高三数学第一轮复习课时作业(58)排列、组合B

时间：35分钟　　分值：80分

1．由0,1,2,3,4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列{an}，则a19＝(　　)

A．2 014  B．2 034  C．1 432  D．1 430

2．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法种数是(　　)

A．1 136  B．1 600

C．2 736  D．1 120

3．某学校有教职工100人，其中教师80人，职员20人．现从中选取10人组成一个考察团外出学习考察，则这10人中恰好有8名教师的不同选法的种数是(　　)

A．CC  B．AA

C．AC  D．CC

4．某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目，且在同一城市投资项目不超过2个，则他不同的投资方案有(　　)

A．60种  B．70种

C．100种  D．120种

5．某校开设10门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是(　　)

A．120  B．98

C．63  D．56

6．从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有(　　)

A．252个  B．300个

C．324个  D．228个

7．2011·哈尔滨二模  2011年，哈三中派出5名优秀教师去大兴安岭地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有(　　)

A．80种  B．90种

C．120种  D．150种

8．2011·安徽江南十校联考  在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列方式种数共有(　　)

A．576  B．720  C．8  D．1 152

9．2011·哈尔滨三模  将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的总数为________(用数字作答)．

10．有五名男同志去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有________种(用数字作答)．

11．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有________种．

12．(13分)一次数学考试的第一大题有11道小题，其中第(1)～(6)小题是代数题，答对一题得3分；第(7)～(11)题是几何题，答对一题得2分．某同学第一大题对6题，且所得分数不少于本题总分的一半，问该同学有多少种答题的不同情况？

13．(12分)(1)10个优秀指标名额分配给6个班级，每个班至少一个，共有多少种不同的分配方法？

(2)在正方体的过任意两个顶点的所有直线中，异面直线有多少对？

课时作业(五十八)B

【基础热身】

1．A　解析 千位是1的四位偶数有CA＝18，故第19个是千位数字为2的四位偶数中最小的一个，即2014.

2．A　解析 方法一：将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类计数原理有：CC＋CC＋C＝1136(种)．

方法二：考虑其对立事件：“3个都是二等品”，用间接法：C－C＝1136(种)．

3．D　解析 由于结果只与选出的是哪8名教师和哪两名职员有关，与顺序无关，是组合问题．分步计数，先选8名教师再选2名职员，共有CC种选法．

4．D　解析 在五个城市中的三个城市各投资一个，有方法数A＝60，将三个项目分为两组投资到五个城市中的两个，有方法数CA＝60，故不同的投资方案有120种．

【能力提升】

5．B　解析 分两类：(1)不包含A，B，C的有C种选法；(2)包含A，B，C的有C·C种选法．所以共有C＋C·C＝98(种)选法，故应选B.

6．B　解析 (1)若仅仅含有数字0，则选法是CC，可以组成四位数CCA＝12×6＝72个；

(2)若仅仅含有数字5，则选法是CC，可以组成四位数CCA＝18×6＝108个；

(3)若既含数字0，又含数字5，选法是CC，排法是若0在个位，有A＝6种，若5在个位，有2×A＝4种，故可以组成四位数CC (6＋4)＝120个．

根据加法原理，共有72＋108＋120＝300个．

7．D　解析 分组法是(1,1,3)，(1,2,2)，共有＋＝25，再分配，乘以A，即得总数150.

8．C　解析 先让数字1,3,5,7作全排列，有A＝24种，再排数字6，由于数字6不与3相邻，在排好的排列中，除3的左、右2个空隙，还有3个空隙可排数字6，故数字6有3种排法，最后排数字2,4，在剩下的4个空隙中排上2,4，有A种排法，共有A×3×A＝8种，故选C.

9．8　解析 总的分法是A＝14，若仅仅甲、乙分到一个班级，则分法是A＝2，若甲、乙分到同一个班级且这个班级分到3名学生，则分法是CA＝4，故总数是14－2－4＝8.

10．72　解析 甲、乙住在同一个房间，此时只能把另外三人分为两组，这时的方法总数是CA＝18，而总的分配方法数是把五人分为三组再进行分配，方法数是A＝90，故不同的住宿安排共有90－18＝72种．

11．222　解析 总数是C＝253，若有两个学校名额相同，则可能是1,2,3,4,5,6,7,9,10,11个名额，此时有10C＝30种可能，若三个学校名额相同，即都是8个名额，则只有1种情况，故不同的分配方法数是253－30－1＝222.

12．解答 依题意可知本题的总分的一半是14分，某同学在11题中答对了6题，则至少答对两道代数题，至多答对4道几何题，因此有如下答题的情况：

(1)代数题恰好对2道，几何题恰好对4道，此时有CC＝75种情况；

(2)代数题恰好对3道，几何题恰好对3道，此时有CC＝200种情况；

(3)代数题恰好对4道，几何题恰好对2道，此时有CC＝150种情况；

(4)代数题恰好对5道，几何题仅对1道，此时有CC＝30种情况；

(5)代数题全对，几何题全错，此时有CC＝1种情况．

由分类计数原理得所有可能的答题情况有456种．

【难点突破】

13．解答 (1)由于是10个名额，故名额和名额之间是没有区别的，我们不妨把这10个名额在桌面上从左到右一字摆开，这样在相邻的两个名额之间就出现了一个空挡，10个名额之间就出现了9个空挡，我们的目的是把这10个名额分成6份，每份至少一个，那我们只要把这9个空挡中的5个空挡上各放上一个隔板，两端的隔板外面的2部分，隔板和隔板之间的4部分，这样就把这10个指标从左到右分成了6份，且满足每份至少一个名额，我们把从左到右的6份依次给1,2,3,4,5,6班就解决问题了．这里的在9个空挡上放5个隔板的不同方法数，就对应了符合要求的名额分配方法数．这个数不难计算，那就是从9个空挡中选出5个空挡放隔板，不同的放法种数是C＝126.

(2)方法一：连成两条异面直线需要4个点，因此在正方体8个顶点中任取4个点有C种取法．每4个点可分共面和不共面两种情况，共面的不符合条件，去掉．因为在6个表面和6个体对角面中都有四点共面，故有(C－12)种．不共面的4点可构成四面体，而每个四面体有3对异面直线，故共有3(C－12)＝174对．

方法二：一个正方体共有12条棱、12条面对角线、4条体对角线，计2，任取两条有C种情况，除去其面的情况：(1)6个表面，每个面上有6条线共面，共有6C条；(2)6个体对角面，每个面上也有6条线共面，共有6C条；(3)从同一顶点出发有3条面对角线，任意两条线都共面，共有8C条，

故共有异面直线C－6C－6C－8C＝174对．