弹性力学简明教程全程导学及习题全解

注意：（1）无论在哪一个位置的体力，在哪一个边界面上的面力，均为沿坐标轴正方向为正，反之为负。（2）边界面上的应力应是以在正坐标面上，方向沿坐标轴正方向为正，反之为负，在负坐标面上，方向沿坐标轴负方向为正，反之为负。

1-8 试画出题1-8图中的三角形薄板的正的面力和体力的方向。

2-7 在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假设？这些方程的适用条件是什么？

【解答】（1）在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假定是：物体的连续性，小变形和均匀性。

 在两种平面问题（ 平面应力、平面应变问题）中，平衡微分方程和几何方程都适用。

（2）在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是：物体的连续性，完全弹性，均匀性，小变形和各向同性，即物体为小变形的理想弹性体。

 在两种平面问题（平面应力、平面应变）中的物理方程不一样，如果将平面应力问题的物理方程中的E换位，，就得到平面应变问题的物理方程。

2-8 试列出题2-8图（a），题2-8图（b）所示问题的全部边界条件。在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。

【解】（1）对于图（a）的问题

在主要边界上，应精确满足下列边界条件：

在小边界（次要边界）y=0上，能精确满足下列边界条件：

在小边界（次要边界）上，有位移边界上条件：这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚时，

（2）对于图（b）所示问题

在主要边界上，应精确满足下列边界条件：

在次要边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚时，

在次要边界上，有位移边界条件：这两个位移边界条件可以改用三个积分的应力边界条件来代替

2-9 试应用圣维南原理，列出题2-9图所示的两个问题中OA边的三个积分的应力边界条件，并比较两者的面力是否静力等效？

【解】（1）对于图（a），上端面的面力向截面形心简化，得主矢和主矩分别为，，。应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件，当板厚时，

（2）对于图（b），应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件，当板厚时，

所以，在小边界OA边上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，这两个问题为静力等效的。

2-10检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么？

【解】（1）用位移表示的平衡微分方程

（2）用位移表示的应力边界条件

（3）位移边界条件

2-11检验平面问题中的应力分量是否为正确解答的条件是什么？

【解】（1）平衡微分方程

（2）相容方程

。

（3）应力边界条件（假定全部为应力边界条件，）

/. 

（4）若为多连体，还须满足位移单值条件。

2-13检验下列应力分量是否是图示问题的解答：

（a）题2-13图（a），。

（b）题2-13图（b），由材料力学公式，（取梁的厚度b=1），得出所示问题的解答：

。

又根据平衡微分方程和边界条件得出

。

试导出上述公式，并检验解答的正确性。

【解】按应力求解时，（本题体力不计），在单连体中应力分量必须满足：平衡微分方程、相容方程、应力边界条件（假设）。

（1）题2-13图（a），

1相容条件：将应力分量代入相容方程，教材中式（2-23）

，

不满足相容方程。

2平衡条件：将应力分量代入平衡微分方程

显然满足。

3应力边界条件：在边界上，

。

在边界上，

。

满足应力边界条件。

（2）题2-13图（b），由材料力学公式，（取梁的厚度b=1），

得出所示问题的解答：。又根据平衡微分俄方程和边界条件得出。试导出上述公式，并检验解答的正确性。

1推导公式：

在分布荷载作用下，梁发生弯曲变形，梁横截面是宽度为1，高为h的矩形，其对z轴（中性轴）的惯性距，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程分别为。

所以截面内任意点的正应力和切应力分别为

，

。

根据平衡微分方程的第二式（体力不计）

，

得到

。

根据边界条件

得        ，

所以  。

2相容条件：

将应力分量代入相容方程

。

不满足相容方程。

3平衡方程：

将应力分量代入平衡微分方程显然满足。

4应力边界条件：

在主要边界上，应精确满足下列边界条件：

自然满足。

在x=0的次要边界上，外力的主矢量，主矩都为零。有三个积分的应力边界条件：

在次要边界上，。这两个位移边界条件可以改用积分的应力边界条件来代替。

所以，满足应力的边界条件。

显然上两图中的应力分量都满足平衡微分方程和应力边界条件，但不满足相容方程，所以两题的解答都不是问题的解。

2-15设已求一点处的应力分量，试求：

（a）

（b）

【解】根据教材中式（2-6）和可分别求出主应力和主应力的方向：

（a）

（b）

2-17设有矩形截面的悬臂梁，在自由端受有集中荷载F，如题2-17图所示，

体力不计，试根据材料力学公式，写出弯应力和切应力的表达式，并取挤压应力，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，这些表达式是否表示正确的解答。

【解】（1）矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程为，横截面对z轴（中性轴）的惯性距为，根据材料力学公式，弯应力；该截面上的剪力为，剪应力；并取挤压应力。

（3）经验证，上述表达式能满足平衡微分方程

也能满足相容方程

。

再考察边界条件：在的主要边界上，应精确满足应力边界条件：

能满足。

在次要边界x=0上，列主三个积分的应力边界条件：

满足应力边界条件。

在次要边界，列出三个积分的应力边界条件：

满足应力边界条件。

因此，它们是该问题的正确解答。

3-2取满足相容方程的应力函数为：试求出应力分量（不计体力），画出题3-2图所示弹性体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢量和主矩。

【解】（1）应力函数，得应力分量表达式

。

在主要边界上，即上、下边，面力为

。

在次要边界上，面力的主矢量和主矩为

弹性体边界上的面力分布及在次要边界上面力的主矢量和主矩如解3-2图（a）所示。

（2）应力函数，得应力分布表达式

。

在主要边界上，即上、下边，面力为

。

在次要边界上，面力的主矢量和主矩为

弹性体边界上的面力分布及在次要边界上面力的主矢量和主矩如解3-2图（b）所示。

（4）应力函数，得应力分量表达式

。

在主要边界上，即上、下边，面力为

在次要边界上，面力的主矢量和主矩为

弹性体边界上的面力分布及在次要边界上面力的主矢量和主矩如解3-2图（c）所示。

3-3试考察应力函数能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出题3-3图所示矩形体边界上的面力分布（在次要边界上表示出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数所能解决的问题。

【解】（1）相容条件

将代入相容方程，显然满足。

（2）应力分量表达式

。

（3）边界条件：在的主要边界上，应精确满足应力边界条件

。

在次要边界上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件

，                      （a）

，   （b） 

                       （c）

对于如图所示矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，由应力边界条件式（a）、（b）、（c）可知上边、下边无面力；而左边界上受有铅直力；右边界上有按线性变化的水平面力合成为一力偶，和铅直面力。所以，能解决悬臂梁在自由端受集中力作用的问题。

4-2 试导出极坐标和直角坐标系中位移分量的坐标变换式。

【解】参看图，位移矢量是服从几何加减运算法则的。

位移矢量为d，它在(x,y)和坐标系中的分量分别表示为，所以

  （a）

写成矩阵形式

  （b）

所以

（c）

若写成一般形式，则位移分量的变换关系为

或

。

4-14设有一刚体，具有半径为R的圆柱形孔道，孔道内放置外半径为R而内半径为r的圆筒，圆筒受内压力为q，试求圆筒的应力。

【解】本题为轴对称问题，故环向位移，另外还要考虑位移的单值条件。

（1）应力分量

引用轴对称应力解答，教材中式（4-11）。取圆筒解答中的系数为A,B,C,刚体解答中的系数为,由多连体中的位移单值条件，有

B=0 ，   (a)

。  (b)

现在，取圆筒的应力表达式为

,。(c)

刚体的应力表达式

。 (d)

考虑边界条件和接触条件来求解常数和相应的位移解答。

首先，在圆筒的内面，有边界条件，由此得

。   (e)

其次，在远离圆孔处，应当几乎没有应力，于是有

，

由此得

   (f)

再次，圆筒和刚体的接触面上，应当有

。

于是有式(c)及式(d)得

。

（2）平面应变问题的位移分量

应用教材中式（4-12）的第一式，稍加简化可以写出圆筒和刚体的径向位移表达式

   （h）

  （i）

刚体的径向位移为零，在接触面上，圆筒与刚体的位移相同且都为零，即

。

将式（h）和式（i）代入，得

方程在接触面上的任意点都成立，取任何值都成立，方程两边的自由项必须相等，于是得

简化并利用式（f），得

。  （j）

（3）圆筒的应力

把式（j）代入式（e），得

，。

圆筒的应力为

，。

4-15在薄板内距边界较远的某一点处，应力分量为，如该处有一小圆孔，试求孔边的最大正应力。

【解】（1）求出两个主应力，即

。

原来的问题变为矩形薄板在左右两边受均布拉力q而在上下两边受均布压力q，如图所示。

应力分量代入坐标变换式，教材中式（4-7），得到外边界上的边界条件

  （a）

   （b）

在孔边，边界条件是

   （c）

    （d）

由边界条件式（a）、（b）、（c）、（d）可见，用半逆解法时，可假设为的某一函数乘以，而为的另一函数乘以。而

，。

因此可假设

。

将式（e）代入相容方程，教材中式（4-6），得

。

删去因子以后，求解这个常微分方程，得

，

其中A,B,C,D为待定常数，代入式（e），得应力函数

，

由应力函数得应力分量的表达式

将上式代入应力边界条件

由式（a）得

                                          (g)

由式（b）得

                                      (h)

由式（c）得

(i)

由式（d）得

(j)

联立求解式（g）——（j），并命，得

。

将各系数值代入分量的表达式，得

沿着孔边，环向正应力是

。

最大环向正应力为。

6-2如题6-2图所示一平面平应状态下的三结点等边三角形单元，其边长为。

（1）试求出应力转换矩阵S及单元劲度矩阵k。

（2）试求出k中的每行之和及每列之和，并说明原因。

（3）设单元发生结点位移或发生结点位移

，试求单元中的应力，并说明其原因。

(4)设该单元在jm边上受有线性分布的压力，其在j点及m点的集度分别为，试求等效结点荷载。

【解】（1）在所选的坐标系中

应用教材中式（6-19）及（6-20），得

应用教材中式（6-32）和（6-33），得该单元的应力转换矩阵

（a）

应用教材中式（6-37）及（6-38），得单元的劲度矩阵

。

（2）求得式（b）中每一行（或列）的元素之和为零（其第一、三、五个元素之和或第二、四、六个元素之和也为零）。

因为k中的每一个元素都表示，发生单位结点位移时所引起的结点力。而各个节点的位移都相同，说明单没有发生形变，即不会引起结点力。

（3）设单元发生结点位移此时，单元作平移，则三角

形内不产生应力和应变，从而结点力为零；但单元发生结点位移

，单元作转动，从而结点力也为零。

（4）单元在jm边上受有线性分布的压力，在j点及m点的集度分别为（可假设

），此时，相当于有均布荷载和三角形分布荷载（在j点集度为0，m点集度为）同时作用在jm边上。

1在均布荷载的作用下，x方向的均布面力为；y方向的均布面力为。由教材中式（6-45）求得的结点荷载为

应用教材中式（6-22）中的第二式及式（6-21）中的第三式，得

。

所以，有

    （c）

2在线性分布荷载（j点集度为0，m点集度为）的作用下，m点x方向的面力为，y方向的均布面力为。由教材中式（6-45）求得的结点荷载为

   （d）

三角形分布荷载作用在jm上，两点的形函数有，根据教材式（6-22）的第二式，

。

代入式（d），得

  （e）

将式（c）和（e）中对应项相加，得

如果设，可得相同的结果。

6-5对于如题6-5图所示的结构，试求整体劲度矩阵K中的子矩阵。

【解】结构是对称的，只取下半部分进行研究，如解6-5图所示，在2，5，8结点设置了铅直支座。单元的局部编码与整体编码1，2，4，5，7，8对应如下：

。（a）

应用公式求整体劲度矩阵K中的子矩阵分别为