2014初中数学青年教师解题大赛试题参

                        参

（2014年12月4日下午1:30—4:00）

一、选择题（每题6分，共36分）

1.姓名

姓

 已知，则的值为（C ）

A.    B.     C.    D. 

2. 已知满足，则的值为（ D  ）

        A. 4     B.6    C.8   D.4或8

3．小青步行从家出发，匀速向学校走去，同时她哥哥小强骑摩托车从学校出发，匀速向家驶去，二人在途中相遇，小强立即把小青送到学校，再向家里驶去，这样他在途中所用的时间是原来从学校直接驶回家所用时间的2.5倍，那么小强骑摩托车的速度是小青步行速度的  （ B   ）.

    A.  2倍    B.  3倍   C.4倍     D. 5倍

4. 学校

学

方程的解的个数是4，则的取值范围为（  B  ）

A.     B.   C.     D. 

5. 平面上动点满足，，,则一定有（  B ）

．           ．         

   ．          ． 

6. 函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，对任意的非0实数a、b、c、m、n、g关于x的方程m[f(x)]2+n f(x)+g=0的解集不可能是(  D  )

A. {1,3}        B. {2,4}        C. {1,2,3,4}        D. {1,2,4,8}

二、填空题（每题8分，共32分）

7. 设集合｛+b︱1≤a≤b≤2｝中的最大元素与最小元素分别为M、m,则M-m的值为5-2√3     。

8.县市

 化简： =n2+3n/4(n+1)(n+2)        。

9. 在中，,  则的面积的最大值为 16/3    .

10. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放进1个白球，则第4

次恰好取完所有红球的概率为   434/10000           .

三、解答题（共82分）

11.（本题12分）如图，点是正方形边上一点（不与点重合），连接并将线段绕点顺时针方向旋转90°得到线段，交边于点，连接．

（1）求证：；

（2）求的度数；

（3）当的值等于多少时，？并说明理由． 

证明:  (1)在正方形ABCD中，∠A=90°，

∴∠ADP+∠APD=90°

           ∵∠DPE=90°  ∴∠EPB+∠APD=90°

            ∴    ；

             (2)作EG⊥AB交AB的延长线于G, ∴∠PGE=∠A=90°

                 又∵，DP=PE 

                 ∴⊿ADP≌⊿PGE

                 ∴AD=PG=AB,AP=GE

                ∴AB-PB=PG-PB    即AP=BG 

                 ∴BG=GE

                 ∴∠EBG=∠BEG=45°

                 ∴∠CBE=45°

             (3) 当的值等于1/2时，

             证明 ：∵∠A=∠PBF=90°、

                  ∴⊿ADP∽⊿BPF

                  ∴ DP/PF=AP/BF  

                  当的值等于1/2时，AP=PB

                 ∴DP/PF=PB/BF 

                 ∴DP/PB=PF/BF

                 ∵ ∠DPE=∠PBF=90°

                 ∴

12.（本题15分）请用一个长方形纸片折出一个30°的角（不借助任何工具）

写出你的作法，并说明理由.

作法：   如图，将长方形纸片ABCD沿着一组对边中点对折得折痕EF

再将∠A沿着过点B的直线折叠使点A落在折痕EF上的点A’处得折痕BG,,

则∠ABG=∠GBA’=∠A’BC=30°

证明 ： 延长GA’交BC于H,

       由作图知：  AD∥EF∥BC     AE=EB    

                  ∠BA’G= =90°=∠BA’H                                   

            ∴A’G=A’H       又∵BA’=BA’

            ∴⊿ADP≌⊿PGE

            ∴∠GBA’=∠HBA’

            由折纸知∠ABG=∠GBA’，

∠ABC =90° 

       ∴  ∠ABG=∠GBA’=∠A’BC=30°

13..（本题共20分）凸四边形ABCD内接于⊙O，其中AC为⊙O直径，AB=BC，已知BD=10.

求：四边形ABCD的面积.

E

解：方法1 记AC和BD的交点为E,

∵AC为⊙O直径

       ∴∠ABC=∠ADC=90°

     ∵AB=BC

   ∴∠BAC=∠ACB=∠DAC=∠BDC= 45°

又∵∠ABE=∠DBA       ∠CDB=∠CAD

∴⊿BAE∽⊿BDA         ⊿ADE∽⊿BDC

 ∴AB/BD=BE/AB          AD/BD=DE/DC    

∴AB2=BD×BE          AD×DC=BD×DE

∴AB2+ AD×DC= BD×BE+ BD×DE=BD(BE+DE)=BD2=102=100

∴S四边形ABCD=S⊿ABC+ S⊿ADC=1/2AB×BC+1/2 AD×DC=1/2(AB2+ AD×DC)=50

方法2： 设圆的半径为R,则AC=2R,AB=BC=√2R 运用托勒密定理可得

AB×CD+BC×AD=AC×BD

即√2R×CD+√2R×AD=2R×10从而得AD+CD=10√2

S四边形ABCD=S⊿BAD+ S⊿BCD=1/2BD×AD×Sin45°+1/2BD×CD×Sin45°

                =1/2BD×Sin45°(AD+CD)

                =1/2×10×√2/2×10√2=50

方法3：  可分别过点A、C作BD上的垂线段AE、CF

用⊿ABE≌⊿BCF可以得到AE+CF=BD=10

方法4：过点A作BD的垂线垂足为E,交圆于F,连接CF,

用圆周角，弧，弦得关系可证AF=BD=10

       S四边形ABCD=1/2BD×AF=50

方法5： 在4得到  AD+CD=10√2后，将他平方得

       AD2+CD2+2AD×CD=200

       由勾股定理  AD2+CD2=AC2=2AB2

          2AB2+2AD×CD=200

S四边形ABCD=S⊿ABC+ S⊿ADC=1/2(AB2+ AD×DC)=50

14.（本题20分）如图，抛物线y=ax2+bx -1经过A（-1,0）、B（2,0）两点，交y轴于点C．点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，交x轴于点E．

（1）请直接写出抛物线表达式和直线BC的表达式.

（2）如图1，当点P的横坐标为   时，求证：△OBD∽△ABC.

（3）如图2，若点P在第四象限内，当OE=2PE时，求△POD的面积.

（4）当以点Ｏ、Ｃ、Ｄ为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P的坐标.

解：（1）由待定系数法得抛物线表达式为y=1/2x2-1/2x -1

  直线BC的表达式为y=1/2x -1

  证明：（2）∵点P的横坐标为  ，即x=   时yP=-10/9

            yD=-2/3    ∵ED= yD-yP=2/3=OE

         ∴∠EOD=∠EDO= 45°   

      又∵OA=OC=1

           ∴∠OAC=∠OCA= 45°

           ∴∠OAC=∠EOD   

           又∵∠OBD=∠ABC  

           ∴△OBD∽△ABC.

（3）  OE=2PE     OE=x    PE=-y=-1/2x2+1/2x +1)

2(-1/2x2+1/2x +1)= x

解得x1=-√2(舍去)  x2=√2  

            即OE= √2     PE=√2/2，  DE=yD=√2/2-1

         PD=PE-DE=1

      s△POD=1/2PD×OE=√2/2

        (4) 点P的坐标为：（2√5/5， 3/5-√5/5）或（-2√5/5，-3/5+√5/5）.或（4/5，-37/25） 或（1，-1）

15.（本题15分）证明：不存在整数使得成立。

证明：假设存在整数使得成立，

      则关于x得一元二次方程x2+3xy-(2y2+122)=0在y是整数时有整数解，

      于是⊿=（3y）2+4 (2y2+122)=17y2+488是完全平方数，

        设m2=17y2+488=17(y2+28)+12

          m2-12=17(y2+28)   故m2-12能被17整除，

    显然，整数m不能被17整除， 

 再设整数m=17n+p,其中n为任意整数，|P|=1、2、3、…8

m2-12=（17n+p）2-12=17（17n2+2nP）+p2-12

其中17（17n2+2nP）能被17整除

而当|P|=1、2、3、…8时，

p2-12=|p|2-12=-11、-8、-3、4、13、24、37、52都不能被17整除，

所以m2-12=（17n+p）2-12=17（17n2+2nP）+p2-12一定不能被17整除，

这就与前面所说m2-12能被17整除相矛盾，

所以假设“存在整数使得成立”是错误的；

所以不存在整数使得成立。

初中组13题和高中组的一题，有些解题方法很相似

附：高中组中平面几何证明

E

方法1:用相似三角形   记AB、PC得交点为E  设正三角形边长为a，

易证：⊿PAE∽⊿PCB         ⊿ACE∽⊿PCA

∴PA×PB=PE×PC           AC2=CE×PC

∴PA×PB+ AC2 = PE×PC+ CE×PC=PC(PE+CE)=PC2

∴PC2- PA×PB=AC2=a2=3R2    即PC2-PA×PB为定值3R2

 方法2:用特勒密定理证PC=PA+PB

证明：设正三角形边长为a，由特勒密定理得：

PC×AB=AP×BC+BP×AC

即aPC=aAP+aBP   所以PC=PA+PB

    所以PC2-PA×PB=(PA+PB)2- PA×PB= PA2+PB2+PA×PB=a2=3R2

即PC2-PA×PB为定值3R2

方法3：用余弦定理证PC=PA+PB

证明 ：设正三角形边长为a,在△APC  、△BPC   、△APB中，

      ∠APC=∠BPC=60°   ∠BPA=120°

     根据余弦定理得  ：

a2=PA2+PC2-2PA×PC×COS60°= PA2+PC2-PA×PC  (1)

 a2=PB2+PC2-2PB×PC×COS60°= PB2+PC2-PB×PC  (2)

 a2=PA2+PB2-2PA×PB×COS120°= PA2+PB2+PA×PB (3)

 由（1）-（2）得：（PA2+PC2-PA×PC）-（ PB2+PC2-PB×PC）=0

  整理得：PA×PC-PB×PC=PA2-PB2=(PA+PB)(PA-PB)

 所以         PC=PA+PB

 所以PC2-PA×PB=(PA+PB)2- PA×PB= PA2+PB2+PA×PB=a2=3R2

 即PC2-PA×PB为定值3R2

方法4:构造全等三角形（如图做辅助线可通过全等证明PC=PA+PB）