...平面向量的基本定理、坐标运算及数量积(重难点突破)(含答案...

一、考情分析

二、题型分析

(一) 平面向量的基本定理与坐标表示

知识点1 平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．

例1．（1）.（2019·四川雅安中学高一月考）以下四组向量能作为基底的是（   ）

A．    B．

C．    D．

【答案】B

【解析】对于，与共线，不能作为基底；

对于，与不共线，能作为基底；

对于，与共线，不能作为基底；

对于，与共线，不能作为基底，故选B.

（2）.（2019·江西高一期末）设是平面内的一组基底,则下面四组向量中,能作为基底的是（    ）

A．与    B．与

C．与    D．与

【答案】C

【解析】

由是平面内的一组基底，所以和不共线，

对应选项A：，所以这2个向量共线，不能作为基底；

对应选项B：，所以这2个向量共线，不能作为基底；

对应选项D：，所以这2个向量共线，不能作为基底；

对应选项C：与不共线，能作为基底.

故选：C．

（3）.（2020·内蒙古高三月考）在正方形中，点为内切圆的圆心，若，则的值为（    ）

A．    B．

C．    D．

【答案】D

【解析】连并延长到与相交于点，设正方形的边长为1，则，设内切圆的半径为，则，可得.

设内切圆在边上的切点为，则，有，，故.

故选：D

【变式训练1】．（2020·北京高三开学考试）在平行四边形ABCD中，，，，则        .（用表示）

【答案】

【解析】如图：

＝－＝＋2＝＋＝－＋(－)＝－＋

＝.故本题答案为.

【变式训练2】．（2020·辽宁高考模拟）在中，，，若，则（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】因为，所以点是的中点，又因为，所以点是的中点，所以有：

，因此

，故本题选D.

(二) 平面向量的坐标运算

知识点2 平面向量的坐标运算

(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)．

(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．

(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)．

(4)a·b＝x1x2＋y1y2.

(5)|a|＝.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.

例2．（1）.（2020·福建高三月考）已知，若，则的坐标为（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】设,因为,所以.

所以,所以,

解得: ,.所以.故选D.

（2）.（2019·湖南高一期末）已知，，则（  ）

A．2    B．    C．4    D．

【答案】C

【解析】由题得=（0,4）所以．故选：C

【变式训练1】.（2020·湖北高一期中）已知向量，向量.

（1）求向量的坐标； 

（2）当为何值时，向量与向量共线.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）

（2），

∵与共线，∴∴

【变式训练2】.（2018·上海市嘉定区封浜高级中学高二期中）已知，为坐标原点.

(1) 求向量的坐标及；

(2) 若，求与同向的单位向量的坐标．

【答案】(1) ，；（2）.

【解析】

（1）,.

（2）,

,

与同向的单位向量.

(三) 平面向量的数量积

知识点3．平面向量数量积

1．平面向量数量积的有关概念

(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角．

(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.规定：0·a＝0.

(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．

2．平面向量数量积的性质

设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则

(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.

(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.

特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.

(3)cos θ＝.

(4)|a·b|≤|a||b|.

3．平面向量数量积的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ，则

(1)a·b＝x1x2＋y1y2.

(2)|a|＝.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.

(3)cos θ＝.

(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

例3．（1）（2020·浙江高一期末）已知向量，，则__________，与方向相反的单位向量__________.

【答案】        

【解析】依题意，故.与方向相反的单位向量为.

（2）.（2019·全国高考真题）已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=

A．-3    B．-2

C．2    D．3

【答案】C

【解析】

由，，得，则，．故选C

【变式训练1】.（2019·安徽高三月考（理））已知，，均为单位向量，与的夹角为，则的最大值为(   )

A．    B．    C．2    D．3

【答案】B

【解析】

设与的夹角为，因为，，

所以，

所以，所以，此时.故选：B．

【变式训练2】.（2020·四川高一月考）已知，若，则实数=__________；=__________.

【答案】0    0    

【解析】∵，

∴，

∵，

∴，解得．

故答案为．

【变式训练3】.（2019·江苏高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.

【答案】.

【解析】

如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.

，

得即故.

【变式训练4】.（2020·浙江高一期中）已知为单位向量，. 

（1）求；

（2）求与的夹角的余弦值；

【答案】（1）；（2）.

【解析】

由题得；

由题得与的夹角的余弦值为

故答案为：（1）；（2）.

(四) 平面向量的应用（平行与垂直）

知识点1 平面向量的平行与垂直

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)．

(1)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件为x1y2－x2y1＝0.

a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定．

(2)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．

例4．(1)（2020·江西高一期末）已知向量，，若，则（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】向量，，且，，解得.

故选：D.

(2)．(多选题)已知向量(2，1)，(1，﹣1)，(m﹣2，﹣n)，其中m，n均为正数，且()∥

A．a与b的夹角为钝角

B．向量a在b方向上的投影为

C．2m+n=4

D．mn的最大值为2

【答案】CD

对于A，向量(2，1)，(1，﹣1)，则，则的夹角为锐角，错误；

对于B，向量(2，1)，(1，﹣1)，则向量在方向上的投影为，错误；

对于C，向量(2，1)，(1，﹣1)，则 (1，2)，若()∥，则(﹣n)=2(m﹣2)，变形可得2m+n=4，正确；

对于D，由C的结论，2m+n=4，而m，n均为正数，则有mn (2m•n) ()2=2，即mn的最大值为2，正确；

故选：CD.

【变式训练1】（2020·浙江高一期中）已知向量满足.若，则 _______； ______.

【答案】        

【解析】因为，所以（1）×m4=0,所以m=4.所以.

故答案为：(1).     (2). 

【变式训练2】．（2020广东高一期末）已知， ;

 (1) 若，求的值；

 （2）若，，求的值.

【答案】（1）（2）

【解析】（1），

∴，                                      ……1分

∴ ；                                       ……3分

∴.       ……7分

（2），                                  ……8分

∴，两边平方得，                         ……10分

，且，

∴∴，                                      ……12分

∴.                                ……分