2006年北京中考数学试卷word版含答案

数学试卷

考生

下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．

1．的相反数是（　　）

Ａ．            Ｂ．            Ｃ．            Ｄ． 

2．青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积约为平方千米．将用科学记数法表示应为（　　）

Ａ．            Ｂ．            Ｃ．        Ｄ． 

3．在函数中，自变量的取值范围是（　　）

Ａ．            Ｂ．            Ｃ．            Ｄ． 

4．如图，，点在的延长线上，

若，则的度数为（　　）

Ａ．            Ｂ．                

Ｃ．                Ｄ． 

5．小芸所在学习小组的同学们，响应“为祖国争光，为奥运添彩”的号召，主动到附近的7个社区帮助爷爷，奶奶们学习英语日常用语．他们记录的各社区参加其中一次活动的人数如下：33，32，32，31，28，26，32，那么这组数据的众数和中位数分别是（　　）

Ａ．32，31            Ｂ．32，32            Ｃ．3，31            Ｄ．3，32

6．把代数式分解因式，结果正确的是（　　）

Ａ．                Ｂ．            

Ｃ．            Ｄ． 

7．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为奇数的概率为（　　）

Ａ．                Ｂ．                Ｃ．                Ｄ． 

8．将如右图所示的圆心角为的扇形纸片围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径与重合（接缝粘贴部分忽略不计），则围成的圆锥形纸帽是（　　）

北京市2006年高级中等学校招生统一考试（课标B卷）

数学试卷

第卷（非机读卷　　共88分）

考生

9．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是            ．

10．若，则的值为                ．

11．用“”定义新运算：对于任意实数，，都有．例如， ，那么                ；

当为实数时，                 ．

12．如图，在中，，，分别是，的中点，，为上的点，连结，．若，，，则图中阴影部分的面积为                ．

三、解答题（共5个小题，共25分）

13．（本小题满分5分）

计算：．

解：

14．（本小题满分5分）

解不等式组

解：

15．（本小题满分5分）

解分式方程．

解：

16．（本小题满分5分）

已知：如图，，点，点在上，，．

求证：．

证明：

17．（本小题满分5分）

已知，求代数式的值．

解：

四、解答题（共2个小题，共11分．）

18．（本小题满分5分）

已知：如图，在梯形中，，，，于点，，．

求：的长．

解：

19．（本小题满分6分）

已知：如图，内接于，点在的延长线上，，．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的长．

（1）证明：

（2）解：

五、解答题（本题满分5分）

20．根据北京市统计局公布的2000年，2005年北京市常住人口相关数据，绘制统计图表如下：

（1）从2000年到2005年北京市常住人口增加了多少万人？

（2）2005年北京市常住人口中，少儿（岁）人口约为多少万人？

（3）请结合2000年和2005年北京市常住人口受教育程度的状况，谈谈你的看法．

解：（1）

（2）

（3）

六、解答题（共2个小题，共9分．）

21．（本小题满分5分）

在平面直角坐标系中，直线绕点顺时针旋转得到直线．直线与反比例函数的图象的一个交点为，试确定反比例函数的解析式．

解：

22．（本小题满分4分）

请阅读下列材料：

　　问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．

　　小东同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．由此可知新正方形的边长等于两个正方形组

成的矩形对角线的长．于是，画出如图2所示的分割线，拼出如图3所示的新正方形．

　　请你参考小东同学的做法，解决如下问题：

　　现有10个边长为1的正方形，排列形式如图4，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图4中画出分割线，并在图5的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．

说明：直接画出图形，不要求写分析过程．

解：

七、解答题（本题满分6分）

23．如图1，是的平分线，请你利用该图形画一对以所在直线为对称轴的全等三角形．

　　请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图2，在中，是直角，，，分别是，的平分线，，相交于点．请你判断并写出与之间的数量关系；

（2）如图3，在中，如果不是直角，而（1）中的其他条件不变，

请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

解：画图：

（1）与之间的数量关系为　　　　　　　　　．

（2）

八、解答题（本题满分8分）

24．已知抛物线与轴交于点，与轴分别交于，两点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点为线段的一个三等分点，求直线的解析式；

（3）若一个动点自的中点出发，先到达轴上的某点（设为点），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点），最后运动到点．求使点运动的总路径最短的点，点的坐标，并求出这个最短总路径的长．

解：（1）

（2）

（3）

九、解答题（本题满分8分）

25．我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：

（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；

（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为时，这对角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论．

解：（1）

（2）

北京市2006年高级中等学校招生统一考试（课标Ｂ卷）

数学试卷答案及评分参考

阅卷须知：

　　1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅，按要求签名．

　　2．第卷是选择题，机读阅卷．

　　3．第卷包括填空题和解答题．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

第卷（机读卷　共32分）

一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分．）

二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分．）

13．解： 

　　    4分

　　．    5分

14．解：由不等式解得　　．    2分

　　　　由不等式解得　　．    4分

　　　　则不等式组的解集为　　．    5分

15．解：．    2分

　　　　．    3分

　　　　　　　　　　　．    4分　

　　　　经检验是原方程的解．

　　　　所以原方程的解是．    5分

16．证明：因为，

则．    1分

又，

则．    2分

在与中，

    3分

所以．    4分

所以．    5分

17．解： 

　　　　    2分

　　　　．    3分

　　　　当时，原式．    5分

四、解答题（共2个小题，共11分）

18．解：如图，过点作交于点．    1分

　　因为，

　　所以四边形是平行四边形．    2分

　　所以．

　　由，

　　得．

　　在中，，，

　　由，

　　求得．    3分

　　所以．    4分

　　在中，，

　　　　．

　　求得．    5分

19．解：（1）证明：如图，连结．

　　因为，

　　所以．

　　故．    1分

　　又，

　　所以是等边三角形．

　　故．    2分

　　因为，

　　所以．

　　所以是的切线．    3分

（2）解：因为，

　　所以垂直平分．

　　则．    4分

　　所以．    5分

　　在中，，

　　由正切定义，有．

　　所以．    6分

五、解答题（本题满分5分）

20．解：（1）（万人）．    1分

　　故从2000年到2005年北京市常住人口增加了154万人．

　　（2）（万人）．

　　故2005年北京市常住人口中，少儿（岁）人口约为157万人．    3分

　　（3）例如：依数据可得，2000年受大学教育的人口比例为，2005年受大学教育的人口比例为．可知，受大学教育的人口比例明显增加，教育水平有所提高．    5分

六、解答题（共2个小题，共9分）

21．解：依题意得，直线的解析式为．    2分

　　　　因为在直线上，

　　　　则．    3分

　　　　即．

　　　　又因为在的图象上，

　　　　可求得．    4分

　　　　所以反比例函数的解析式为．    5分

22．解：所画图形如图所示．

说明：图4与图5中所画图形正确各得2分．分割方法不唯一，正确者相应给分．

七、解答题（本题满分6分．）

23．解：图略．画图正确得1分．

　　（1）与之间的数量关系为．    2分

　　（2）答：（1）中的结论仍然成立．

　　证法一：如图4，在上截取，连结．    3分

　　因为，为公共边，

　　可证．

　　所以，．    4分

　　由，分别是的平分线，

　　可得．

　　所以．

所以．    5分

由及为公共边，可得．

所以．

所以．    6分

证法二：如图5，

过点分别作于点，于点．    3分

因为，且，分别是，的平分线，

所以可得，是的内心．    4分

所以，．

又因为，

所以．    5分

因此可证．

所以．    6分

八、解答题（本题满分8分）

24．解：（1）根据题意，，

所以

解得

所以抛物线解析式为．    2分

（2）依题意可得的三等分点分别为，．

设直线的解析式为．

当点的坐标为时，直线的解析式为；    3分

当点的坐标为时，直线的解析式为．    4分

（3）如图，由题意，可得．

点关于轴的对称点为，

点关于抛物线对称轴的对称点为．

连结．

根据轴对称性及两点间线段最短可知，的长就是所求点运动的最短总路径的长．    5分

所以与轴的交点为所求点，与直线的交点为所求点．

可求得直线的解析式为．

可得点坐标为，点坐标为．    7分

由勾股定理可求出．

所以点运动的最短总路径的长为．    8分

九、解答题（本题满分8分）

25．解：（1）略．写对一种图形的名称给1分，最多给2分．

（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为时，这对角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长．    3分

已知：四边形中，对角线，交于点，，

且．

求证：．

证明：过点作，在上截取，使．

连结，．    4分

故，四边形是平行四边形．

所以是等边三角形，．    6分

所以．

①当与不在同一条直线上时（如图1），

在中，有．

所以．    7分

②当与在同一条直线上时（如图2），

则．

因此．    8分

综合①、②，得．

即等对角线四边形中两条对角线所夹角为时，这对角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长．