河南省郑州市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试卷

河南省郑州市2018-2019学年高一上学期期末考试

数学考试题

注意事项：

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,考试时间120分钟,满分150分,考生应先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效,交卷时，只交答题卡。

第Ⅰ卷(选择题,共60分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.集合{x,y}的子集个数是（   ）

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

【答案】D

【解析】

【分析】

根据集合子集的定义，即可得到子集个数。

【详解】集合的子集有,共有4个

故选

【点睛】本题主要考查了集合的子集个数问题，当集合内有个元素时子集个数为个

2.直线y=x+1与直线y=-x+1的交点坐标是（   ）

A. （0,0）    B. (1,1)    C. (0,1)    D. (1,0)

【答案】C

【解析】

【分析】

联立直线方程即可求得交点坐标

【详解】联立，解得

则直线与直线的交点坐标是(0,1)

故选C

【点睛】本题主要考查了直线交点坐标，只需联立直线方程即可得到结果，本题属于基础题。

3.已知a= log5，b=（）-1，c=log54,则（   ）

A. a【答案】B

【解析】

【分析】

由对数函数的单调性判定的大小，然后再求出的值进行判定

【详解】为增函数

，

则

即

,

，

故选B

【点睛】本题考查了对数、幂的大小比较，依据函数的单调性和求出具体数值进行比较大小，较为简单，属于基础题。

4.下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递减的是（   ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】A

【解析】

【分析】

运用函数的奇偶性和单调性对每个选项进行判断

【详解】对于A中，，，且时，函数单调递减，

对于B，为奇函数，故排除

对于C，为奇函数，故排除

对于D，为非奇非偶函数，故排除

故选A

【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的判断，运用函数奇偶性、单调性的定义即可判断出结果，较为基础

5.已知m,n是两条不同直线,α，β，γ是三个不同平面,则下列命题正确的是（   ）

A. 若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ

B. 若m∥α，n∥α,则m∥n

C. 若m∥α，m∥β,则α∥β

D. 若m⊥α，m⊥β，则a∥β

【答案】D

【解析】

【分析】

运用线面、面面的位置关系对四个选项进行判断

【详解】对于A，若，则或，故错误

对于B，,则m∥n或m与n异面，故错误

对于C, ,则或，故C错误

对于D，若，则，故正确

故选D

【点睛】本题主要考查了线面、面面的位置关系，在判断时只要举出反例即可作出判断，掌握基础知识是关键，本题属于基础题。

6.三棱锥A一BCD的六条棱所在直线成异面直线的有（ ）

A. 3对    B. 4对    C. 5对    D. 6对

【答案】A

【解析】

【分析】

由三棱锥的图形即可判定出结果

【详解】如图：

三棱锥中六条棱所在直线成异面直线的有AB与CD，AC与BD，AD与BC共3对

故选A

【点睛】本题主要考查了三棱锥的六条棱所在直线存在多少对异面直线，结合异面直线的定义即可判断出结果，较为简单

7.下列关于集合的命题正确的有（   ）

①很小的整数可以构成集合

②集合{y|y=2x2+1}与集合{(x,y) |y=2x2+1}是同一个集合;

③l，2，|-|，0.5，这些数组成的集合有5个元素

④空集是任何集合的子集

A. 0个    B. 1个    C. 2个    D. 3个

【答案】B

【解析】

【分析】

运用集合元素的性质和空集的知识来判断命题

【详解】①很小的整数可以构成集合是错误的，不满足元素确定性，故错误

②集合为，需要求出函数的值域，而表示的集合为函数图象上的点，所以不是同一集合，故错误

③l，2，，0.5，这些数组成的集合有3个元素，而不是5个元素，故错误

④空集是任何集合的子集正确

综上只有1个命题正确，故选

【点睛】本题考查了集合元素的性质、集合相等和空集等知识，较为基础

8.已知A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)是△ABC的三个顶点,则△ABC的形状是（   ）

A. 等腰直角三角形    B. 等腰三角形

C. 直角三角形    D. 等边三角形

【答案】A

【解析】

【分析】

分别计算出三角形三条边的长度，然后判断三角形形状

【详解】由题意可得

,

,

为等腰直角三角形

故选A

【点睛】本题主要考查了空间内三角形的形状，只需计算出三条边的长度即可判断，较为简单

9.数学家默拉在1765年提出定理，三角形的外心,重心,垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点重心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线,已知△ABC的顶点B(-1,0),C(0,2),AB=AC,则△ABC的欧拉线方程为（   ）

A. 2x-4y-3=0    B. 2x+4y+3=0

C. 4x-2y-3=0    D. 2x+4y-3=0

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意计算出线段的垂直平分线

【详解】,

则中点坐标为

,

则BC的垂直平分线方程为

,

,

即,

，

的外心，重心，垂心，都在线段BC的垂直平分线上

的欧拉线方程为

故选D

【点睛】本题为求三角形的欧拉线，结合题意计算出等腰三角形底边上的垂直平分线，较为简单

10.函数f(x)=()x-x+1的零点所在的一个区间是（   ）

A. (-1,0)    B. (0,1)    C. (1,2)    D. (2,3)

【答案】C

【解析】

【分析】

运用函数零点存在性定理进行判断零点所在区间

【详解】函数

由零点定理可得零点在区间（1，2）内

故选C

【点睛】本题要求函数零点所在区间，运用零点存在性定理即可计算出结果

11.如图是某几何体的三视图,图中方格的单位长度为1,则该几何体的表面积为（   ）

A. 16    B. 8+4    C. 8+4    D. 12+4

【答案】C

【解析】

【分析】

由三视图先还原几何体，然后计算出几何体的表面积

【详解】由三视图还原几何体如图：

可得三棱锥

计算可得

,

,

,

为等腰三角形，高为，

,

则几何体表面积为

故选C

【点睛】本题考查了由三视图还原几何体并求出几何体的表面积，解题关键是还原几何体，属于中档题

12.已知函数f(x)=在[-k，k],(k>0)上的最大值与最小值分别为M和m,则M十m=（  ）

A. 4    B. 2    C. 1    D. 0

【答案】B

【解析】

【分析】

先考虑函数的奇偶性，然后构造，由为奇函数求出最大值与最小值的和

【详解】已知

则，函数在定义域内为非奇非偶函数

令

则

则在定义域内为奇函数

设的最大值为，则最小值为

则的最大值为

最小值为

则

故选B

【点睛】本题考查了函数的奇偶性，运用函数的性质求出最值，难点在于构造新函数是奇函数，需要多观察、思考，本题有一定难度

第Ⅱ卷(非选择题共90分)

二、填空题(每小题5分,共20分)

13.计算()-5+1g2+1g5=_____________

【答案】33

【解析】

【分析】

由对数运算、幂运算求出结果

【详解】

故答案为33

【点睛】本题考查了对数运算和幂运算，依据计算法则即可求出结果，较为简单

14.将圆的一般方程x2+y2-2x-5=0化为标准方程是_____

【答案】 

【解析】

【分析】

运用配方法将圆的一般方程转化为标准方程

【详解】,

,

即 

故圆的标准方程为

【点睛】本题考查了将圆的一般方程转化为标准方程，较为基础

15.正方形ABCD的边长为1,利用斜二测画法得到直观图A'B'CD',其周长等于___________

【答案】3

【解析】

【分析】

根据斜二测画法画出图形后求出周长

【详解】

如图，由斜二测画法可得正方形边长为1

则

则直观图的周长为

故周长为3

【点睛】本题考查了斜二测画法，画出图形即可求出其周长，较为简单

16.符号[x]表示不超过x的最大整数,如[e]=2,[π]=3,[-1.2]=-2,定义函数{x}=x-[x]给出下列四个结论：

①函数{x}的定义域是R,值域为[0,1]

②方程{x}=有无数个解;

③函数{x}是奇函数;

④函数{x}是增函数,

其中正确结论的序号是____(写出所有正确结论的序号)

【答案】②

【解析】

【分析】

利用的定义，结合函数的定义域、值域、奇偶性、单调性的定义进行判断

【详解】①函数的定义域是,但，其值域为，故错误

②由，可得，则……都是方程的解，故正确

③函数的定义域是,而，故函数不是奇函数，故错误

④由②可得，……当……时，函数的值都为，故不是增函数，故错误

综上，故正确的是②

【点睛】本题考查了新定义函数的性质，结合新函数定义，再运用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性的定义即可作出判断

三、解答题(本题共6小题,共70分)

17.已知两条直线l1：x+(1+a)y+a-1=0，l2：ax+2y+6=0.

(1)若l1∥l2,求a的值

(2)若ll⊥l2,求a的值

【答案】（1）； （2）.

【解析】

【分析】

⑴讨论斜率存在和斜率不存在两种情况，然后运用直线平行斜率的关系求出结果

⑵由直线垂直斜率相乘得，求出的值

【详解】当时，直线的斜率不存在，直线的斜率为，与既不平行，也不垂直

当时，直线的斜率为，直线的斜率为,

因为，所以，解得.

当时,直线 ，与平行

当时，直线与的方程都是此时两直线重合，

故. 

因为，所以，解得

经检验符合题意，故

【点睛】本题考查了两条直线平行和垂直求参量的值，运用直线平行和垂直斜率之间的关系即可计算出结果

18.已知集合A={x|1(1)求集合B，(CRA)∩B

(2)若A∩C=C,求实数m的取值范围

【答案】（1）； （2）.

【解析】

【分析】

⑴分别求出集合、集合，然后再求出集合的补集和交集

⑵由条件中可得，讨论和两种情况

【详解】（1）由得，所以. 

因为，，

所以. 

(2)因为，所以,分两种情况讨论，

当时，由，解得 

当时，由此不等式组无解，

故实数的取值范围是.

【点睛】本题考查了集合的交集、补集运算，在类似条件时将其转化为子集问题，不要漏掉空集情况，较为基础

19.已知圆M：x2+(y-1)2=16外有一点A(4，-2)，过点A作直线l。

(1)当直线l与圆M相切时,求直线l的方程;

(2)当直线l的倾斜角为135°时,求直线l被圆M所截得的弦长。

【答案】（1）或； （2）.

【解析】

【分析】

⑴讨论直线斜率不存在和斜率存在两种情况，运用圆心到直线距离等于半径求出直线方程

⑵由题意计算出直线方程，运用弦长公式求出弦长

【详解】（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足题意. 

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，

则，解得，

此时直线的方程为 

所以直线的方程为或

（2）当直线的倾斜角为时，

直线的方程为，

即 

圆心到直线的距离为. 

所以直线被圆所截得的弦长

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，当直线和圆相切时注意讨论直线斜率是否存在，计算弦长可运用公式得到结果

20.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=，AA1=.

（1）求证:直线A1B∥平面ACD1

（2）已知三棱锥D1一BCD的所有顶点在同一个球面上,求这个球的体积

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】

【分析】

⑴由线面平行的判定定理先证明，然后证得结果

⑵将三棱锥补全到长方体八个顶点在同一球面，则长方体体对角线等于外接球的直径，然后计算球的体积

【详解】（1）在长方体中，因为，，

所以四边形是平行四边形，.

又， 

所以直线平面 

（2）因为三棱锥的所有顶点所在的球面与长方体的八个顶点所在的球面相同， 

这个球的直径，半径. 

所以所求球的体积为

【点睛】本题考查了立体几何中线面平行的证明，只需运用其判定定理即可证得结果，在求三棱锥外接球的体积时将其转化为长方体外接球问题，需要掌握解题方法

21.某服装批发市场销售季节性流行服装F，当季节即将来临时,价格呈上升趋势,开始时每件定价为120元,并且每周(7天)每件涨价10元（第1周每件定价为120元，第2周每件定价为130元),4周后开始保持每件160元的价格销售；8周后当季节即将过去时,平均每周每件降价10元,直到第12周末,该服装不再销售。

(1)试建立每件售价A与周次t之间的函数关系式;

(2)若此服装每件进价B与周次t之间的关系式为，问该服装第几周每件销售利润R最大?并求出最大值,(注:每件销售利润=售价一进价)

【答案】（1）； （2）该服装第5,6,7,8周每件销售利润最大，最大值是56元.

【解析】

【分析】

⑴根据题意分别计算出三个不同时间段的售价与周次之间的函数关系

⑵分别计算不同时间段的最大利润然后比较得到最大值

【详解】（1）根据题意计算得：

当时，；当时，；当时，

故. 

（2）因为每件销售利润=售价进价，所以，

当时，，时，. 

当时， 

当时，，时，. 

故该服装第5,6,7,8周每件销售利润最大，最大值是56元.

【点睛】本题考查了运用分段函数解决利润问题，在求解过程中注意分类讨论，在求利润最大值时分别求出每种情况的最值然后得到结果

22.设函数f(x)=2kx2+x(k为实常数)为奇函数，函数g(x)=af(x)+1(a>0,且a≠1)

（1）求k的值

（2）求函数g(x)在[一2,1]上的最大值和最小值;

（3）当a=2时,g(x)≤-2mt+3对所有的x∈[-1,0]及m∈[-1,1]恒成立,求实数t的取值范围

【答案】（1）； （2）最大值，最小值； （3） .

【解析】

【分析】

⑴由奇函数定义代入求出的值

⑵由⑴得，讨论的取值，判断函数的单调性然后求出最值

⑶代入，由题意中恒成立计算出的最大值，得到关于的不等式，然后求出的取值范围

【详解】（1）因为数(为实常数)为奇函数，

所以，即，所以k=0 

（2）.

当时，在上是增函数，

的最大值，的最小值.

当时，在上是减函数，

的最大值，的最小值. 

（3）当时，在上是增函数，. 

所以，即对所有的恒成立. 

令，则即解得，

实数的取值范围是.

【点睛】本题考查了由函数奇偶性求参量的值、函数单调性求最值和恒成立问题，在求恒成立问题时注意条件的转化即解答最值问题，得到新不等式，然后求出结果，本题较为综合.