圆锥曲线中的定值与定点问题专题

一、解答题

1．（2017年全国1卷理）已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1， ），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.

【解析】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.

又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.

因此，解得.

故C的方程为.

（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，

如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.

则，得，不符合题设.

从而可设l：（）.将代入得

由题设可知.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.

而

.

由题设，故.

即.

解得.

当且仅当时，，欲使l：，即，

所以l过定点（2，）

2．已知椭圆过点，且离心率．（12分）

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于两点，过作轴且与椭圆交于另一点，证明直线过定点，并求出定点坐标。

【解析】

椭圆的标准方程为；

（Ⅱ）由题知直线的斜率存在，

设的方程为，点，

则得，

即， ，

， ，

由题可得直线方程为，

又∵， ，

∴直线方程为，

令，整理得 

 ，

即直线过点，

3．已知分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点， 是椭圆左、右焦点，以点为圆心为半径的圆与以点为圆心为半径的圆的交点在椭圆上，且．

（I）求椭圆的方程；

（II）若直线与轴不垂直，它与的另外一个交点为是点关于轴的对称点，试判断直线是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由．

【解析】

（I）由题意得： ，

解得： ，

椭圆的方程为．

（II）依题意，设直线方程为： ，

则，且．联立，

得，

，

又直线的方程为，

即

而，

直线的方程为，

故直线地定点．

4．在平面直角坐标系 中，过椭圆 右焦点 的直线交椭圆于两点 ，  为 的中点，且 的斜率为 . 

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设过点 的直线 （不与坐标轴垂直）与椭圆交于 两点，问：在 轴上是否存在定点 ，使得 为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【解析】 (1) 设 ,则 ，两式相减得，

 ，又 ，  为的中点，且 的斜率为 ，所以 ，即 ，所以可以解得 ，即 ，即 ，又因为 ，所以椭圆 的方程为 .

(2) 设直线的方程为 ，代入椭圆 的方程为，得 ，设 ，则 .

 ，根据题意，假设轴上存在定点 ，使得 为定值，则有  

 ，要使上式为定值，即与 无关，则应 ，即 ，故当点的坐标为 时，  为定值.

5．已知抛物线的方程为： ，过点的一条直线与抛物线交于两点，若抛物线在两点的切线交于点.

（1）求点的轨迹方程；

（2）设直线的斜率存在，取为，取直线的斜率为，请验证是否为定值？若是，计算出该值；若不是，请说明理由.

【解析】（Ⅰ）由AB直线与抛物线交于两点可知，直线AB不与x轴垂直，故可设，代入，

整理得： ，方程①的判别式，故时均满足题目要求．

记交点坐标为，则为方程①的两根，

故由韦达定理可知， ．

将抛物线方程转化为，则，故A点处的切线方程为，

整理得，

同理可得，B点处的切线方程为，记两条切线的交点，

联立两条切线的方程，解得点坐标为，

故点P的轨迹方程为， 

（Ⅱ）当时， ，此时直线PQ即为y轴，与直线AB的夹角为．

当时，记直线PQ的斜率，又由于直线AB的斜率为，

为定值．

6．已知点在椭圆： （）上，设， ， 分别为左顶点、上顶点、下顶点，且下顶点到直线的距离为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点， （）为椭圆上两点，且满足，求证： 的面积为定值，并求出该定值.

【解析】（Ⅰ）由题意，得直线的方程为，点，

点到直线的距离 ，整理，得.①

又点在椭圆上， .②

联立①②解得， ，

椭圆的方程为.

（Ⅱ）设直线的方程为，代入椭圆方程，并整理得 .

  ， ，

， ，

  .

又，则由题意，得  .

整理，得，则 ，

整理，得（满足）.

.

又点到直线的距离.

  ，为定值.

7．已知椭圆： 的离心率为，且过点，动直线： 交椭圆于不同的两点， ，且（为坐标原点）

（1）求椭圆的方程.

（2）讨论是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由.

【解析】

（1）由题意可知，所以，即，①

又点在椭圆上，所以有，②

由①②联立，解得， ，

故所求的椭圆方程为.

（2）设，由，

可知.

联立方程组

消去化简整理得，

由，得，所以， ，③

又由题知，

即，

整理为.

将③代入上式，得.

化简整理得，从而得到.

8．已知椭圆与椭圆有相同的离心率，且经过点.

（I）求椭圆的标准方程；

（II）设点为椭圆的下顶点，过点作两条直线分别交椭圆于两点，若直线平分，求证：直线的斜率为定值，并且求出这个定值.

【解析】（I）椭圆；

（II）由直线平分和，而由直线

与，设，则

，由

恒成立直线的斜率为定值．

9．已知椭圆右顶点，离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆上顶点， 是椭圆在第一象限上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，问与面积之差是否为定值？说明理由．

【解析】：⑴依题意得解得    ，则椭圆的方程为.

⑵设，则，

，令得，则,

，令得，则,

∴

10．平面直角坐标系中，椭圆过点，离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作一直线与椭圆交于两点，过点作椭圆右准线的垂线，垂足分别为，试问直线与的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.

【解析】（1）由题意得，所以椭圆的标准方程为.

（2）①当直线的斜率不存在时，准线与的交点是；

②当直线的斜率存在时，设，直线为，

由，

所以， ，

所以 ， 

联立解得，

代入上式可得，

综上，直线与过定点.

11．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.

(1)求椭圆的方程：

(2)设， 是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点.

【解析】

(1)        ，即，

 又 ，既             故椭圆的方程为.

(2)由题意知，直线的斜率存在，设其为，则直线的方程为

   由可得， 

   设点，则， ①，②

由于直线的方程为

所以令，可得

①②带入到上式既可解得，   所以直线与轴相交于定点.

12．如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C是椭圆上不同的三点， ，C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求点C的坐标；

（3）设动点P在椭圆上（异于点A、B、C）且直线PB， PC分别交直线OA于M、N两点，证明为定值并求出该定值.

【解析】（1）由已知，得   解得  

            所以椭圆的标准方程为．        

（2）设点 ，则中点为．

 由已知，求得直线的方程为，从而．①

 又∵点在椭圆上，∴．②

 由①②，解得（舍），，从而． 所以点的坐标为． 

（3）设， ， ．

∵三点共线，∴，整理，得． 

∵三点共线，∴，整理，得． 

∵点在椭圆上，∴， ．

 从而．      

所以．∴为定值，定值为．

13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于两点．设到准线的距离（）．

（1）若，求抛物线的标准方程；

（2）若，求证：直线的斜率为定值．

【解析】

（1）由条件知， ，

代入抛物线方程得．  

所以抛物线的方程为． 

（2）设，直线的方程为．

将直线的方程代入，消得，

所以， ． 

因为，所以，

又，所以，

所以， 

所以，

所以直线的斜率为定值．

14．在直角坐标系中， 分别为椭圆的右焦点、右顶点和上顶点，若

(1)求的值；

(2)过点作直线交椭圆于两点，过作平行于轴的直线交椭圆于另外一点,连接，求证：直线经过一个定点。

【解析】

（1）由题意得： 解得：  

（2）设，直线的方程为则

将代入椭圆方程得

直线的方程

令得

所以直线经过定点 

（注：由对称性可知，若过定点，则必在轴上）

15．已知动圆过点，且在轴上截得的弦长为

（Ⅰ）求圆心的轨迹方程；

（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，证明： 为定值，并求出这个定值.

【解析】（Ⅰ）设动圆圆心坐标为，

由题意得：动圆半径

圆心到轴的距离为，

依题意有，

化简得，即动圆圆心的轨迹方程为： 

（Ⅱ）①当直线的斜率不存在，则直线的方程为： 

得

所以，故为定值.

②当直线的斜率存在，则设直线的方程为： ，

得，所以，

即，

又点在抛物线上，所以，

于是

综合①②，为定值，且定值为

16．已知点，点是圆上的任意一点，设为该圆的圆心，并且线段的垂直平分线与直线交于点.

（1）求点的轨迹方程；

（2）已知两点的坐标分别为， ，点是直线上的一个动点，且直线分别交（1）中点的轨迹于两点（四点互不相同），证明：直线恒过一定点，并求出该定点坐标.

【解析】（Ⅰ）依题意有， ，

且，

所以点的轨迹方程为： ．

（Ⅱ）依题意设直线的方程为： ，

代入椭圆方程得： 

且： ①，②    

∵直线： ，直线： 

由题知， 的交点的横坐标为4，得：

，即

即： ，整理得：

③       

将①②代入③得： 

化简可得： 

当变化时，上式恒成立，故可得： 

所以直线恒过一定点.

17．已知抛物线的准线为，焦点为， 为坐标原点.

（1）求过点，且与相切的圆的方程；

（2）过的直线交抛物线于两点， 关于轴的对称点为，求证：直线过定点.

【解析】：解法一：（1）抛物线的准线的方程为： ，焦点坐标为，

设所求圆的圆心，半径为， 圆过， ，

圆与直线相切， .

由，得.

过，且与直线相切的圆的方程为.

（2）依题意知直线的斜率存在，设直线方程为，

， ， ， ，

联立，消去得.

， .

直线的方程为，

令，得 .

直线过定点 ,

解法二：（1）同解法一.

（2）直线过定点.

证明：依题意知直线的斜率存在，设直线方程为，

， ， ， ，

联立，消去得，

， .

 ，

.

，即， 三点共线， 直线过定点.

解法三：（1）同解法一.

（2）设直线的方程： ， ， ，则.

由得， .

， .

， 直线的方程为.

. 

直线过定点.

18．已知点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是，点的轨迹为曲线.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）过点作直线交曲线于两点，交轴于点，若， ，证明： 为定值.

【解析】

（Ⅰ）设点，由已知得，

化简得点的轨迹的方程: . 

（Ⅱ）设点的坐标分别为.

由，所以，

所以 

因为点在曲线上，所以 ，

化简得 ①，

同理，由可得： ， 

代入曲线的方程得  ②，

由①②得是方程的两个实数根(△>0)，

 所以.

19．已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆过椭圆的上顶点作圆的两条切线分别与椭圆相交于两点（不同于点），直线的斜率分别为.

（1）求椭圆的方程；

（2）当变化时，①求的值；②试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.

【解析】（1）由题设知， ， ，又，

解得.

故所求椭圆的方程是.

（2）①，则有，化简得，

对于直线，同理有，

于是是方程的两实根，故.

考虑到时， 是椭圆的下顶点， 趋近于椭圆的上顶点，故若过定点，则猜想定点在轴上.

由，得，于是有.

直线的斜率为，

直线的方程为，

令，得，

故直线过定点.

20．已知椭圆： 的焦点为，离心率为，点为其上动点，且三角形的面积最大值为， 为坐标原点.

（1）求椭圆的的方程；

（2）若点为上的两个动点，求常数，使时，点到直线的距离为定值，求这个定值.

【解析】（1）依题意知： 解得，所以椭圆的方程为.

（2）设，则（*）

当直线的斜率存在时设其方程为，则点到直线的距离，

消，得， 得，则

， ，代入（*）式：

，整理得为常数，则，此时满足

当轴时，由得， 消： ， 亦成立，

综上： ， .

21．已知动点到点的距离比到直线的距离小1，动点的轨迹为.

（1）求曲线的方程；

（2）若直线与曲线相交于， 两个不同点，且，证明：直线经过一个定点.

【解析】

（1）由题意可得动点到点的距离等于到直线的距离，

曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，

设其方程为，  ，  ，

动点的轨迹的方程为；

（2）设，由得，

 ， .

 ，    ，

 ，  或.

 ， 舍去，  ，满足，

直线的方程为，

直线必经过定点.

22．如图，已知直线关于直线对称的直线为，直线与椭圆分别交于点、和、，记直线的斜率为.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）当变化时，试问直线是否恒过定点? 若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由.

【解析】（Ⅰ）设直线上任意一点关于直线对称点为

直线与直线的交点为，∴

，由

得……..①

由得…….②，

由①②得 

. 

（Ⅱ）设点，由得，

∴，∴. 

同理： ，  

，∴

即：  

∴当变化时，直线过定点.