=n +2，n 2=m +2(m ≠n )，求m 3-2mn +n 3的值．

22．(本题满分15分)

As in Figure 4 ，both ∠D =∠E =90° in trapezoid ABCD ．△ABC is an equilateral

triangle with C on DE ．If AD =7 and BE =11，find the area of △ABC ．

(英汉词典：trapezoid 梯形；equilateral 等边三角形；area 面积)

23．(本题满分15分)

有n (n ≥2)个整数a 1＜a 2＜a 3＜…＜a n ，它们满足下列条件：

①如果对于其中的任意一个整数a m 都有-a m 不在这n 个整数中，则称这n 个整数满足性质P ； ②若在这n 个整数中选两个不同的整数a i ，a j ，使它们成为一个有序整数对(a i ，a j )，并恰好a i +a j 也在这n 个整数中，则这样的整数对为“和整数对”；

③若在这n 个整数中选两个不同的整数a i ，a j ，使它们成为一个有序整数对(a i ，a j )，并恰好a i -a j 也在这n 个整数中，则这样的整数对为“差整数对”．

回答下列问题：

⑴3个整数-1，2，3是否满足性质P ？如果满足性质P ，请写出其中所有的“和整数对”和“差整数对”；

⑵若n (n ≥2)个整数a 1＜a 2＜a 3＜…＜a n 满足性质P ，其中“差整数对”有k 个，试证明k ≤12

n (n -1)； ⑶若n (n ≥2)个整数a 1＜a 2＜a 3＜…＜a n 满足性质P ，其中“和整数对”有l 个，“差整数对”有k 个，试证明l =k

图

2

图

3

Fig ．4

第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试答案与解析

一、选择题(每小题4分，共40分)

1．选：D ；【解析】8+12＜9+12=2与26+12＞25+12

=3 2．选：B ；【解析】∵0＜x ＜1，则x -

1x ＜0，(x -1x )2= x +1x -2=4，x -1x =-2 3．选：C ；【解析】分析大小可得a +b 最大，即a +b =151，a +c 第二大，即a +c =109，而a -b 和b -c 都可能最小，由于a -b 与a +b 具有相同的奇偶性，所以a -b =45，可解得，a =98，b =53，c =11

4．选：D ；【解析】(ax +by )2=9，(ay -bx )2=25，两式相加得：a 2x 2+b 2y 2+ a 2y 2+b 2x 2=34，而(a 2+b 2)(x 2+y 2)= a 2x 2+b 2y 2+ a 2y 2+b 2x 2．

5．选：C ； 6．选：D ；

7．选：C ；【解析】同时反向跑的时候，从前向后依次是丙、乙、甲，而它们三人应该同时相遇于出发地．所以在遇上丁时，丙还在前面．

8．选：D ；【解析】-b k

＞0，kb ＜0；9．选：B ； 10．选：A ；【解析】p =q +n +q -m =mn +n +mn -m = n (m +1)+m (n -1) = n 2+m 2=m +n ，连续整数的和一定是奇数．

二、填空题(第小题4分，共40分)

11．±5； 12．162，20；

13．-2≤x 1-x 2＜0；【解析】｜x -12｜+｜x +32｜=2，｜x -12｜+｜x +32｜可以表示数轴上表示x 的点与12

和-32的两点距离的和．而12和-32的距离是2，所以-32≤x ≤12，所以，x ≥-32-12

=-2，又因为x 1＜x 2，x 1-x 2＜0，所以-2≤x 1-x 2＜0

14．±4；【解析】与两轴的交点为(0，b )，(，0)，12×|b |×|-12b |=4，14

b 2=4，b =±4 15．x ＞2347；【解析】由题意得，2a -b ＜0，b -3a 2a -b =14，b =145a ，2a -145a ＜0，a ＞0， (a +3b )x +a -2b ＞0，475ax -235a ＞0，x ＞2347

16．2；【解析】设正方形的边长为a ，S △BDP = S △BCP + S △CDP -S △BCD =

34a 2+14a 2-12a 2=3-1，a 2=4，a =2 17．7；18．1；【解析】x 2= x +1，x 3+x +1x 4 = x (x +1)+x +1(x +1)2 = (x +1)2

(x +1)2

= 1 19．(245，-125

)；【解析】OC =m ，OA =2m ，AE =CE =5，由m 2+(2m -5)2=52，得m =4，AD =OC =4，DE =EO =3，可得D (245，-125

) 20．3；【解析】59x ＜y ＜35x ，当x =1时，59＜y ＜35，y 无整数解；当x =2时，119＜y ＜115

，y 无整数解；当x =3时，123＜y ＜145，y 无整数解；当x =4时，229＜y ＜225，y 无整数解；当x =5时，279

＜y ＜3，y 无整数解；当x =6时，313＜y ＜335，y 无整数解；当x =7时，379＜y ＜415

， y =4，x -y =3 三、解答题

每题都要写出推算过程．

21．(本题满分10分)

解：⎩⎨⎧m 2

=n +2……①n 2=m +2……② ①-②=(m -n )(m +n )=n -m ，∵m ≠n ，∴m +n =-1 m 3-2mn +n 3=m (n +2)-2mn +n (m +2)=2m +2n =-2

22．(本题满分15分)

解：作AF ⊥BE 于F ，DC =x ，CE =y ．∵AB =AC =BC ，根据勾股定理：x 2+72=y 2+112=(x +y )2+42 ⎩⎨⎧2xy +y 2=33……①2xy +x 2=105……② ①×35-②×11得：35x 2+48xy -11y 2=0，

(5y -x )(7y +11x )=0，∵x ＞0，y ＞0∴x =5y 代入：得y 2=3，y =3，x =53，

AB 2=(63)2+42=124，S △ABC =34

AB 2=31 3 23．(本题满分15分)

解：⑴ -1，2，3的相反数分别是1，-2，-3，它们都不在这3个整数中，

所以满足性质P ．其中“和整数对”为(-1，3)和(3，-1)；“差整数对”为(2，-1)

和(2，3)

⑵ 设a m 是这n 个整数中的任意一个，(a m ，a p )是一个有序数对，其中p ≠m ，这样的数对共有n -1个．所以，这n 个数一共有n (n -1)个有序数对．若(a m ，a p )是一个差整数对，则(a p ，a m )一定不是差整数对，否则

不满足性质P ．所以，差整数对至多有12 n (n -1)，即k ≤12

n (n -1) ⑶ 若任意a m 、a n 、a p 是这n 个整数中的三个，且满足a m +a n =a p ，则(a m ，a n )、(a n ，a m )是两个和整数对记为一组，而(a p ，a m )、(a p ，a n )是对应的两个差整数对也记为一组，那么每一组和整数对都对应着一组差整数对，若和整数对有x 组，l =2x ，则差整数对也一定有x 组，k =2x ，所以

l =k 图5