广东省湛江市2013届高三普通高考测试(二)数学理试题 含答案

湛江市2013年普通高考测试题（二）

数学（理科）

本试卷共4页，共21小题，满分150分。考试用时120分钟。

参考公式：

锥体的体积公式：，其中S是底面面积，h是高.

参考数据：

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.

1.已知集合A= {x|x〉1}，B={x|x2 <4},则A∩B =

A. {x | x < 2} B. {x|-2 1} D. {x| 1 < x < 2}

2.    复数的虚部是

A. 1        B        C.-1        D.- 

3.    如果命题“”是真命题，则

A.命题p、q均为假命题    B.命题p、q均为真命题

C.命题p、q中至少有一个是真命题    D.命题p、q中至多有一个是真命题

4.    下列函数中既是奇函数，又在（0，+)上单调递增的是

A. y = x2    B. y = x3    C. y = -x    D. y = tanx

5.    运行如图的程序框图，输出的结果是

A. 510    B. 1022    C. 254    D. 256

6.函数f(x)= (x-1)cosx2在区间[0，4]上的零点个数是

A. 4    B. 5    C. 6    D. 7

7.    设F1，F2是椭圆：的左右焦点，若直线x = wa (m>1)上存在一点尸，使ΔF2PF1是底角为300的等腰三角形，则m的取值范围是 

A. 1 < m < 2    B. m > 2 C. 1 < m <   D. m >

8.    某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段， 在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a + b的最大 值为

A.    B.   C. 4    D. 

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.

(一）必做题（9〜13题）

9.曲线y= x3-x + 3在点（1，3)处的切线方程为_______

10.已知函数，那么=_______

11.不等式|x2-3x+ 1|<1的解集为______.

12.已知{an}的前n项之和为Sn，a1    =1， Sn = 2an+1，则Sn =______

13.四位学生，坐在一排有7个位置的座位上，有且只有两个空位是相邻的不同坐法有______种.（用数字作答）

(二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）

14.(坐标系与参数方程选做题）

在直角坐标系x吵中，曲线C的参数方程是（为参数)，

若以O为极点，x轴正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程是________.

15.(几何证明选讲选做题）

如图，点A、B、C都在O上，过点C的切线 交AB的延长线于点D,若AB = 5， BC = 3,CD = 6,则线段AC的长为_______

三、解答题:本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分12分）

某市甲、乙两校高二级学生分别有1100人和1000人，为了解两校全体高二级学生期 末统考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从这两所学校共抽取105名高二学生的数学 成绩，并得到成绩频数分布表如下，规定考试成绩在[120，150]为优秀.

甲校：

乙校：

(1)    求表中x与y的值；

(2)    由以上统计数据完成下面2x2列联表，问是否有99%的把握认为学生数学成绩优秀 与所在学校有关？

(3)    若以样本的频率作为概率，现从乙校总体中任取 3人（每次抽取看作是重复的），求优秀学生人数的分布列和数学期望.（注：概率值可 用分数表示）

17.(本小题满分12分）

如图，已知平面上直线l1//l2，A、B分别是l1、l2上的动点，C是l1，l2之间一 定点，C到l1的距离CM = 1, C到l2的距离CN=，ΔABC内角A、B、C所对 边分别为a、b、c，a > b ,且b.cosB = a.cosA

(1)    判断三角形ΔABC的形状；

(2)记,求f(θ)的最大值.

18.(本小题满分14分）

如图，在长方体ABCD一A1B1C1D1中，AA1=2, AD = 3, E为CD中点，三棱 锥A1-AB1E的体积是6.

(1)    设P是棱BB1的中点，证明：CP//平面AEB1;

(2)    求AB的长；

(3)求二面角B—AB1-E的余弦值.

19.(本小题满分14分）

已知a<2,.(注：e是自然对数的底）

(1)    求f(x)的单调区间；

(2)若存在x1∈[e,e2],使得对任意的x2∈[—2，0],f(x1）20.(本小题满分14分）

已知抛物线C:y2=4x, F是抛物线的焦点，设A(x1,y1），B(x2 ,y2)是C上异于 原点O的两个不重合点，OA丄OB，且AB与x轴交于点T

(1)    求x1x2的值；

(2)    求T的坐标；

(3)    当点A在C上运动时，动点R满足：，求点R的轨迹方程.

21.(本小题满分14分）

已知x轴上有一列点P1，P2  P3,…，Pn，…，当时，点Pn是把线段Pn-1 Pn+1 作n等分的分点中最靠近Pn+1的点，设线段P1P2 , P2P3 , P3P4,…，PnPn+1的长度分别 为a1，a2，a3,…，an,其中a1=1.

(1)求an关于n的解析式；

(2 )证明：a1 + a2 + a3 + … + an < 3

(3)    设点P(n，an) {),在这些点中是否存在两个点同时在函数的图象上？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由.