数学第五章 相交线与平行线的专项培优练习题(含答案

一、选择题

1．如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n．则下列说法正确的是（ ）

A．AC=BP ．△ABC的周长等于△BCP的周长

C．△ABC的面积等于△ABP的面积 ．△ABC的面积等于△PBC的面积

2．把一把直尺和一块三角板ABC含30度，60度，按如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和A，∠CED=50°，则∠CFA的大小为（  ）

A． ． ． ．

3．如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=58°，则∠2的度数为（ ）

A．30° ．32° ．42° ．58°

4．如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1=124°，∠2=88°，则∠3的度数为（ ）

A．26° ．36° ．46° ．56°

5．如图，有一块含有30°角的直角三角形板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2=44°，那么∠1的度数是（  ）

A．14° ．15° ．16° ．17°

6．如图，，，平分，则的度数等于（　　）．

A．26° ．52° ．54° ．77°

7．如图，已知AB∥CD∥EF，则∠、∠、∠三者之间的关系是(      )

A．° ．°

C．° ．

8．如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（    ）

A．102° ．108° ．124° ．128°

9．如图所示，直线截直线，，给出下列以下条件：

①；②；③；④．

其中能够说明a∥b的条件有

A．个 ．个 ．个 ．个

10．下列命题中，其逆命题为真命题的是（　　）

A．若a＝b，则a2＝b2 ．同位角相等

C．两边和一角对应相等的两个三角形全等 ．等腰三角形两底角不相等

二、填空题

11．如图，已知AB、CD相交于点O,OE⊥AB于O，∠EOC=28°，则∠AOD=_____度；

12．平面内不过同一点的条直线两两相交，它们交点个数记作，并且规定，则__________，____________．

13．如图，平分平分，则 ______ ．

14．与的两边互相垂直，且，则的度数为_________.

15．如图，图①是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图②，则图②中的∠CFG的度数是_____________．

16．两个角的两边分别平行,一个角是50°,那么另一个角是__________.

17．如图，已知EF∥GH，A、D为GH上的两点，M、B为EF上的两点，延长AM于点C，AB平分∠DAC，直线DB平分∠FBC，若∠ACB=100°，则∠DBA的度数为________．

18．如图所示，AB∥CD，EC⊥CD．若∠BEC＝30°，则∠ABE的度数为_____．

19．如图，直线，直角三角板的直角顶点落在直线上，若，则等于_______．

20．如图，直角△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则内部五个小直角三角形的周长为_____．

三、解答题

21．感知与填空:如图①，直线，求证:.

阅读下面的解答过程，并填上适当的理由，

解:过点作直线,

（              ）

(已知)，,

（              ）

（              ）

,

（              ）

应用与拓展:如图②，直线，若.

则          度

方法与实践:如图③，直线，若,则            度.

22．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度数．

小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°．

问题迁移：

(1)如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；

(2)在(1)的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合)，请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．

23．(1)如图1，已知任意，过点作，求证：；

(2)如图2，求证：∠AGF=∠AEF+∠F；

(3)如图3，交的角平分线于点，求的度数．

24．如图1，直线分别交于点与的角平分线交于点与交于点交于．

（1）求证：

（2）如图2，连接为上一动点，平分交于则的大小是否发生变化？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．

25．课题学习：平行线的“等角转化”功能．

阅读理解：

如图1，已知点是外一点，连接，，求的度数．

（1）阅读并补充下面推理过程． 

解：过点作

，__________．

__________

解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．

方法运用：

（2）如图2，已知，试说明：（提示：过点做）．

深化拓展：

（3）已知，点在点的右侧，．平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间．

①如图3，点在点的左侧，若，则的度数为________．

②如图4，点在点的右侧，且，．若，则的度数为________．（用含的代数式表示）

26．问题情境：如图1，，，，求的度数．小明的思路是过点作，通过平行线性质来求．

（1）按照小明的思路，写出推算过程，求的度数．

（2）问题迁移：如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由．

（3）在（2）的条件下，当点在线段上时，请直接写出与、之间的数量关系．

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．D

解析：D

【分析】

根据平行线之间的距离及三角形的面积即可得出答案．

【详解】

解：∵A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n，

根据平行线之间的距离相等可得：△ABC与△PBC是同底等高的三角形，

故△ABC的面积等于△PBC的面积．

故选D．

【点睛】

本题考查平行线之间的距离；三角形的面积．

2．A

解析：A

【分析】

先根据∠CED=50°，DE∥AF，即可得到∠CAF=50°，即可得出∠CFA的大小．

【详解】

解：∵DE∥AF，∠CED=50°，

∴∠CAF=∠CED=50°，

∴∠CFA=90°-50°=40°，

故选：A．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质的运用，解题解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等．

3．B

解析：B

【解析】

试题分析：如图，过点A作AB∥b，∴∠3=∠1=58°，∵∠3+∠4=90°，∴∠4=90°﹣∠3=32°，∵a∥b，AB∥B，∴AB∥b，∴∠2=∠4=32°，故选B．

考点：平行线的性质．

4．B

解析：B

【解析】

试题分析：如图，首先根据平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补），可求∠4=56°，然后借助平角的定义求得∠3=180°-∠2-∠4=36°.

故选B

考点：平行线的性质

5．C

解析：C

【分析】

依据∠ABC=60°，∠2=44°，即可得到∠EBC=16°，再根据BE∥CD，即可得出∠1=∠EBC=16°．

【详解】

如图，

∵∠ABC=60°，∠2=44°，

∴∠EBC=16°，

∵BE∥CD，

∴∠1=∠EBC=16°，

故选C．

【点睛】

考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．

6．B

解析：B

【分析】

根据平行线的性质可得 ,再根据角平分线的性质可得,因此可计算的的度数.

【详解】

解：∵，

∴，

∴，

∵平分，

∴，

∵，

∴．

故选B．

【点睛】

本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质.平行线的性质 1.两直线平行，同位角相等；2.两直线平行，内错角相等；3.两直线平行，同旁内角互补. 角平分线的性质: 角平分线可以得到两个相等的角.

7．B

解析：B

【分析】

根据平行线的性质可得∠CEF=180°-y，x=z+∠CEF，利用等量代换可得x=z+180°-y，再变形即可．

【详解】

解：∵CD∥EF，

∴∠C+∠CEF=180°，

∴∠CEF=180°-y，

∵AB∥CD，

∴x=z+∠CEF，

∴x=z+180°-y，

∴x+y-z=180°，

故选：B．

8．A

解析：A

【解析】

【分析】

先由矩形的性质得出∠BFE=∠DEF=26°，再根据折叠的性质得出∠CFG=180°-2∠BFE，∠CFE=∠CFG-∠EFG即可．

【详解】

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠BFE=∠DEF=26°，

∴∠CFE=∠CFG-∠EFG=180°-2∠BFE-∠EFG=180°-3×26°=102°，

故选：A．

【点睛】

本题考查了翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、平行线的性质；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．

9．D

解析：D

【解析】

根据平行线的判定，由题意知：

①∵，，

∴，

∴，故①对．

②∵，，

∴，

∴，故②对．

③∵，

∴，故③对．

④∵，，

∴，

∴，故④对．

故选D.

点睛：此题主要考查了平行线的判定，关键是利用图形中的条件和已知的条件，构造两直线平行的条件.

平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.

10．C

解析：C

【分析】

根据互为逆命题的关系，将四个选项的题设和结论互换，逐一验证，A是假命题，B是假命题，C是真命题，D是假命题.故答案为C.

【详解】

根据互为逆命题的关系，题设和结论互换，可知：

A选项中，若a=b，则a2＝b2的逆命题为：若a2＝b2，则a=b，是假命题；

B选项中，同位角相等的逆命题为：相等的角是同位角，是假命题；

C选项中，两边和一角对应相等的两个三角形全等的逆命题是：全等三角形的对应边相等，对应角相等，是真命题；

D选项中，等腰三角形的两底角不相等的逆命题为：两个角不相等的三角形是等腰三角形，是假命题.

故选C.

【点睛】

此题主要考查互为逆命题的关系，三角形的性质定理，熟练掌握即可得解.

二、填空题

11．62

【详解】

∵，

∴∠BOC=90°-28°=62°

∵∠BOC=∠AOD

∴∠AOD=62°.

解析：62

【详解】

∵，，

∴∠BOC=90°-28°=62°

∵∠BOC=∠AOD

∴∠AOD=62°.

12．【分析】

条直线相交只有一个交点，条直线相交，交点数是，条直线相交，交点数是，即，可写出， 的解.

【详解】

解：求平面内不过同一点的条直线两两相交的交点个数，可由简入繁，

当2条直线相交时，交点

解析：

【分析】

条直线相交只有一个交点，条直线相交，交点数是，条直线相交，交点数是，即，可写出， 的解.

【详解】

解：求平面内不过同一点的条直线两两相交的交点个数，可由简入繁，

当2条直线相交时，交点数只有一个；

当3条直线相交时，交点数为两条时的数量第3条直线与前两条的交点2个，即交点数是；

同理，可以推导当n条直线相交时，交点数是，即

，

，

，

本题的答案为：1，.

【点睛】

本题考查了平面内直线两两相交交点数的计算，涉及到一种很重要的数学方法数学归纳法的初步应用接触，此方法在推导证明中比较常用.

13．【解析】

【分析】

首先过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，由AB∥CD，即可得EM∥AB∥CD∥FN，然后根据两直线平行，同旁内角互补，由∠BED=110°，即可求得∠ABE+∠CDE=25

解析：

【解析】

【分析】

首先过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，由AB∥CD，即可得EM∥AB∥CD∥FN，然后根据两直线平行，同旁内角互补，由∠BED=110°，即可求得∠ABE+∠CDE=250°，又由BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，根据角平分线的性质，即可求得∠ABF+∠CDF的度数，又由两只线平行，内错角相等，即可求得∠BFD的度数．

【详解】

过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，

∵AB∥CD，

∴EM∥AB∥CD∥FN，

∴∠ABE+∠BEM=180°，∠CDE+∠DEM=180°，

∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°，

∵∠BED=110°，

∴∠ABE+∠CDE=250°，

∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，

∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，

∴∠ABF+∠CDF=（∠ABE+∠CDE）=125°，

∵∠DFN=∠CDF，∠BFN=∠ABF，

∴∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF=125°．

故答案为125°

【点睛】

此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．

14．130°或50°

【解析】

【分析】作图分析，若两个角的边互相垂直，那么这两个角必相等或互补，可据此解答．

【详解】如图∵β的两边与α的两边分别垂直，

∴α+β=180°

故β=130°，

在上述情

解析：130°或50°

【解析】

【分析】作图分析，若两个角的边互相垂直，那么这两个角必相等或互补，可据此解答．

【详解】如图∵β的两边与α的两边分别垂直，

∴α+β=180°

故β=130°，

在上述情况下，若反向延长∠β的一边，那么∠β的补角的两边也与∠α的两边互相垂直，故此时∠β=50；

综上可知：∠β=50°或130°，

故正确答案为：

【点睛】本题考核知识点：四边形内角和. 解题关键点：根据题意画出图形，分析边垂直的2种可能情况.

15．130°

【解析】

∵AD∥BC，∠DEF=25°，

∴∠BFE=∠DEF=25°，

∴∠EFC=155°，

∴∠CFG=155°-25°=130°．

故答案为130°．

点睛：本题主要是根据折叠能

解析：130°

【解析】

∵AD∥BC，∠DEF=25°，

∴∠BFE=∠DEF=25°，

∴∠EFC=155°，

∴∠CFG=155°-25°=130°．

故答案为130°．

点睛：本题主要是根据折叠能够发现相等的角，同时运用了平行线的性质．

16．130°或50°

【解析】由两个角的两边分别平行，可得这两个角互补或相等，再根据一个角是50°，即可求得答案．

解：∵两个角的两边分别平行，

∴这两个角互补或相等，

∵一个角是50°，

∴另一个角是

解析：130°或50°

【解析】由两个角的两边分别平行，可得这两个角互补或相等，再根据一个角是50°，即可求得答案．

解：∵两个角的两边分别平行，

∴这两个角互补或相等，

∵一个角是50°，

∴另一个角是130°或50°．

故答案为：130°或50°．

17．50°

【解析】

解：如图，设∠DAB=∠BAC=x，即∠1=∠2=x．∵EF∥GH，∴∠2=∠3．在△ABC内，∠4=180°﹣∠ACB﹣∠1﹣∠3=180°﹣∠ACB﹣2x=80°﹣2x．∵直线

解析：50°

【解析】

解：如图，设∠DAB=∠BAC=x，即∠1=∠2=x．∵EF∥GH，∴∠2=∠3．在△ABC内，∠4=180°﹣∠ACB﹣∠1﹣∠3=180°﹣∠ACB﹣2x=80°﹣2x．∵直线BD平分∠FBC，∴∠5=（180°﹣∠4）=（180°﹣80°+2x）=50°+x，∴∠DBA=180°﹣∠3﹣∠4﹣∠5

=180°﹣x﹣（80°﹣2x）﹣（50°+x）

=180°﹣x﹣80°+2x﹣50°﹣x

=50°．

故答案为50°．

点睛：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并理清图中各角度之间的关系是解题的关键．

18．120°．

【分析】

先根据平行线的性质，得到∠GEC=90°，再根据垂线的定义以及平行线的性质进行计算即可．

【详解】

过点E作EG∥AB，则EG∥CD，

由平行线的性质可得∠GEC=90°，

解析：120°．

【分析】

先根据平行线的性质，得到∠GEC=90°，再根据垂线的定义以及平行线的性质进行计算即可．

【详解】

过点E作EG∥AB，则EG∥CD，

由平行线的性质可得∠GEC=90°，

所以∠GEB=90°﹣30°=60°，

因为EG∥AB，

所以∠ABE=180°﹣60°=120°．

故答案为：120°．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质和垂直的概念等，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．

19．【分析】

如图，利用平行线的性质得出∠3=35°，然后进一步得出∠4的度数，从而再次利用平行线性质得出答案即可.

【详解】

如图所示，

∵，

∴，

∴∠4=90°−∠3=55°，

∵，

∴∠2

解析：

【分析】

如图，利用平行线的性质得出∠3=35°，然后进一步得出∠4的度数，从而再次利用平行线性质得出答案即可.

【详解】

如图所示，

∵，，

∴，

∴∠4=90°−∠3=55°，

∵，

∴∠2=∠4=55°.

故答案为：55°.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.

20．12

【解析】

分析：由图形可知，内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长．

详解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的

解析：12

【解析】

分析：由图形可知，内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长．

详解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，

故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB=12．

故答案为12．

点睛：本题主要考查了平移的性质，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变．

三、解答题

21．两直线平行，内错角相等；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；82；20

【分析】

感知与填空：根据平行公理及平行线的性质即可填写；

应用与拓展：根据感知与填空的方法添加辅助线即可得到∠E+∠F=∠B+∠G+∠D，即可得到答案；

方法与实践：过点F作平行线，用同样的思路证明即可得到∠D的度数.

【详解】

感知与填空：

两直线平行，内错角相等；

如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；

两直线平行，内错角相等；

等量代换，

应用与拓展：如图，作GM∥AB， 

由感知得：∠E=∠B+∠EGM,

∵AB∥CD,GM∥AB,

∴GM∥CD,

∴∠F=∠D+∠FGM,

∴∠E+∠F=∠B+∠D+∠EGF,

∵,

∴∠E+∠F=,

故答案为：82.

方法与实践：如图：作FM∥AB，

∴∠MFB+∠B=,

∵,

∴∠MFB=-∠B=,

∵,

∴∠MFE=,

∵∠E=∠MFE+∠D, ,

∴∠D=,

故答案为：20.

【点睛】

此题考查平行公理的运用及平行线的性质定理，解此题的关键是理解感知部分的作线方法，得到的方法的总结，由此才能正确解答后面的问题.

22．（1），理由见解析；

（2）当点P在B、O两点之间时，； 

当点P在射线AM上时，.

【分析】

（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；

（2）分两种情况：①点P在A、M两点之间，②点P在B、O两点之间，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出结论．

【详解】

解：(1)∠CPD＝∠α＋∠β，理由如下：

如图，过P作PE∥AD交CD于E.

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，

∴∠CPD＝∠DPE＋∠CPE＝∠α＋∠β.

(2)当点P在A、M两点之间时，∠CPD＝∠β－∠α.

理由：如图，过P作PE∥AD交CD于E.

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，

∴∠CPD＝∠CPE－∠DPE＝∠β－∠α；

当点P在B、O两点之间时，∠CPD＝∠α－∠β.

理由：如图，过P作PE∥AD交CD于E.

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，

∴∠CPD＝∠DPE－∠CPE＝∠α－∠β.

【点睛】

本题考查了平行线的性质的运用，主要考核了学生的推理能力，解决问题的关键是作平行线构造内错角，利用平行线的性质进行推导．解题时注意：问题（2）也可以运用三角形外角性质来解决．

23．（1）见详解；（2）见详解；（3）29.5°．

【分析】

（1）根据平行线的性即可，，再根据平角的定义进行等量代换即可证明；

（2）因为根据平角的定义和三角形的内角和定理即可得到结论； 

（3）根据平行线的性质得到，，由角平分线的性质得到，根据三角形的外角的性质即可得到结论．

【详解】

（1）如图1所示，在中，，

，．

，

．

即三角形的内角和为；

（2），

由（1）知，，

；

（3），，

，，

∵平分，

，

，

，，

．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理的证明与应用，三角形外角定理证明与应用，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键，此类题目每一步都为后续解题提供了解题条件或方法．

24．（1）详见解析；（2）的大小不发生变化，一直是．

【分析】

（1）利用平行线的性质推知；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得，即，故结合已知条件，易证；

（2）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得的大小不变，是定值．

【详解】

解：（1）证明：如图1，

，

．

又与的角平分线交于点，

，

，即．

，

；

（2）的大小不发生变化，理由如下：

如图2，，

．

又，

．

．

平分，

．

∴，

∴的大小不发生变化，一直是．

【点睛】

本题主要考查平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补，④，．

25．（1）∠DAC;（2）见解析（3）①65②215°−n

【分析】

（1）根据平行线的性质即可得到结论；

（2）过C作CF∥AB根据平行线的性质得到∠D+∠FCD=180°，∠B＝∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论； 

（3）①过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数；

②∠BED的度数改变．过点E作EF∥AB，先由角平分线的定义可得：∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝35°，然后根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可得：∠BEF＝180°−∠ABE＝180°−n°，∠CDE＝∠DEF＝35°，进而可求∠BED＝∠BEF＋∠DEF＝180°−n°＋35°＝215°−n°．

【详解】

（1）过点作

，∠DAC．

故答案为：∠DAC;；

（2）如图2，过C作CF∥AB，

∵AB∥DE，

∴CF∥DE，

∴∠D+∠FCD=180°，

∵CF∥AB，

∴∠B＝∠BCF，

∵=∠FCD+∠BCF，

∴=；

即；

（3）①如图3，过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，

∴∠ABE＝∠ABC＝30°，∠CDE＝∠ADC＝35°，

∴∠BED＝∠BEF＋∠DEF＝30°＋35°＝65°； 

故答案为：65；

②如图4，过点E作EF∥AB，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝70°

∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝35°

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠BEF＝180°−∠ABE＝180°−n°，∠CDE＝∠DEF＝35°，

∴∠BED＝∠BEF＋∠DEF＝180°−n°＋35°＝215°−n°．

故答案为：215°−n．

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行推算．

26．（1）108°；（2）∠APC=α+β，理由见解析；（3）∠APC=β-α．

【分析】

（1）过P作PE∥AB，先推出PE∥AB∥CD，再通过平行线性质可求出∠APC；

（2）过P作PE∥AB交AC于E，先推出AB∥PE∥DC，然后根据平行线的性质得出α=∠APE，β=∠CPE，即可得出答案；

（3）过点P作PE∥AB交OA于点E，同（2）中方法根据平行线的性质得出α=∠APE，β=∠CPE，即可得出答案．

【详解】

解：（1）过点P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD，

∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，

∵∠PAB=128°，∠PCD=124°，

∴∠APE=52°，∠CPE=56°，

∴∠APC=∠APE+∠CPE=108°；

（2）∠APC=α+β．理由如下：

如图2，过P作PE∥AB交AC于E，

∵AB∥CD，

∴AB∥PE∥CD，

∴α=∠APE，β=∠CPE，

∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β；

（3）∠APC=β-α．理由如下：

过点P作PE∥AB交OA于点E，

同（2）可得，α=∠APE，β=∠CPE，

∴∠APC=∠CPE-∠APE=β-α．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质与平行公理，解题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质解决问题．