2016届河南省中原名校联盟高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(解析版)

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知全集U=R，集合A={x|lgx≤0}，B={x|2x≤}，则A∩B=（　　）

A．（﹣∞，1]B．（0，]C．[，1]D．∅

2．若复数的实部与虚部相等，则实数a=（　　）

A．﹣1B．1C．﹣2D．2

3．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相同），用回归直线=bx+a近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（　　）

A．线性相关关系较强，b的值为1.25

B．线性相关关系较强，b的值为0.83

C．线性相关关系较强，b的值为﹣0.87

D．线性相关关系太弱，无研究价值

4．某个几何体的三视图如图（其中正视图中的圆弧是半圆）所示，则该几何体的表面积为（　　）

A．92+24πB．82+14πC．92+14πD．82+24π

5．下列命题中错误的是（　　）

A．命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则x2﹣5x+6≠0”

B．若x，y∈R，则“x=y”是成立的充要条件

C．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q必一真一假

D．对命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，则x2+x+1≥0

6．阅读如图所示的程序框图，输出结果s的值为（　　）

A． B． C． D．

7．点A（1，2）在抛物线y2=2px上，抛物线的焦点为F，直线AF与抛物线的另一交点为B，则|AB|=（　　）

A．2B．3C．4D．6

8．已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组，设与的夹角为θ，则tanθ的最大值为（　　）

A． B． C． D．

9．己知角φ的终边经过点P（5，﹣12），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），满足对任意的x，存在x1，x2使得f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，且|x1﹣x2|的最小值为，则f（）的值为（　　）

A． B．﹣C． D．﹣

10．设点P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率（　　）

A． B． C． D．

11．如果对定义在R上的函数f（x），对任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数：

①y=﹣x3+x+1；

②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；

③y=ex+1；

④f（x）=．

其中函数式“H函数”的个数是（　　）

A．4B．3C．2D．1

12．已知函数f（x）=ex﹣ax有两个零点x1＜x2，则下列说法错误的是（　　）

A．a＞eB．x1+x2＞2

C．x1x2＞1D．有极小值点x0，且x1+x2＜2x0

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）

13．已知与为两个不共线的单位向量，k为实数，若+与k﹣垂直，则k=　　　　　　．

14．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=ex+x2+1，则函数h（x）=2f（x）﹣g（x）在点（0，h（0））处的切线方程是　　　　　　．

15．已知函数f（x）=的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是　　　　　　．

16．已知直角△ABC的两直角边AB、AC的边长分别为方程x2﹣2（1+）x+4=0的两根，且AB＜AC，斜边BC上有异于端点B、C的两点E、F，且EF=1，设∠EAF=θ，则tanθ的取值范围为　　　　　　．

三、解答题（本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）

17．已知数列{an}和{bn}满足a1=2，b1=1，2an+1=an，b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1（n∈N*）．

（1）求an与bn；

（2）记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn．

18．如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，PD⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2a，DA=，E为BC中点．

（1）求证：平面PBC⊥平面PDE；

（2）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由．

19．在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：

表1：男生                    表2：女生

（2）由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．

K2=，其中n=a+b+c+d．

临界值表：

（1）求椭圆C的方程；

（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P，过F1作PF1的垂直于直线l交于点Q，求证：点Q在定直线上，并求出定直线的方程．

21．已知函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）设g（x）=f（x）+2alnx，且g（x）有两个极值点xl，x2，其中x1∈（0，e]，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．

【选做题】请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．【选修4-1：几何证明选讲】

22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．

（Ⅰ）证明：∠D=∠E；

（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．

【选修4-4：坐标系与参数方程】

23．选修4﹣4：极坐标与参数方程

极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线，与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D．

（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；

（Ⅱ）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．

【选修4-5：不等式选讲】

24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．

（1）若不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，求实数a的值；

（2）在（1）的条件下，若存在实数n，使得f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．

2016年河南省中原名校联盟高考数学模拟试卷（文科）（4月份）

参与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知全集U=R，集合A={x|lgx≤0}，B={x|2x≤}，则A∩B=（　　）

A．（﹣∞，1]B．（0，]C．[，1]D．∅

【考点】交集及其运算．

【分析】先化简A，B，根据并集的运算即可得到结论．

【解答】解：由lgx≤0=lg1，

∴0＜x≤1，

则A=（0，1]，

由2x≤=，

解得x≤，

则B=（0，]，

∴，

故选：B

2．若复数的实部与虚部相等，则实数a=（　　）

A．﹣1B．1C．﹣2D．2

【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数的除法运算法则把分子、分母分别乘以分母的共轭复数矩形化简，然后利用实部与虚部相等即可得出．

【解答】解：∵复数==的实部与虚部相等，

∴，解得a=﹣1．

故选A．

3．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相同），用回归直线=bx+a近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（　　）

A．线性相关关系较强，b的值为1.25

B．线性相关关系较强，b的值为0.83

C．线性相关关系较强，b的值为﹣0.87

D．线性相关关系太弱，无研究价值

【考点】散点图．

【分析】根据散点图中点的分布特点即可得到结论．

【解答】解：由散点图可得，点的分布比较集中在一条直线赋值，∴语文成绩和英语成绩之间具有线性相关关系，

且线性相关关系较强，由于所有的点都在直线y=x的下方，

∴回归直线的斜率小于1，

故结论最有可能成立的是B，

故选：B．

4．某个几何体的三视图如图（其中正视图中的圆弧是半圆）所示，则该几何体的表面积为（　　）

A．92+24πB．82+14πC．92+14πD．82+24π

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】几何体是半圆柱与长方体的组合体，根据三视图判断长方体的长、宽、高及半圆柱的半径和高，根据几何体的表面积S=S半圆柱侧+S长方体侧+S长方体底+2S半圆柱底，把数据代入面积公式计算．

【解答】解：由三视图知：几何体是半圆柱与长方体的组合体，

下面长方体的长、宽、高分别为4、5、4；

上面半圆柱的半径为2，高为5；

∴几何体的表面积S=S半圆柱侧+S长方体侧+S长方体底+2S半圆柱底=π×2×5+2×（4+5）×4+4×5+π×22=92+14π．

故选：C．

5．下列命题中错误的是（　　）

A．命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则x2﹣5x+6≠0”

B．若x，y∈R，则“x=y”是成立的充要条件

C．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q必一真一假

D．对命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，则x2+x+1≥0

【考点】复合命题的真假．

【分析】A命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”．可以判断出A的真假．B因为（x﹣y）2≤0⇔x=y，可判断出B的真假．

C．依据p∨q的真假判断规则：当p，q两个命题有一个是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题，据此可以判断出C的真假．D．“命题：∃x∈R，结论p成立”的否定是：“∀x∈R，结论p的反面成立”据此可以判断出D的真假．

【解答】解：A．据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”．由此可知：命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则x2﹣5x+6≠0”．

所以A是真命题．

B．由实数x，y满足⇔（x﹣y）2≤0⇔x=y，故当x，y∈R，则“x=y”是成立的充要条件．

C．我们知道：只有当p与q皆为假命题时，p∨q才为假命题，既然C中p∨q为假命题，则命题p与q都不可能是真命题，故C是假命题．

D．据特称命题的否定规则可知：命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p应是：∀x∈R，则x2+x+1≥0，故D正确．

故选C．

6．阅读如图所示的程序框图，输出结果s的值为（　　）

A． B． C． D．

【考点】程序框图．

【分析】由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，可知该程序经过四次循环，得到当n=5时不满足n≥4，输出最后的s=coscoscoscos，再用三角恒等变换进行化简整理，即可得到本题答案．

【解答】解：由题意，该程序按如下步骤运行

经过第一次循环得到s=cos，n=2，；经过第二次循环得到s=coscos，n=3；

经过第三次循环得到s=coscoscos，n=4；

经过第四次循环得到s=coscoscoscos，n=5

此时不满足n≥4，输出最后的s

因此，输出结果s=coscoscoscos=×

=×=×=×=

故选：C

7．点A（1，2）在抛物线y2=2px上，抛物线的焦点为F，直线AF与抛物线的另一交点为B，则|AB|=（　　）

A．2B．3C．4D．6

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】把A代入抛物线方程解出p得出抛物线方程，求出F，利用三点共线得出B点坐标，从而得出|AB|．

【解答】解：∵A（1，2）在y2=2px上，∴2p=4，即p=2．

∴抛物线方程为y2=4x．

∴F（1，0）

∵A，B，F三点共线，∴B（1，﹣2）．

∴|AB|=2p=4．

故选C．

8．已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组，设与的夹角为θ，则tanθ的最大值为（　　）

A． B． C． D．

【考点】简单线性规划．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合求出A，B的位置，利用向量的数量积求出夹角的余弦，即可得到结论．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，要使tanθ最大，

则由，得，即A（1，2），

由，得，即B（2，1），

∴此时夹角θ最大，

则，

则cosθ==，

∴sin，

此时tan=，

故选：C．

9．己知角φ的终边经过点P（5，﹣12），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），满足对任意的x，存在x1，x2使得f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，且|x1﹣x2|的最小值为，则f（）的值为（　　）

A． B．﹣C． D．﹣

【考点】正弦函数的图象．

【分析】利用任意角的三角函数的定义求得sinφ的值，利用正弦函数的图象的特征求得ω，再利用诱导公式求得f（）的值．

【解答】解：∵角φ的终边经过点P（5，﹣12），由三角函数定义知：，

由已知存在x1，x2使得f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，且|x1﹣x2|的最小值为，有 =，

∴ω=4，∴f（x）=sin（4x+φ），故f（）=sin（π+φ）=﹣sinφ=，

故选：C．

10．设点P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率（　　）

A． B． C． D．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】先由双曲线定义和已知求出两个焦半径的长，再由已知圆的半径为半焦距，知焦点三角形为直角三角形，从而由勾股定理得关于a、c的等式，求得离心率

【解答】解：依据双曲线的定义：|PF1|﹣|PF2|=2a，又∵|PF1|=3|PF2|，

∴|PF1|=3a，|PF2|=a，

∵圆x2+y2=a2+b2的半径=c，

∴F1F2是圆的直径，

∴∠F1PF2=90°

在直角三角形F1PF2中

由（3a）2+a2=（2c）2，得

故选 D

11．如果对定义在R上的函数f（x），对任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数：

①y=﹣x3+x+1；

②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；

③y=ex+1；

④f（x）=．

其中函数式“H函数”的个数是（　　）

A．4B．3C．2D．1

【考点】函数单调性的性质；函数的图象．

【分析】不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．

【解答】解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，

∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，

即函数f（x）是定义在R上的增函数．

①y=﹣x3+x+1；y'=﹣3x2+1，则函数在定义域上不单调．

②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；y'=3﹣2（cosx+sinx）=3﹣2sin（x+）＞0，函数单调递增，满足条件．

③y=ex+1为增函数，满足条件．

④f（x）=，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．

综上满足“H函数”的函数为②③，

故选C．

12．已知函数f（x）=ex﹣ax有两个零点x1＜x2，则下列说法错误的是（　　）

A．a＞eB．x1+x2＞2

C．x1x2＞1D．有极小值点x0，且x1+x2＜2x0

【考点】函数在某点取得极值的条件．

【分析】对四个选项分别进行判断，即可得出结论．

【解答】解：∵f（x）=ex﹣ax，

∴f′（x）=ex﹣a，令f′（x）=ex﹣a＞0，

①当a≤0时，f′（x）=ex﹣a＞0在x∈R上恒成立，

∴f（x）在R上单调递增．

②当a＞0时，∵f′（x）=ex﹣a＞0，∴ex﹣a＞0，解得x＞lna，

∴f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．

∵函数f（x）=ex﹣ax有两个零点x1＜x2，

∴f（lna）＜0，a＞0，

∴elna﹣alna＜0，

∴a＞e，A正确；

a=，f（2）=e2﹣2a=0，∴x2=2，f（0）=1＞0，∴0＜x1＜1，∴x1+x2＞2，正确；

f（0）=1＞0，∴0＜x1＜1，x1x2＞1，不正确；

f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增，∴有极小值点x0=lna，且x1+x2＜2x0=2lna，正确．

故选：C．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）

13．已知与为两个不共线的单位向量，k为实数，若+与k﹣垂直，则k=　1　．

【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．

【分析】由与为两个不共线的单位向量，k为实数，若+与k﹣垂直，知（+）•（k﹣）=0，故（k﹣1）（+1）=0，由此能求出k．

【解答】解：∵与为两个不共线的单位向量，k为实数，若+与k﹣垂直，

∴（+）•（k﹣）=0，

∴k﹣+﹣1=0，

∴（k﹣1）（+1）=0，

∵与为两个不共线的单位向量，

∴+1＞0，

∴k=1．

故答案为：1．

14．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=ex+x2+1，则函数h（x）=2f（x）﹣g（x）在点（0，h（0））处的切线方程是　x﹣y+4=0　．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】由题意可得f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x），将已知条件中的方程的x换为﹣x，解方程可得f（x），g（x）的解析式，求得h（x）的解析式和导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得所求切线的方程．

【解答】解：f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，

可得f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x），

由f（x）﹣g（x）=ex+x2+1，

可得f（﹣x）﹣g（﹣x）=e﹣x+x2+1，

即为f（x）+g（x）=e﹣x+x2+1，

解得，，

即有h（x）=2f（x）﹣g（x）=

=，

可得导数为，

即有在点（0，h（0））处的切线斜率为，

切点为（0，4），

则所求切线方程是x﹣y+4=0．

故答案为：x﹣y+4=0．

15．已知函数f（x）=的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是　　．

【考点】函数的值域．

【分析】根据函数f（x）的解析式容易判断f（x）在[﹣1，0）上单调递减，从而求出x∈[﹣1，0）时，0＜f（x）≤1，而当x∈[0，a]时，通过求导便可判断出f（x）在[0，1]上单调递减，在（1，a]上单调递增，且0≤x≤1时，0≤f（x）≤2，并能求出，从而便可根据f（x）的值域为[0，2]得出a的取值范围．

【解答】解：（1）﹣1≤x＜0时，f（x）=log2（1﹣x）为减函数；

∴f（0）＜f（x）≤f（﹣1）；

即0＜f（x）≤1；

（2）0≤x≤a时，f（x）=x3﹣3x+2，f′（x）=3（x2﹣1）；

∴x∈[0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，a]时，f′（x）＞0；

∴f（x）在[0，1]上单调递减，在（1，a]上单调递增，且x=1时取最小值0；

∴x∈[0，1]时，f（x）∈[0，2]；

∵f（x）的值域为[0，2]，且；

∴；

∴实数a的取值范围是．

故答案为：．

16．已知直角△ABC的两直角边AB、AC的边长分别为方程x2﹣2（1+）x+4=0的两根，且AB＜AC，斜边BC上有异于端点B、C的两点E、F，且EF=1，设∠EAF=θ，则tanθ的取值范围为　（，]　．

【考点】两角和与差的正切函数．

【分析】解方程可得AB=2，AC=2，建系可得A（0，0），B（2，0），C（0，2），设E（a，（2﹣a）），F（b，（2﹣b）），a＞b，＜a＜2，由EF=1可得b=a﹣，可得tan∠BAE=，tan∠BAF=，代入tanθ=tan（∠BAF﹣∠BAE）==，由＜a＜2和二次函数的性质可得答案．

【解答】解：解方程x2﹣2（1+）x+4=0结合AB＜AC可得AB=2，AC=2，

建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（2，0），C（0，2），

可得直线BC的方程为+=1，可得y=（2﹣x），

故设E（a，（2﹣a）），F（b，（2﹣b）），a＞b，＜a＜2

则由EF==2（a﹣b）=1，可得b=a﹣，

∴tan∠BAE=，tan∠BAF=，

∴tanθ=tan（∠BAF﹣∠BAE）=

===，

由＜a＜2和二次函数的性质可得t=4a2﹣14a+15∈[，9），

∴∈（，]，

故答案为：（，]．

三、解答题（本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）

17．已知数列{an}和{bn}满足a1=2，b1=1，2an+1=an，b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1（n∈N*）．

（1）求an与bn；

（2）记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn．

【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】（1）利用公式直接计算可知数列{an}的通项公式，通过作差可知=，进而可得bn=n；

（2）通过（1）可知anbn=n•，进而利用错位相减法计算即得结论．

【解答】解：（1）a1=2，2an+1=an得…

由题意知：

当n=1时，b1=b2﹣1，故b2=2，

当n≥2时，，即=，

由b1=1可知，bn=n；…

（2）由（1）知，anbn=n•，…

∴Tn=+2•+…+n•，，

两式相减得： Tn=+++…+﹣n•，…

=﹣n•，…

故Tn=8﹣．…

18．如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，PD⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2a，DA=，E为BC中点．

（1）求证：平面PBC⊥平面PDE；

（2）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由．

【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

【分析】（1）连接BD，便可得到BD=DC，而E又是BC中点，从而得到BC⊥DE，而由PD⊥平面ABCD便可得到BC⊥PD，从而得出BC⊥平面PDE，根据面面垂直的判定定理即可得出平面PBC⊥平面PDE；

（2）连接AC，交BD于O，根据相似三角形的比例关系即可得到AO=，从而在PC上找F，使得PF=，连接OF，从而可说明PA∥平面BDF，这样即找到了满足条件的F点．

【解答】解：（1）证明：连结BD，∠BAD=90°，；

∴BD=DC=2a，E为BC中点，∴BC⊥DE；

又PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD；

∴BC⊥PD，DE∩PD=D；

∴BC⊥平面PDE；

∵BC⊂平面PBC；

∴平面PBC⊥平面PDE；

（2）如上图，连结AC，交BD于O点，则：△AOB∽△COD；

∵DC=2AB；

∴；

∴；

∴在PC上取F，使；

连接OF，则OF∥PA，而OF⊂平面BDF，PA⊄平面BDF；

∴PA∥平面BDF．

19．在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：

表1：男生                    表2：女生

（2）由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．

K2=，其中n=a+b+c+d．

临界值表：

【分析】（1）由题意可得非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a，b，c，尚待改进的2人为A，B，则从这5人中任选2人的所有可能结果为10个，设事件C表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则C的结果为6个，根据概率公式即可求解．（2）由2×2列联表直接求解即可．

【解答】解：（1）设从高一年级男生中抽出m人，则=，m=25，

∴x=25﹣20=5，y=20﹣18=2，

表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a，b，c，尚待改进的2人为A，B，

则从这5人中任选2人的所有可能结果为：（a，b）（a，c）（b，c）（A，B）（a，A），（a，B），（b，A）（，b，B），（c，A）（c，B），共10种．

设事件C表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，

则C的结果为：（a，A），（a，B），（b，A）（，b，B），（c，A）（c，B），共6种． 

∴P（C）==，故所求概率为．   

∵1﹣0.9=0.1，p（k2＞2.706）=0.10，

而K2====1.125＜2.706，

所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．  

思路点拨（1）由题意可得非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a，b，c，尚待改进的2人为A，B，则从这5人中任选2人的所有可能结果为10个，设事件C表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则C的结果为6个，根据概率公式即可求解．（2）由2×2列联表直接求解即可．

20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点F1与抛物线y2=4x的焦点重合，原点到过点A（a，0），B（0，﹣b）的直线的距离是．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P，过F1作PF1的垂直于直线l交于点Q，求证：点Q在定直线上，并求出定直线的方程．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．

【分析】（1）由已恬条件得a2=b2+1，，由此能求出椭圆C的方程．

（2）由，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由直线与椭圆相切，得4k2﹣m2+3=0，由此能证明点Q在定直线x=4上．

【解答】（1）解：由于抛物线的y2=4x的焦点坐标为（1，0），∴c=1，

∴a2=b2+1，

∵顶点到直线AB：的距离d=，

∴a2=4，b2=3，

∴椭圆C的方程为．

（2）证明：由，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0（*）

由直线与椭圆相切得m≠0，且△=k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0，

整理，得4k2﹣m2+3=0，

将4k2+3=m2，m2﹣3=4k2代入（*）式得

m2x2+8kmx+16k2=0，即（mx+4k）2=0，解得x=﹣，

∴P（﹣，），又F1（1，0），∴==﹣，

∴=，∴直线F1Q的方程为：y=，

联立，得x=4，

∴点Q在定直线x=4上．

21．已知函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）设g（x）=f（x）+2alnx，且g（x）有两个极值点xl，x2，其中x1∈（0，e]，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

【分析】（1）求函数的定义域和导数，讨论a的取值范围，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．

（2）求出函数g（x）的表达式，求出函数g（x）的导数，利用函数极值，最值和导数之间的关系进行求解．

【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），

f′（x）=1+﹣=，

①当a≤0时，f′（x）≥0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，

②当a＞0时，由f′（x）=0，得x2﹣ax+1=0，

1）当判别式△=a2﹣4≤0时，即0＜a≤2时，f′（x）≥0恒成立，此时函数在（0，+∞）上是增函数，

2）当△=a2﹣4＞0时，即a＞0时，方程x2﹣ax+1=0的两个根x1=，x2=，

当x∈（0，）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）为增函数，

当x∈（，）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数，

当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）为增函数，

综上当a≤2时，f（x）的递增区间为（0，+∞），无递减区间．

当a＞2时，函数的递增区间为（0，），∈（，+∞），单调递减区间为（，）．

（2）由于g（x）=f（x）+2alnx=x﹣+alnx，其定义域为（0，+∞），

求导得，g′（x）=1++=，

若g′（x）=0两根分别为x1，x2，则有x1•x2=1，x1+x2=﹣a，

∴x2=，从而有a=﹣x1﹣，

则g（x1）﹣g（x2）=g（x1）﹣g（）=x1﹣+alnx1﹣（﹣x1+aln）=2（x1﹣）+2alnx1=2（x1﹣）﹣2（x1+）lnx1，

令h（x）=2（x﹣）﹣2（x+）lnx，x∈（0，e]，

则[g（x1）﹣g（x2）]min=h（x）min，

h′（x）=2（1+）﹣2[（1﹣）lnx+（x+）]=，

当x∈（0，1]时，h′（x）＜0，

∴h（x）在（0，1]上单调递减，

x∈（1，e]时，h′（x）＜0，

∴h（x）在（0，e]上单调递减，

则h（x）min=h（e）=﹣，

∴g（x1）﹣g（x2）的最小值为﹣．

【选做题】请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．【选修4-1：几何证明选讲】

22．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．

（Ⅰ）证明：∠D=∠E；

（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．

【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．

【分析】（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；

（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE为等边三角形．

【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠D=∠CBE，

∵CB=CE，

∴∠E=∠CBE，

∴∠D=∠E；

（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，

∴O在直线MN上，

∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，

∴OM⊥AD，

∴AD∥BC，

∴∠A=∠CBE，

∵∠CBE=∠E，

∴∠A=∠E，

由（Ⅰ）知，∠D=∠E，

∴△ADE为等边三角形．

【选修4-4：坐标系与参数方程】

23．选修4﹣4：极坐标与参数方程

极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线，与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D．

（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；

（Ⅱ）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．

【考点】点的极坐标和直角坐标的互化．

【分析】（Ⅰ）把C1、把C2的方程化为直角坐标方程，根据因为曲线C1关于曲线C2对称，可得直线y=a经过圆心（1，1），求得a=1，故C2的直角坐标方程．

（Ⅱ）由题意可得，；φ；； =2cos（+φ），再根据|OA|•|OC|+|OB|•|OD|=8sin（φ+）sinφ+8cos（+φ）cosφ=8cos，计算求得结果．

【解答】解：（Ⅰ）C1：即 ρ2=2ρ（sinθ+cosθ）=2ρsinθ+2ρcosθ，

化为直角坐标方程为 （x﹣1）2+（y﹣1）2=2．

把C2的方程化为直角坐标方程为 y=a，因为曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心（1，1），

解得a=1，故C2的直角坐标方程为 y=1．

（Ⅱ）由题意可得，；φ；； =2cos（+φ），

∴|OA|•|OC|+|OB|•|OD|=8sin（φ+）sinφ+8cos（+φ）cosφ=8cos[（+φ）﹣φ]=8×=4．

【选修4-5：不等式选讲】

24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．

（1）若不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，求实数a的值；

（2）在（1）的条件下，若存在实数n，使得f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．

【考点】绝对值不等式的解法．

【分析】（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，从而求得a的值；

（2）由题意可得|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m，将函数y=|2n﹣1|+|2n+1|+2，写成分段形式，求得y的最小值，从而求得m的范围．

【解答】解：（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，

∴，

解得a﹣3≤x≤3．

再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，

∴a=1．

（2）∵f（x）=|2x﹣1|+1，f（n）≤m﹣f（﹣n），

∴|2n﹣1|+1≤m﹣（|﹣2n﹣1|+1），

∴|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m，

∵y=|2n﹣1|+|2n+1|+2=，

∴ymin=4，

由存在实数n，使得f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，

∴m≥4，即m的范围是[4，+∞）．

2016年7月21日