2020年公行测数算必备公式定理15则

一、计算问题

1．完全立方公式

。

2．立方和（差）公式

。

3．数列的求和公式

（1）等差数列求和公式

（为首项，为第n项，为项数，为公差）。

（2）等比数列求和公式

当时，；当时，（常数列）（为首项，为项数，为公比）。

（3）平方数列求和公式

。

（4）立方数列求和公式

。

（5）一些特殊数列求和公式

1+3+5+7+9+11+13+15+…+（2－1）=，2+4+6+8+10+12+14+…+2=（+1）。

4．裂项公式

，，。

【示例】

====。

二、行程问题

1．时间相等，路程比=速度比；速度相等，路程比=时间比；路程一定，速度与时间成反比。

2．相遇时间=相遇路程÷速度和，追及时间=追及路程÷速度差。

3．流水行船问题

顺水速度=船速+水速，逆水速度=船速－水速。

船速=（顺水速度+逆水速度）÷2，水速=（顺水速度－逆水速度）÷2。

顺水行船时间记为t顺，逆水行船时间记为t逆，则漂流物顺水漂流时间。

4．火车问题

火车过桥的总路程=桥长+车长。

两车从相遇到驶离彼此的路程和=两车车长之和。

【示例】

一列客车长250米，一列货车长350米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到车尾相离经过15秒，已知客车与货车的速度比为5︰3，则两车速度相差：（米/秒）。

5．两地多次相遇问题

从两地同时相向出发的多次相遇问题中，第n次相遇时，两人所走的路程和等于第一次相遇时所走路程和的倍，每个人走的路程等于第一次相遇时他所走路程的倍。（仅限于相向运动时的相遇）

【示例】

A、B两地相距400米，甲、乙两人同时从A、B两地出发相向而行，甲速度为1米/秒，乙速度为2米/秒，那么第二次相遇时，两人所走的路程和等于第一次相遇时所走路程和的2×2－1=3（倍），即为400×3=1200（米），此时甲所走的路程等于第一次相遇时所走路程的3倍，即为=400（米）。

6．环形多次相遇问题

环形反向运动：第n次相遇时，两人所走的路程之和等于n个环形周长。

环形同向运动：第n次相遇时，两人所走的路程之差等于n个环形周长。

环形多次相遇问题中，第n次相遇时，每个人所走的路程等于在第一次相遇时他所走路程的n倍。

【示例】

老张和老王两个人在周长为400米的圆形池塘边散步。老张每分钟走75米，老王每分钟走85米。现在两个人从同一点出发反方向行走，那么第二次相遇是在出发（分钟）后。

三、工程问题

1．工作效率×工作时间=工作量。

2．合作完成的工作总量=工作效率和×合作时间。

3．进水、排水问题

若为排水，进水为负，排水量=（排水速度－进水速度）×时间。

若为进水，排水为负，进水量=（进水速度－排水速度）×时间。

四、浓度问题

1．。

2．溶质不变溶剂多次变化问题：一种溶液，第一次蒸发掉（加入）一定量的溶剂后浓度变为，第二次蒸发掉（加入）同样多的溶剂后浓度变为，第三次蒸发掉（加入）同样多的溶剂后浓度变为，则有。

3．质量分别为、的浓度不同的两种盐水，从中各取出质量为的盐水倒入对方杯中，若这时两杯新盐水的浓度相同，则有：。

【示例】

有甲、乙两杯浓度不同的盐水，甲杯中盐水重120克，乙杯中盐水重80克。现在从两杯倒出等量的盐水，分别交换倒入对方杯中，若这时两杯新盐水的浓度相同，则从每杯中倒出的盐水各有=48（克）。

五、利润问题

1．利润=售价－成本。

2．利润率=利润÷成本=（售价－成本）÷成本=售价÷成本－1。

3．售价=成本×（1＋利润率）。

4．折扣=。

5．银行储蓄问题

利息=本金×利率×期数，本息和=本金+利息=本金×（1+利率×期数）。

六、钟面问题

钟面上的1圈为12大格，每格=360÷12=30（度）。

时针每小时走1大格，即30度，每分钟走30÷60=0.5（度）。

分针每小时走1圈，即360度，每分钟走360÷60=6（度）。

时针与分针的速度之差为6－0.5=5.5（度/分钟），速度之和为6+0.5=6.5（度/分钟）。

表盘时针与分针所成角度计算公式：n点m分时，时针与分针之间的角度为|30n－5.5m|度。

【示例】

现在时间为4点13分，此时时针与分针所成角度为|30×4-5.5×13|=45（度）。

七、概率、排列、组合问题

1．常考的概率问题主要有常规概率问题、事件概率问题、二项分布概率问题和条件概率问题。

3．隔板法

如果要求将n个相同元素分成m组，且每组至少一个元素时，可用（m－1）个“挡板”插入这n个元素之间的（n－1）个“空”中，将元素隔成m组，此时有种情况。

4．错位排列

有n封信和n个信封，每封信都不装在自己的信封里，可能的情况数记作，则（此种情况不存在，因为只有一个信封），，， =9，， =265（记住0，1，2，9，44，265即可）。

【示例】

五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有=20（种）。

八、抽屉原理

抽屉原理1：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品件数不少于2（存在至少有2件物品在同一个抽屉中的情况）。

抽屉原理2：将多于mn件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品件数不少于m+1（存在至少有m+1件物品在同一个抽屉中的情况）。

九、比赛场次问题

100位乒乓球运动员在进行冠军争夺赛，通过比赛，将从中产生一名冠军，这次比赛实行淘汰制（即一轮比赛全部结束后，失败者失去继续比赛的资格，而胜利者再次抽签，参加下一轮比赛），则一共要进行100－1=99（场）比赛最终才能产生冠军。

十、容斥问题

1．两个集合：A∪B=A＋B－A∩B。

2．三个集合：A∪B∪C=A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C＋A∩B∩C。

3．在三个集合题型中，假设满足各个条件的元素数量分别为A、B、C，而至少满足一个条件的元素的总量为W。其中，只满足一个条件的元素数量为，只满足两个条件的元素数量为，只满足三个条件的元素数量为，则：W=++，A+B+C=+2+3。

【示例】

某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格。同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格。设至少有一项不合格的建筑防水卷材产品有W种，只有一项不合格的产品有x种，则有W=+7+1，8+10+9=+2×7+3×1，解得=10，W=18。所以至少有一项不合格的产品有18种，因此三项全部合格的建筑防水卷材产品有52－18=34（种）。

十一、植树问题

1．封闭区域植树公式：棵数=总路长÷相邻两树间距。

【示例】

在一个方形的住宅回廊上每隔2米放一盆植物，回廊的总长度为60米，则一共要放60÷2=30（盆）植物。

2．不封闭区域植树问题

以上数量关系适用的是单边植树问题，双边植树问题需要在此基础上乘以2。

【示例】

在一段公路的一边栽95棵树，两头都栽，每两棵树之间相距5米，这段公路全长（95－1）×5=470（米）。

十二、几何问题

1．圆形面积：。

2．扇形面积：（为扇形的角度）。

3．球体表面积：。

球体体积：。

4．圆柱体表面积：。

圆柱体体积：（为圆柱体底面积，为圆柱体的高）。

5．锥体体积：（为锥体底面积，为锥体的高）。

十三、鸡兔同笼问题

1．设鸡求兔：兔数=（总脚数－每只鸡脚数×总头数）÷（每只兔脚数－每只鸡脚数），鸡数=总头数－兔数。

设兔求鸡：鸡数=（每只兔脚数×总头数－总脚数）÷（每只兔脚数－每只鸡脚数），兔数=总头数－鸡数。

2．得失问题

设得求失：损失件数=（每件应得×总件数－实得钱数）÷（每件应得+每件损赔），实得件数=总件数－损失件数。

【示例】

某次考试100道选择题，每做对一题得1.5分，不做或做错一题扣1分，小李共得100分，那么他答错（包括不做）（题）。

十四、牛吃草问题

（牛头数－每天长草量）×天数=草场原有草量。

【示例】

牧场上长满牧草，每天牧草都均匀生长。这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，则可供25头牛吃多少天：设每天的长草量为，最初的牧场总草量为，则（10－）×20=（15－）×10=，解得=5， =100，所以25头牛可以吃100÷（25－5）=5（天）。

十五、盈亏问题

把一定数量的物品平均分给固定的对象，如果按某种标准分，则分配后会有剩余（盈）；按另一种标准分，分配后又会有不足（亏），求物品的数量和分配对象的数量。

一个植树小组植树，如果每人栽6棵，还剩14棵，如果每人栽7棵，就缺4棵。这个植树小组一共有（14＋4）÷（7－6）=18（人），一共要栽6×18＋14=122（棵）树。