2019-2020学年河南省洛阳市九年级(上)期中数学试卷(解析版)

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．比小1的数是　　

A． B．3 C．5 D．

2．为改善城市交通，洛阳市地铁1号线开工建设，工程自谷水西至文化街，线路长约23公里，设站19座，投资171亿元，把“171亿”用科学记数法表示为　　

A． B． C． D．

3．如图，，，，则的度数为　　

A． B． C． D．

4．如图，矩形的对角线与相交于点，，，，，则四边形的面积为　　

A． B．4 C． D．8

5．在平面直角坐标系中，点的坐标是，将原点绕点顺时针旋转得到点，则点的坐标是　　

A． B． C． D．

6．一元二次方程的根是　　

A． B． C．， D．

7．某市为扶持绿色农业发展，今年4月投入的扶持基金为3600万元，按计划第二季度的总投入要达到12000万元，设该市5、6两月投入的月平均增长率为，根据题意列方程，则下列方程正确的是　　

A．

B．

C．

D．

8．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

9．若点在坐标系中的第四象限，则一次函数的图象一定不经过

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

10．如图，等边三角形的边长是2，是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，线段长度的最小值是　　

A． B．1 C． D．

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．计算　　．

12．不等式组的解集是　　．

13．二次函数的顶点坐标是　 　．

14．已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与，轴的交点分别为，，是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息给出以下结论：①；②是的一个根；③若，，则．其中正确的有　　个．

15．如图，在矩形中，，，将点绕点逆时针旋转，点的对应点为，的平分线交于，且．若点落在矩形的边上，则的值为　　．

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16．先化简再求值：，其中是方程：的一个根．

17．某学校为了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目最喜爱的情况，随机调查了若干名学生，根据调查数据进行整理，绘制了如下的不完整统计图．

请你根据以上的信息，回答下列问题：

（1）本次共调查了　 　名学生，其中最喜爱戏曲的有　 　人；在扇形统计图中，最喜爱体育的对应扇形的圆心角大小是　 　．

（2）根据以上统计分析，估计该校2000名学生中最喜爱新闻的人数．

18．如图，直线与两坐标轴分别交于、两点．

（1）求的度数；

（2）过的直线交轴正半轴于，，求直线的函数解析式．

19．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．

（1）求实数的取值范围；

（2）写出满足条件的的最小整数值，并求此时方程的根．

20．如图，三个顶点的坐标分别为，，

（1）请画出将向左平移4个单位长度后得到的图形△；

（2）请画出关于点成中心对称的图形△；

（3）若△绕点旋转可以得到△，请直接写出点的坐标；

（4）在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标；

21．坚持农业农村优先发展，按照产业兴旺、生态宜居的总要求，统筹推进农村经济建设洛宁县某村出售特色水果（苹果）．规定如下：

（1）每箱新红星、红富士的单价各多少元？

（2）某单位需要购置这两种苹果120箱，其中红富土的数量不少于新红星的一半，并且不超过60箱，如何购买付款最少？请说明理由；

22．如图，将绕点逆时针旋转得到．

（1）观察猜想

小明发现，将绕点逆时针旋转，如图1，他发现的面积与的面积之间有一定的数量关系，请直接写出这个关系：　　．

（2）类比探究

如图2，是的中点，请写出与之间的数量关系和位置关系，并说明理由；

（3）解决问题

如图3，，，，，在线段上，交于，若，，请直接写出的长．

23．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点直线经过点，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点是直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为．

①求面积最大值和此时的值；

②是直线上一动点，是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点的坐标．

2019-2020学年河南省洛阳市九年级（上）期中数学试卷

参与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．比小1的数是　　

A． B．3 C．5 D．

【解答】解：，

则比小1的数是，

故选：．

2．为改善城市交通，洛阳市地铁1号线开工建设，工程自谷水西至文化街，线路长约23公里，设站19座，投资171亿元，把“171亿”用科学记数法表示为　　

A． B． C． D．

【解答】解：171亿 100 000 ．

故选：．

3．如图，，，，则的度数为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

，

，

，

故选：．

4．如图，矩形的对角线与相交于点，，，，，则四边形的面积为　　

A． B．4 C． D．8

【解答】解：连接，与交于点，

四边形为矩形，

，，且，即，

，，

四边形为平行四边形，

，

四边形为菱形，

，，，

，且，

四边形为平行四边形，

，，

，即，

在中，根据勾股定理得：，即，

则．

故选：．

5．在平面直角坐标系中，点的坐标是，将原点绕点顺时针旋转得到点，则点的坐标是　　

A． B． C． D．

【解答】解：观察图象可知，

故选：．

6．一元二次方程的根是　　

A． B． C．， D．

【解答】解：，

，

则，

或，

解得，，

故选：．

7．某市为扶持绿色农业发展，今年4月投入的扶持基金为3600万元，按计划第二季度的总投入要达到12000万元，设该市5、6两月投入的月平均增长率为，根据题意列方程，则下列方程正确的是　　

A．

B．

C．

D．

【解答】解：根据题意列出方程，得．

故选：．

8．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为，

抛物线与轴的另一个交点坐标为，

抛物线的解析式可设为，

把代入得，解得，

抛物线的解析式为，即，

，

时，有最小值，

时，，

当，的取值范围是．

故选：．

9．若点在坐标系中的第四象限，则一次函数的图象一定不经过　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解答】解：点在坐标系中的第四象限，

，，

，，

一次函数的图象经过第一、三、四象限．

故选：．

10．如图，等边三角形的边长是2，是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，线段长度的最小值是　　

A． B．1 C． D．

【解答】解：由旋转的特性可知，，

又，

为等边三角形．

，

点是高所在直线上的一个动点，

当时，最短（到直线的所有线段中，垂线段最短）．

又为等边三角形，且，

当点和点重合时，最短，且有．

故选：．

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．计算　　．

【解答】解：原式

．

故答案为：．

12．不等式组的解集是　　．

【解答】解：解不等式，得：，

解不等式，得：，

则不等式组的解集为，

故答案为：．

13．二次函数的顶点坐标是　　．

【解答】解：，

，

即顶点坐标为，

故答案为：．

14．已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与，轴的交点分别为，，是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息给出以下结论：①；②是的一个根；③若，，则．其中正确的有　3　个．

【解答】解：①因为抛物线的对称轴，

所以，即，

所以①正确；

②因为，对称轴，

所以设抛物线与轴的另一个交点为，

所以，

所以时，，即是的一个根．

所以②正确；

③如图：

过点作对称轴于点，设对称轴交轴于点，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

．又，．

设抛物线解析式为，

把代入，解得，

抛物线解析式为，

当时，，

即．

所以③正确．

故答案为3．

15．如图，在矩形中，，，将点绕点逆时针旋转，点的对应点为，的平分线交于，且．若点落在矩形的边上，则的值为　或　．

【解答】解：分两种情况：

①当点落在边上时，如图1．

四边形是矩形，

，

将沿折叠，点的对应点落在边上，

，

，

，

；

②当点落在边上时，如图2．

四边形是矩形，

，．

将沿折叠，点的对应点落在边上，

，，，

，．

，

，

△，

，即，

解得，（舍去）．

综上，所求的值为或．

故答案为或．

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16．先化简再求值：，其中是方程：的一个根．

【解答】解：解方程得：或2，

，

当时，原式没有意义，舍去；

当时，原式．

17．某学校为了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目最喜爱的情况，随机调查了若干名学生，根据调查数据进行整理，绘制了如下的不完整统计图．

请你根据以上的信息，回答下列问题：

（1）本次共调查了　50　名学生，其中最喜爱戏曲的有　 　人；在扇形统计图中，最喜爱体育的对应扇形的圆心角大小是　 　．

（2）根据以上统计分析，估计该校2000名学生中最喜爱新闻的人数．

【解答】解：（1）本次共调查学生：（人，最喜爱戏曲的人数为：（人；

 “娱乐”类人数占被调查人数的百分比为：，

 “体育”类人数占被调查人数的百分比为：，

在扇形统计图中，最喜爱体育的对应扇形的圆心角大小是；

故答案为：50，3，．

（2）（人，

答：估计该校2000名学生中最喜爱新闻的人数约有160人．

18．如图，直线与两坐标轴分别交于、两点．

（1）求的度数；

（2）过的直线交轴正半轴于，，求直线的函数解析式．

【解答】解：（1）对于直线，

令，则，

令，则，

故点的坐标为，点的坐标为，

则，，

在中，

，

；

（2）在中，

，，

为的中垂线，

即，

则点的坐标为，

设直线的解析式为：，为常数），

则，

解得：，

即函数解析式为：．

19．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．

（1）求实数的取值范围；

（2）写出满足条件的的最小整数值，并求此时方程的根．

【解答】解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，

，

解得：且，

实数的取值范围为且．

（2）且，

满足条件的的最小整数值为0，此时原方程为，

解得：，．

20．如图，三个顶点的坐标分别为，，

（1）请画出将向左平移4个单位长度后得到的图形△；

（2）请画出关于点成中心对称的图形△；

（3）若△绕点旋转可以得到△，请直接写出点的坐标；

（4）在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标；

【解答】解：（1）如图，△即为所求．

（2）如图，△即为所求．

（3）如图，点即为所求，点的坐标．

（4）如图，点即为所求，点的坐标．

21．坚持农业农村优先发展，按照产业兴旺、生态宜居的总要求，统筹推进农村经济建设洛宁县某村出售特色水果（苹果）．规定如下：

（1）每箱新红星、红富士的单价各多少元？

（2）某单位需要购置这两种苹果120箱，其中红富土的数量不少于新红星的一半，并且不超过60箱，如何购买付款最少？请说明理由；

【解答】解：（1）设每箱新红星元，每箱红富士元，由题意可得：

，

解得，

答：每箱新红星40元，每箱红富士50元；

（2）设购置新红星箱，则购置红富士箱，所需的总费用为元，

由题意可得：，

解得：，

又，

所以新红星箱数的取值范围：，

当时，

，

所以时，有最小值80000元，

当时，，

所以时，有最小值8400元，

，

购买新红星40箱，红富士80块，费用最少，最少费用为8000元．

22．如图，将绕点逆时针旋转得到．

（1）观察猜想

小明发现，将绕点逆时针旋转，如图1，他发现的面积与的面积之间有一定的数量关系，请直接写出这个关系：　　．

（2）类比探究

如图2，是的中点，请写出与之间的数量关系和位置关系，并说明理由；

（3）解决问题

如图3，，，，，在线段上，交于，若，，请直接写出的长．

【解答】解：（1）结论：．

理由：如图1中，作交的延长线于，于．

由题意，，，

，

，

，，

．

故答案为．

（2）结论：．

理由：如图2中，延长到，使得，连接，．

，，

四边形是平行四边形，

，，

，

，

，

，

，，

，

，

，

．

（3）作交的延长线于．连接．

，，，

，，

，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，，

，

，

，，

，

，

．

23．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点直线经过点，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点是直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为．

①求面积最大值和此时的值；

②是直线上一动点，是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点的坐标．

【解答】解：（1）直线经过点，，则点、的坐标分别为：、，

将点、的坐标代入抛物线表达式并解得：，，

故抛物线的表达式为：；

（2）①过点作轴的平行线交直线于点，

则点，点，

面积，

，

面积存在最大值为8，此时，；

②设，点，

当是平行四边形的边时，

点向右平移个单位得到，

同样点向右平移个单位得到，

则，，

解得：，；

当是平行四边形的对角线时，

由中点公式得：，，

解得：或4（舍去；

综上点的坐标为，或，或，或，或．