圆锥曲线焦半径最值分析

作者：飞

来源：《试题与研究·教学论坛》2016年第36期

        用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。但严格来讲，它还包括一些退化情形。具体而言：

        （1）当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。

        （2）当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。

        （3）当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。

        （4）当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。

        （5）当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。

        （6）当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。

        （7）当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。

        圆锥曲线的统一定义：在平面内，给定一点P，一条直线l以及一个非负实常数e（即我们所学的离心率），则到点P的距离与到直线l的距离之比为e的点的轨迹就是圆锥曲线，具体情况如下：

        （1）e=0时，轨迹退化为P点（在此不做讨论）；

        （2）e=1时，轨迹为抛物线；

        （3）0

        （4）e>1时，轨迹为双曲线。

        在此，笔者对于退化的圆锥曲线不做讨论，仅考虑对课本中所学的椭圆、双曲线和抛物线。在椭圆曲线中，焦半径是一个非常重要的几何量，与其有关的问题是的热点，故值得我们深入研究。

        一、直角坐标系中的焦半径公式（本文仅以焦点在X轴上的标准方程为例）

        （1）椭圆

        如图，对于中心在原点，图形关于坐标轴对称的椭圆，不妨设其标准方程为+=1（a>b>0），直线l1和l2分别为椭圆的左右准线，F1和F2分别为椭圆的左右焦点，M（x0，y0）为椭圆上任意一点。

        在此，笔者先给出其焦半径公式，再加以证明。

        （2）双曲线

        如图，对于中心在原点，图形关于坐标轴对称的双曲线，不妨设其标准方程为-=1（a>0，b>0），直线l1和l2分别为是双曲线的左右准线，F1和F2分别为双曲线的左右焦点，M1（x1，y1），M2（x2，y2）分别为双曲线左支和右支上的点。

        和椭圆相同，笔者先给出焦半径公式，再加以证明。

        由于e>1，则|M1F1|和|M1F2|是关于x1的减函数，|M2F1|和|M2F2|是关于x2的增函数。对于单个焦点，不妨以右焦点F2为例，左支上的点M1越靠右，它到右焦点的距离越小，反之越大；右支上的点M2越靠右，它到右焦点的距离越大，反之越小。于是就有

        （3）抛物线

        如图，对于焦点在坐标轴上，顶点在坐标原点的抛物线，不妨记为y2=2px（p>0），直线l是抛物线的准线，F为抛物线的焦点，M（x0，y0）是抛物线上任意一点。

        抛物线焦半径的公式比较容易证明。

        由抛物线的第一定义即可得到，故在此只给出焦半径公式：

        由此可以看出|MF|是关于X0的增函数，

        故抛物线上的点M越靠右，它到焦点的距离就越大。

        于是就有|MF|min=（M运动到原点O处）

        对于圆锥曲线而言，我们最常用的是直角坐标，然而就焦半径而言，不妨我们引入圆锥曲线的极坐标，来进一步探究焦半径的最值。

        二、极坐标系中的焦半径公式（本文仅以焦点在极轴上的情况为例）

        以椭圆的左焦点（双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系。椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：ρ=

        其中e为离心率（e>0），θ为极角，p是定点F到定直线的距离（p>0）（下同）。

        （作者单位：河南省洛阳市第一高级中学）