高三专题复习第1讲函数的图像和性质

第1讲　函数的图象与性质

1．(2016·课标全国乙)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为(　　)

2．(2016·山东)已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f＝f，则f(6)等于(　　)

A．－2  B．－1  C．0  D．2

3．(2016·上海)设f(x)，g(x)，h(x)是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f(x)＋g(x)，f(x)＋h(x)，g(x)＋h(x)均为增函数，则f(x)，g(x)，h(x)中至少有一个为增函数；②若f(x)＋g(x)，f(x)＋h(x)，g(x)＋h(x)均是以T为周期的函数，则f(x)，g(x)，h(x)均是以T为周期的函数，下列判断正确的是(　　)

A．①和②均为真命题

B．①和②均为假命题

C．①为真命题，②为假命题

D．①为假命题，②为真命题

4．(2016·北京)设函数f(x)＝

(1)若a＝0，则f(x)的最大值为________；

(2)若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________．

热点一　函数的性质及应用

1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．

2．奇偶性

(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”或“相反”)．

(2)在公共定义域内：

①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；

②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数；

③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数．

(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.

(4)若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．

(5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称．

3．周期性

定义：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a≠0)，则其一个周期T＝|a|.

常见结论：

(1)f(x＋a)＝－f(x)⇒函数f(x)的最小正周期为2|a|.(a≠0)

(2)f(x＋a)＝⇒函数f(x)的最小正周期为2|a|.(a≠0)

(3)f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于x＝对称．

例1　(1)已知函数f(x)为奇函数，且在[0,2]上单调递增，若f(log2m)A.≤m<2     B.≤m≤2

C．2(2)(2016·江苏)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f(x)＝其中a∈R.若f＝f，则f(5a)的值是________．

跟踪演练1　(1)(2016·四川)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0(2)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝ 其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________．

热点二　函数图象及应用

1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．

2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．

例2　(1)函数y＝的图象大致为(　　)

(2)已知函数f(x)＝＋，g(x)＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)．在同一直角坐标系中，函数f′(x)与g(x)的图象不可能的是(　　)

跟踪演练2　(1)(2015·浙江)函数f(x)＝cos x (－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为(　　)

(2)已知三次函数f(x)＝2ax3＋6ax2＋bx的导函数为f′(x)，则函数f(x)与f′(x)的图象可能是(　　)

热点三　基本初等函数的图象和性质

1．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分01两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．

2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，，－1五种情况．

例3　(1)(2015·山东)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a＜b＜c      B．a＜c＜b

C．b＜a＜c      D．b＜c＜a

(2)若函数若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－1,0)∪(0,1)      B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C．(－1,0)∪(1，＋∞)      D．(－∞，－1)∪(0,1)

跟踪演练3　(1)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是(　　)

(2)已知函数y＝f(x)是定义在R上的函数，其图象关于坐标原点对称，且当x∈(－∞，0)时，不等式f(x)＋xf′(x)<0恒成立，若a＝20.2f(20.2)，b＝ln 2f(ln 2)，c＝－2f(－2)，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a>b>c      B．c>b>a

C．c>a>b      D．a>c>b

1．已知a>0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是图中的(　　)

2．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋，则f(log220)等于(　　)

A．1  B.  C．－1  D．－

3．已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大致为(　　)

4．已知函数h(x)(x≠0)为偶函数，且当x>0时，h(x)＝若h(t)>h(2)，则实数t的取值范围为________．

A组　专题通关

1．(2015·广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)

A．y＝      B．y＝x＋

C．y＝2x＋      D．y＝x＋ex

2．下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是(　　)

A．f(x)＝x      B．f(x)＝x3

C．f(x)＝()x      D．f(x)＝3x

3．函数f(x)＝x＋cos x的大致图象是(　　)

4．已知函数f(x)＝ 的值域为R，那么a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1]      B.

C.      D.

5．设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足条件y＝f(x＋1)是偶函数，且当x≥1时，f(x)＝

x－1，则f，f，f的大小关系是(　　)

A．f>f>f

B．f>f>f

C．f>f>f

D．f>f>f

6．(2015·湖北)已知符号函数sgn x＝f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)－f(ax)(a>1)，则(　　)

A．sgn[g(x)]＝sgn x

B．sgn[g(x)]＝－sgn x

C．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)]

D．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)]

7．(2016·天津)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－)，则a的取值范围是________．

8．给出下列四个函数：

①y＝2x；②y＝log2x；③y＝x2；④y＝.

当0恒成立的函数的序号是________．

9．已知f(x)＝在(－∞，＋∞)上是增函数，那么实数a的取值范围是________．

10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a>0)，F(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立．

(1)求F(x)的表达式；

(2)当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．

B组　能力提高

11．设函数f(x)＝x|x－a|，若对∀x1，x2∈[3，＋∞)，x1≠x2，不等式>0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－3]      B．[－3,0)

C．(－∞，3]      D．(0,3]

12.如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成的，它们的圆心分别是O，O1，O2，动点P从A点出发沿着圆弧按A→O→B→C→A→D→B的路线运动(其中A，O，O1，O2，B五点共线)，记点P运动的路程为x，设y＝|O1P|2，y与x的函数关系为y＝f(x)，则y＝f(x)的大致图象是(　　)

13．(2016·课标全国甲)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)等于(　　)

A．0      B．m

C．2m      D．4m

14．能够把圆O：x2＋y2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数是圆O的“和谐函数”的是________．

①f(x)＝ex＋e－x；    ②f(x)＝ln；

③f(x)＝tan；    ④f(x)＝4x3＋x.