北京四中2020-2021学年度第一学期七年级数学期中试题(含解析)

北京四中2020-2021学年度第一学期七年级数学期中试题

注意事项： 

1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考 

生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、 

姓名是否一致． 

2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字 

笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 

3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．

一、单选题（共10小题）.

1．2020年北京故宫迎来了600岁生日，系列展览与活动让故宫充分展示其深沉魅力．据不完全统计，今年“十一”双节期间故宫累计接待观众约为240000人次．将240000用科学记数法可表示为（    ）

A．    B．    C．    D．

2．－5的倒数是

A．    B．5    C．－    D．－5

3．下列各式结果为负数的是（  ）

A．﹣（﹣1）    B．（﹣1）4    C．﹣|﹣1|    D．|1﹣2|

4．下面合并同类项正确的是（  ）

A．3x+2x2＝5x3    B．2a2b﹣a2b＝1    C．﹣ab﹣ab＝0    D．﹣y2x+xy2＝0

5．下列各式去括号正确的是（    ）

A．    B．

C．    D．

6．有理数、、在数轴上的对应点的位置如图所示，若与互为相反数，则、、三个数中绝对值最大的数是（    ）

A．    B．    C．    D．无法确定

7．下列对使用四舍五入法得到的近似数描述正确的是（    ）

A．近似数5.1万精确到十分位

B．2.709的近似数是3

C．0.154精确到十分位为0.1

D．近似数精确到千位

8．若|a|=8，|b|=5，且a+b>0，那么a-b的值是（   ）

A．3或13    B．13或-13    C．3或-3    D．-3或-13

9．关于的方程是—元—次方程，则的值是（    ）

A．－1    B．1    C．1或－1    D．2

10．规定：，．例如，．下列结论中：①若，则；②若，则；③能使成立的的值不存在；④式子的最小值是7．其中正确的所有结论是（    ）

A．①②③    B．①②④    C．①③④    D．①②③④

二、填空题

11．如果水位升高3m时，水位变化记作，那么水位下降3m时，水位变化记作______

12．比较大小：-________-（填“<"或“>”）．

13．如图所示，上最高处是珠穆朗玛峰的峰顶，最低处位于亚洲西部名为死海的湖，两处高度相差是______米．

14．若，则的值为______．

15．下面的框图表示解方程的流程，其中第3步的依据是______．

16．如图，若开始输入的的值为正数，最后输出的结果为51，则满足条件的的值为______．

17．甲乙丙三个商店都在销售同一种排球，而且每个球的标价都是25元．但三个店的促销方式不一样：甲店的促销方式是每买十送二，乙店的促销方式是优惠16%，丙店的优惠方式是买球每满100元可返现金15元．学校准备买60个这种排球．你认为到______家商店买比较省钱，这时实际只需要付______元．

18．已知数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，化简的结果为______．

19．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是______天．

20．如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．

1

2    3    4

5    6    7    8    9

10    11    12    13    14    15    16

17    18    19    20    21    22    23    24    25

26    27    28    29    30    31    32    33    34    35    36

……………………………………

（1）表中第9行第7个数是______；

（2）2020是表中第______行第______个数．

21．（1）桌子上有5只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过次翻转可使这5只杯子的杯口全部朝下，则的最小值为______．

（2）桌子上有11只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过次翻转可使这11只杯子的杯口全部朝下，则的最小值为______．

22．如下表，从左向右依次在每个小格子中都填入一个有理数，使得其中任意四个相邻小格子中所填数之和都等于15．已知第3个数为7，第5个数为，第16个数为2，第78个数为，则的值为______，第2021个数为______．

7

23．天坛中的数学一瞥：天坛始建于明朝永乐十八年（1420年），明、清两代是帝王祭祀皇天、祈五谷丰登之场所．中和韶乐在中国古代的发生、发展、沉寂、经历了历代传承．随着对中国传统文化重新认识，中和韶乐逐渐复苏．自从2004年9月天坛神乐署修复完成，中和韶乐又一次展现在世人面前．中和韶乐主要是宫、商、角、徴、羽五声音阶的运用，在确定这五音的时候，中国古代最初由三分损益计算而来，从最初的一个音三分损一而得到第二个音，由第二个音三分益一得到第三个音，如此计算，得到宫商角徴羽五声音阶．例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为81，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为，能发出第三个基准音的乐器的长度为，（也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一）．那么第五个基准音的乐器的长度为______．假设能发出第一个基准音的乐器的长度为，那么能发出第四个基准音的乐器的长度是32，则的值是______．

三、解答题

24．计算

（1）

（2）

（3）

（4）

25．化简

（1）            （2）

26．解方程

（1）                    （2）

27．先化简，再求值：求代数式的值，其中，．

28．对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．根据上述规定解决下列问题：

（1）有理数对______；

（2）若有理数对，则______

（3）当满足等式的是整数时，求整数的值．

29．在数轴上，表示数的点到原点的距离．如果数轴上两个点、分别对应数、，那么、两点间的距离为：，这是绝对值的几何意义．已知如图，点在数轴上对应的数为－3，点对应的数为2．

（1）求线段的长．

（2）若点在数轴上对应的数为，且是方程的解，在数轴上是否存在点，使？若存在，求出点对应的数；若不存在说明理由．

（3）若点是数轴上在点左侧的一点，线段的中点为点，点为线段的三等分点且靠近于点，当点在点左侧的数轴上运动时，请直接判断的值是否变化，如果不变请直接写出其值，如果变化请说明理由．

30．阅读材料：你知道“二维码”吗？它是一种编码，通过表示1和0的黑白小方块排列成图案传递信息．二维码广泛应用于我们生活，“扫一扫”成为人们的习惯动作．你知道二维码究竟是怎样生成的吗？你想亲自制作一个二维码吗？首先来了解一个定义：“定义符合”表示一种运算叫做“异或”运算，即当时，结果为0；当时，结果为1，下面就让我们试着为“”制作一个二维码吧！

（步骤一）查表可得字母“”的八位二进制编码为01000010，“”为01001000，“”为01010011，“”为01000110．

（步骤二）将每个字母的编码按照一定的顺序排布在方格内，例如字母“”的编码排布如下图第一个表格．然后将编码排布与事先排布好0与1的表格（称为掩模）进行“方格一一对应”的“异或”运算（如下图第三个表格），并将结果中1的位置填涂黑色，0的位置填涂白色（如下图第四个表格）．

解决问题：（1）根据上面的定义将表格补充完整．

（2）仿照上面（步骤二），完成“”的编码排布、运算及二维码填涂．“”二维码的其余部分已生成，你可以将获得的结果填涂在对于的空白位置．一个完整的二维码就大功告成啦，试着扫一扫它吧！

0	0	0
1	0	1
0	1
1		0

 参

1．B

【解析】将240000写成a×10n的形式 （1＜| a |＜10，n为正整数）即可．

解：240000=．

故答案为B．

【点评】本题考查了科学记数法，将原数a×10n的形式 （1＜| a |＜10，n为正整数），确定a和n的值是解答本题的关键．

2．C

【解析】若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．

解：5的倒数是．

故选C．

3．C

【解析】

A. -(-1)=1，故A选项不符合题意；B. (-1)4 =1，故B选项不符合题意；C. -|-1|=-1，故C选项符合题意；D. |1-2|=1，故D选项不符合题意，

故选C.

4．D

【解析】本题考查同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项，合并时系数相加减，字母与字母的指数不变．

解：A. 3x+2x2不是同类项不能合并，该选项错误；

B. 2a2b﹣a2b＝a2b，该选项错误；

C.﹣ab﹣ab＝﹣2ab，该选项错误；

D.﹣y2x+x y2＝0，该选项正确．

故选：D．

【点评】本题主要考查同类项的概念和合并同类项的法则．合并同类项的法则是：系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．

5．C

【解析】根据去括号的法则逐项判断即可求解．

解：A. ，原题计算错误，不合题意；

B. ，原题计算错误，不合题意；

C. ，原题计算正确，符合题意；    

D. ，原题计算错误，不合题意．

故选：C

【点评】本题考查了去括号的法则．去括号时，括号前面是正号的，去掉括号后，括号里的各项都不变号；括号前面是负号的，去掉括号后，括号里的各项都变号．

6．B

【解析】根据数轴上点的位置，结合相反数，绝对值的性质判断即可．

解：根据数轴上点的位置及，互为相反数，得，且，

则绝对值最大的是，

故选：B．

【点评】此题考查了有理数与数轴，相反数，绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

7．D

【解析】利用近似数的精确度逐项判断即可．

解：A.近似数5.1万精确到千位，此选项错误；

B.2.709精确到个位的近似数是3，此选项错误；

C.0.154精确到十分位为0.2，此选项错误；

D.近似数1.31×105精确到千位，此选项正确．

故答案为D．

【点评】本题考查了近似数和有效数字，掌握确定有效数字的位数和精确的位数是解答本题的关键．

8．A

【解析】根据绝对值的性质结合a+b>0得出a，b的取值情况，然后利用有理数减法法则计算.

解：∵|a|＝8，|b|＝5，

∴a＝±8，b＝±5，

又∵a＋b＞0，

∴a＝8，b＝±5．

当a＝8，b＝5时，a−b＝8－5＝3，

当a＝8，b＝－5时，a−b＝8－（－5）＝13，

∴a−b的值是3或13，

故选A．

【点评】本题考查了绝对值的性质以及有理数的加减运算，此类题要注意答案一般有2个．两个绝对值条件得出的数据有4组，再添上a，b大小关系的条件，一般剩下两组答案符合要求，解此类题目要看清条件，以免漏掉答案或写错．

9．A

【解析】根据关于的方程是—元—次方程，得到m-1≠0且，求出m即可．

解：因为关于的方程是—元—次方程，

所以m-1≠0且，

所以m=-1．

故选：A

【点评】本题考查了一元一次方程的定义，熟知一元一次方程的定义是解题关键，要注意本题中m-1≠0这个条件．

10．B

【解析】根据题中的规定判断出各选项的正确与否即可．

解：①若，即，

解得：，

则，符合题意；

②若，则，符合题意；

③若，则，即或，

解得：，即能使已知等式成立的x的值存在，不符合题意；

④式子的最小值是7，符合题意．

正确的所有结论是：①②④．

故选：B．

【点评】此题考查了函数值，以及绝对值，弄清题中的新规定是解本题的关键．

11．-3

【解析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．

解：∵水位升高3m时，水位变化记作+3m，

∴水位下降3m时，水位变化记作﹣3m．

故答案为﹣3．

【点评】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．

12．>

【解析】根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小比较即可

解：（1）∵|-|=，|-|=，

∴->-，

故答案为：>．

【点评】本题考查了有理数的大小比较的应用，能正确运用有理数的大小法则比较两个数是解题的关键，难度不是很大．

13．

【解析】用珠穆朗玛峰的峰顶高度减去最低高度，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．

解：（米），

故答案为：．

【点评】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．

14．

【解析】根据绝对值和偶次方的非负性得到，，即可求解．

解：∵，

∴，，

即，，

∴，

故答案为：．

【点评】本题考查绝对值和偶次方的非负性、有理数的乘方，根据绝对值和偶次方的非负性得到x和y的值是解题的关键．

15．等式的性质2

【解析】根据5x=25得到x=-5，可以看出是在方程两边同时除以5，结果仍相等，据此判断即可．

解：由5x=25得到x=-5，其根据是等式的性质2，即等式的两边同时乘以一个数或除以一个不为0的数，结果仍相等．

故答案为：等式的性质2

【点评】本题考查了解一元一次方程的依据，熟知等式的两个性质是解题的关键．

16．10，6，1.8，0.16．

【解析】先根据输出结果为51列出一元一次方程，然后依次计算，直至x不是正数即可．

解：∵输出结果为51

∴5x+1=51，解得x=10＞0；

∴5x+1=10，解答x=1.8＞0；

∴5x+1=1.8，解答x=0.16＞0；

∴5x+1=0.16，解答x=-0.168＜0；

故x可取值为10，6，1.8，0.16．

故答案为10，6，1.8，0.16．

【点评】本题考查了代数式求值、解一元一次方程，理解最后输出51的相应x不一定是第一次输入x的值是解答本题的关键．

17．甲    1250    

【解析】分别求得三种促销方式的实际支付费用，然后对比即可解答.

解：甲店需实际支付费用为：50×25=1250元；

乙店需实际支付费用为：60×25×（1-16%）=1260元；

丙店需实际支付费用为：60×25÷100=15,15×15=225,1500-225=1275元

所以甲家店最省钱，需实际支付1250元.

故答案为甲，1250.

【点评】本题考查了有理数混合运算的应用，灵活运用有理数混合运算解决实际问题成为解答本题的关键.

18．2a

【解析】根据数轴判断出a、b、c的符号和绝对值的大小，根据绝对值的意义脱去绝对值，去括号合并同类项即可求解．

解：由数轴可得b＜a＜0＜c，且，

所以a+c＞0，b+c＜0，a+b＜0，

所以

=

=

=．

故答案为：2a

【点评】本题考查了数轴上点的意义，绝对值的意义，去括号，合并同类项等知识，根据数轴上点的位置，判断出绝对值内的式子的符号是解题关键．

19．510

【解析】类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数．

解：孩子自出生后的天数是，

故答案为：510．

【点评】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．

20．71    45    84    

【解析】（1）根据第行最后一数为，得出第一个数为，根据每行数的个数为1，3，5，的奇数列，即可得出数字个数为，即可求出第9行的行第7个数；

（2）根据，，可得2020在第45行，根据第45行数字个数为，通过计算即可得2020是表中第45行，第84个数．

解：（1）由题意知第行最后一数为，则第8行的最后一个数是，

所以第9行第1个数是65，

所以第9行第7个数是71．

故答案为：71；

（2）由（1）知第行的最后一数为，

则第一个数为：，

第行共有个数；

因为，，

，

所以第45行有个数，最后一个数是2025，

所以2020在第45行，第84个数．

故答案为：45，84．

【点评】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．

21．3    5    

【解析】（1）用“正”表示杯口朝上，用“负”表示杯口朝下，根据翻转要求逐步罗列即可得；

（2）用“正”表示杯口朝上，用“负”表示杯口朝下，根据翻转要求逐步罗列即可得．

解：（1）用“正”表示杯口朝上，用“负”表示杯口朝下，

刚开始时：正、正、正、正、正，

第一次翻转结束后：负、负、负、正、正，

第二次翻转结束后：负、正、正、负、正，

第三次翻转结束后：负、负、负、负、负，

则m的最小值为3；

（2）用“正”表示杯口朝上，用“负”表示杯口朝下，

刚开始时：正、正、正、正、正、正、正、正、正、正、正，

第一次翻转结束后：负、负、负、正、正、正、正、正、正、正、正，

第二次翻转结束后：负、负、负、负、负、负、正、正、正、正、正，

第三次翻转结束后：负、负、负、负、负、负、负、负、负、正、正，

第四次翻转结束后：负、负、负、负、负、负、负、正、正、负、正，

第五次翻转结束后：负、负、负、负、负、负、负、负、负、负、负，

则n的最小值为5；

故答案为：3，5．

【点评】本题考查了相反意义的量，正确罗列翻转后杯口的变化情况是解题关键．

22．        

【解析】根据题意，任意四个相邻格子中的和等于15，即4个数为1组循环，根据规律列出等式，计算出的值；再求出第2021个数是几即可．

解：任意四个相邻格子中的和等于15，即4个数为一组循环，

所以第3个数、第5个数、第16个数、第78个数分别对应一组循环中的第3个数、第1个数、第4个数、第2个数，

∴根据题意得：，

解得，

则，

，

第2021个数是．

故答案为：；．

【点评】本题主要考查数字的变化规律，解决此题的关键是根据题意，列出等式，求出字母的值．

23．    54    

【解析】根据依次先减少三分之一，后增加三分之一，列式计算可求第五个基准音的乐器的长度；再依此根据能发出第四个基准音的乐器的长度是32，列出方程可求的值．

解：第五个基准音的乐器的长度为：

；

依题意有，

解得．

故第五个基准音的乐器的长度为，的值是54．

故答案为：，54．

【点评】考查了有理数的混合运算，关键是找到规律，正确列式计算即可求解．

24．（1）；（2）79；（3）；（4）

【解析】（1）直接利用有理数加减法法则计算即可求解；

（2）直接利用有理数乘除法法则和有理数的加法法则计算即可求解；

（3）先将除法转化为乘法，利用乘法交换律将小括号外面计算出来，然后利用乘法分配律计算即可求解；

（4）先计算有理数的乘方，然后利用有理数的运算法则计算即可．

解：（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

．

【点评】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键．

25．（1）；（2）

【解析】（1）直接合并同类项即可求解；

（2）先去括号，然后再合并同类项即可求解．

解：（1）

；

（2）

．

【点评】本题考查整式的加减，掌握去括号、合并同类项的方法是解题的关键．

26．（1）；（2）．

【解析】根据解一元一次方程的一般步骤解方程即可．

解：（1）

移项得 ，

合并同类项得 ；

（2）

去分母得 ，

去括号得 ，

移项得 ，

合并同类项得 ，

系数化1得 ．

【点评】本题考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．

27．，

【解析】先利用整式的加减法法则化简，再把，代入求解即可．

解：

，

当，时，原式．

【点评】本题考查整式的化简求值，掌握整式的加减法法则是解题的关键．

28．（1）；（2）1；（3），，，

【解析】（1）根据新定义可得，计算即可求解；

（2）根据题意可得，得到关于x的一元一次方程，求解即可；

（3）由题意可得，解得，根据是整数且k是整数，求解即可．

解：（1），

故答案为：；

（2）根据题意可得，

∵，

∴，

解得，

故答案为：1；

（3）∵，

整理可得，

∴，

∵是整数，k是整数，

∴或，

∴，，，．

29．（1）5；（2）或6；（3）随着点的移动，的值不变．

解：（1）点在数轴上对应的数为，点对应的数为2，

．

（2）存在．

设点对应的数为，解方程，得，

点对应的数为，

，

，即，，

①当时，有，解得；

②当时，有，此方程无解；

③当时，有，解得；

综上，点的对应数为或6．

（3）设点对应的数为，则，，

若点是数轴上在点左侧的一点，线段的中点为点，点为线段的三等分点且靠近于点，

，则点对应的数为；，则点对应的数为；

，则．

随着点的移动，的值不变．

30．（1）填表见解析；（2）答案见解析

解：（1）填表如下：

a	b	结果
0	0	0
1	0	1
0	1	1
1	1	0

（2）“”的编码排布、运算及二维码填涂如下：