《等边三角形》练习题(附答案)

《等边三角形》练习题

1．（2012•深圳）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（　　）

A．

6

B．

12

C．

32

D．

2．（2012•凉山州）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（　　）

A．

180°

B．

220°

C．

240°

D．

300°

3．（2012•荆门）如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（　　）

A．

2

B．

2

C．

D．

3

4．（2011•南平）边长为4的正三角形的高为（　　）

A．

2

B．

4

C．

D．

2

5．（2010•随州）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（　　）

A．

B．

C．

D．

不能确定

6．（2009•攀枝花）如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为（　　）

A．

60°

B．

45°

C．

40°

D．

30°

7．（2007•绵阳）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，BE、CE分别交AD于G、H，设△CDH、△GHE的面积分别为S1、S2，则（　　）

A．

3S1=2S2

B．

2S1=3S2

C．

2S1=S2

D．

S1=2S2

8．（2007•娄底）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．

4cm2

B．

2cm2

C．

3cm2

D．

3cm2

9．（2006•天津）如图，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中，正确结论的个数是（　　）

A．

3个

B．

2个

C．

1个

D．

0个

10．（2006•南宁）如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上爬行（A，C端点除外），设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是（　　）

A．

d＞h

B．

d＜h

C．

d=h

D．

无法确定

11．（2007•南充）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（　　）

A．

30海里

B．

40海里

C．

50海里

D．

60海里

12．（2006•曲靖）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（　　）

A．

25°

B．

30°

C．

45°

D．

60°

13．（2011•茂名）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=_________度．

14．（2008•日照）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60度．恒成立的结论有_________．（把你认为正确的序号都填上）

15．（2005•扬州）如图，将边长为4的等边△ABC，沿x轴向左平移2个单位后，得到△A′B′C′，则点A′的坐标为_________．

16．（2004•茂名）如图，正三角形A1B1C1的边长为1，△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2，△A2B2C2的三条中线又组成△A3B3C3，…，如此类推，得到△AnBnCn．则：

（1）△A3B3C3的边长a3=_________；

（2）△AnBnCn的边长an=_________（其中n为正整数）．

17．（2006•嘉峪关）△ABC为等边三角形，

D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且

AE=CD=BF，则△DEF为_________三角形．

18．（1999•广州）如图，以A，B两点为其中两个顶点作位置不同的等边三角形，最多可以作出_________个．

19．如图所示，P是等边三角形ABC内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，得到△CBP′，若PB=3，则PP′=_________．

20．（2009•浙江）如图，在边长为4的正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作正三角形ADE．

（1）求△ABC的面积S；

（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明．

21．（2009•辽阳）如图，△ABC为正三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD为一边作正三角形CDE，连接AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由．

22．（2008•绍兴）附加题，学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：

如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60度．

（1）请你完成这道思考题；

（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：

①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？

②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？

③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？…

请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①_________；②_________；③_________．并对②，③的判断，选择一个给出证明．

23．（2007•河北）在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．

（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；

（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；

（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）．

24．（2004•苏州）已知：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P．

（1）求证：DP=PE；

（2）若D为AC的中点，求BP的长．

《全等三角形》练习参与试题解析

1．C　2．C　3．C　4．D5.B6.A7.A9.B10.C11.B12.B13．∠E=15度．14．①②③⑤．　

15．.16． a3=；△AnBnCn的边长an=（或21﹣n）　

17．　等边　三角形．18．2个．19 PP′=3．

20．	解：（1）在正△ABC中，AD=4×，（2分） ∴S=BC×AD=×4×2=4．（3分） （2）AC、DE的位置关系：AC⊥DE．（1分） 在△CDF中，∵∠CDE=90°﹣∠ADE=30°，（2分） ∴∠CFD=180°﹣∠C﹣∠CDE=180°﹣60°﹣30°=90°． ∴AC⊥DE．（3分） （注：其它方法酌情给分）．
21．	解：AE∥BC．理由如下： ∵△ABC与△CDE为正三角形， ∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD， 即∠BCD=∠ACE， ∴△BCD≌△ACE， ∴∠B=∠EAC， ∵∠B=∠ACB， ∴∠EAC=∠ACB， ∴AE∥BC．

22．请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①　是　；②　是　；③　否　．并对②，③的判断，选择一个给出证明．

（1）证明：在△ABM和△BCN中， ， ∴△ABM≌△BCN， ∴∠BAM=∠CBN， ∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°． （2）①是；②是；③否． ②的证明：如图， 在△ACM和△BAN中， ， ∴△ACM≌△BAN， ∴∠AMC=∠BNA， ∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°﹣60°=120°， ∴∠BQM=60°． ③的证明：如图， 在Rt△ABM和Rt△BCN中， ， ∴Rt△ABM≌Rt△BCN， ∴∠AMB=∠BNC． 又∠NBM+∠BNC=90°， ∴∠QBM+∠QMB=90°， ∴∠BQM=90°，即∠BQM≠60°．

23

	解：（1）BF=CG； 证明：在△ABF和△ACG中 ∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC ∴△ABF≌△ACG（AAS） ∴BF=CG； （2）DE+DF=CG； 证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图2） ∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG ∴四边形EDHG为矩形 ∴DE=HG，DH∥BG ∴∠GBC=∠HDC ∵AB=AC ∴∠FCD=∠GBC=∠HDC 又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC ∴△FDC≌△HCD（AAS） ∴DF=CH ∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG； （3）仍然成立． 证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图3） ∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG ∴四边形EDHG为矩形， ∴DE=HG，DH∥BG， ∴∠GBC=∠HDC， ∵AB=AC， ∴∠FCD=∠GBC=∠HDC， 又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC， ∴△FDC≌△HCD（AAS） ∴DF=CH， ∴GH+CH=DE+DF=CG， 即DE+DF=CG．
24．	（1）证明：过点D作DF∥AB，交BC于F． ∵△ABC为正三角形， ∴∠CDF=∠A=60°． ∴△CDF为正三角形． ∴DF=CD． 又BE=CD， ∴BE=DF． 又DF∥AB， ∴∠PEB=∠PDF． ∵在△DFP和△EBP中， ∵， ∴△DFP≌△EBP（AAS）． ∴DP=PE． （2）解：由（1）得△DFP≌△EBP，可得FP=BP． ∵D为AC中点，DF∥AB， ∴BF=BC=a． ∴BP=BF=a．
25．	解：（1）当点P在△ABC内时，结论h1+h2+h3=h仍然成立． 理由如下：过点P作BC的平行线，交AB于G，交AC于H，交AM于N，则可得结论h1+h2=AN． ∵四边形MNPF是矩形， ∴PF=MN，即h3=MN． ∴h1+h2+h3=AN+MN=AM=h， 即h1+h2+h3=h． （2）当点P在△ABC外时，结论h1+h2+h3=h不成立．此时，它们的关系是h1+h2﹣h3=h． 理由如下：过点P作BC的平行线，与AB、AC、AM分别相交于G、H、N，则可得结论h1+h2=AN． ∵四边形MNPF是矩形， ∴PF=MN，即h3=MN． ∴h1+h2﹣h3=AN﹣MN=AM=h， 即h1+h2﹣h3=h．
26．	解：（1）当CD2=AC•DB时，△ACP∽△PDB， ∵△PCD是等边三角形， ∴∠PCD=∠PDC=60°， ∴∠ACP=∠PDB=120°， 若CD2=AC•DB，由PC=PD=CD可得：PC•PD=AC•DB， 即=， 则根据相似三角形的判定定理得△ACP∽△PDB （2）当△ACP∽△PDB时，∠APC=∠PBD ∵∠PDB=120° ∴∠DPB+∠DBP=60° ∴∠APC+∠BPD=60° ∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120° 即可得∠APB的度数为120°．
27．	证明：（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形， ∴AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°， ∵∠DCA=∠ECB=60°， ∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB， 在△ACE与△DCB中， ∵， ∴△ACE≌△DCB， ∴AE=BD； （2）∵由（1）得，△ACE≌△DCB， ∴∠CAM=∠CDN， ∵∠ACD=∠ECB=60°，而A、C、B三点共线， ∴∠DCN=60°， 在△ACM与△DCN中， ∵， ∴△ACM≌△DCN， ∴MC=NC， ∵∠MCN=60°， ∴△MCN为等边三角形， ∴∠NMC=∠DCN=60°， ∴∠NMC=∠DCA， ∴MN∥AB．