单级倒立摆的PID控制

设计题目：  单级倒立摆的PID控制器设计  

所在实验室：   运动控制实验室    

指导教师： 杨世勇 

学生姓名:  刘新   

班级:  文自082-2      学号:  2000517216  

撰写时间： 2012.3.18     

成绩评定：             

一、设计目的

掌握PID控制器设计、整定及其在MATLAB环境下的实现方法

二、设计要求

设计倒立摆的PID控制系统

三、设计内容

建立单级倒立摆的数学模型；设计倒立摆的控制器；仿真实现倒立摆（角度）的稳定控制

四、设计分析

1.倒立摆系统数学模型的建立基于以下假设：

(1)摆杆及小车都是刚体。

(2) 皮带轮与皮带之间无相对滑动，传动皮带无伸长现象。

(3) 小车的驱动力与直流放大器的输入成正比，而且无滞后，忽略交流伺服电机电枢组中的电感。

(4) 实验过程中的库仑摩擦、各种动摩擦等所有摩擦力足够小，在建模过程中可忽略不计。

对摆杆进行受力分析，建立一级倒立摆系统的数学模型。

对摆杆的受力分解如图3所示。图中为摆杆与竖直方向的夹角。为小车对摆杆的水平分力，为小车对摆杆的竖直分力。

图 对摆杆的受力分析

水平方向的方程为：

                 (1)

竖直方向的方程为：

                (2)

将两个方程合并：

                                 (3)

当摆杆与垂直向上方向之间的夹角相比很小时，则可以进行如下处理：为了得到控制理论的习惯表达，即u为一般控制量，用u代表控制量的输入力F，线性化得到数学模型方程为：

                                         (4)

                                           (5)

将(4)，(5)进行拉普拉斯变化为：

                           (6)

整理后得以u为输入量，以摆杆摆角为输出量的传递函数，将上式整理得：

            (7)

其中

2.单级倒立摆系统物理参数

M    小车质量                            1.096Kg

M    摆杆质量                            0.109Kg         

b     小车摩擦系数                        0.1N/m/sec        

l     摆杆转动轴心到质心的长度            0.25m           

I     摆杆质量                            0.0034Kg*m*m            

将上述参数代入，就可以得到系统的实际模型。

3.PID控制器问世至今已有近70年历史，它以其结构简单、稳定性好、工作可靠、调整方便而成为工业控制的主要技术之一。当被控对象的结构和参数不能完全掌握，或者得不到精确的数学模型时，控制理论的其他技术难以采用，系统控制器的结构和参数必须依靠经验和现场调试来确定，这时应用PID控制技术最为方便。即当我们不完全了解几个系统和被控对象，或不能通过有效的测量手段来获得系统参数时，最合适用PID控制技术。PID控制，实际中也有P、PI和PD控制。

4.（1）P（比例）控制器

   比例控制器，又称P控制器，其传递函数为：

                              Gc(s)=Kp

   显然，调整P控制器的比例参数Kp，将改变系统的开环增益，从而对系统的性能产生影响。比例控制器能实时成比例地反映系统的偏差信号，一旦有偏差，控制器立即产生控制作用，以使偏差减少。

 （2）PD（比例—微分）控制器

  比例—微分控制器，简称PD控制器，其传递函数为;

                                     Gc(s)=Kp(1+Tds)

PD控制器既具有相位超前的特性，其帧频特性又有正斜率段，因而它是一种超前校正系统。PD控制器使系统增加了一个开环零点，会使系统的稳定性及平衡性得到改善；当参数选择适当时，将使系统的调节时间变短；对稳定精度没有影响；但会使系统抗高频干扰的能力下降。

 （3）PI（比例—积分）控制器

  比例—积分控制器，简称PI控制器，在实际工程中得到了广泛的应用。它的传递函数为：

                                Gc(s)=Kp(1+1/Tis)

    PI控制器的相频特性为负，即具有相位滞后特性，故它也是一种滞后校正装置。由于积分环节的引入，使得当系统偏差为零时，PI控制器能维持一恒定的输出作为系统的控制作用，这就使得系统有可能运行于无静差的状态。积分作用的强弱取决于积分时间常数Ti，Ti越大，积分作用越弱。

五、设计结果

%以摆杆角度为输出的倒立摆开环传递函数及其脉冲响应

M = 1.096;

m = 0.109;

b = 0.1;

I= 0.0034;

g = 9.8;

l = 0.25;

q = (M+m)*(I+m*l^2)-(m*l)^2;   %simplifies input

num1 = [m*l/q  0  0]

den1 = [1  b*(I+m*l^2)/q  -(M+m)*m*g*l/q  -b*m*g*l/q  0]

num2=[-(I+m*l^2)/q 0 m*g*l/q]

den2=den1

 %open loop system response for impluse signal

 Kd=20

 Kp=100

 Ki=1

 numPID=[Kd Kp Ki];

 denPID=[1 0];

 numc=conv(num1,(denPID));

 denc=polyadd(conv(denPID,den1),conv(numPID,num1));

t = 0 : 0.01 : 5;

impulse ( numc , denc , t )

axis ( [ 0 5.5 -0.2 0.4])

矩阵相加的程序：

function[poly]=polyadd(poly1,poly2)

if length(poly1)short=poly1;

long=poly2;

else

short=poly2;

long=poly1;

end

mz=length(long)-length(short);

if mz>0

poly=[zeros(1,mz),short]+long;

else

poly=long+short;

end

end

六、设计总结

    通过几天的课程设计，使我熟悉并了解了MATLAB设计仿真的基本思路和方法。最终采用常规的PID控制器控制倒立摆，通过MATLAB的仿真结构显示具有对倒立摆的摆杆角度的控制，倒立摆系统能达到稳定。设计中遇到很多问题，通过与同学的交流和查阅相关资料，以及老师的悉心指导，最终完成了此项设计，不仅培养了学习的能力，而且还扩展了自己的知识体系，这些无形的东西将是我一生取之不尽，用之不竭。