2022-2023学年湖北省十七所重点中学高三下学期2月第一次联考数学试卷含逐题详解

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合{}{

}222,40

x A x B x x =>=-<，则A B = （

）

A.∅

B.

{2}

C.{12}

x x << D.{14}

x x <<2.设1cos 3x =

，则sin 2x π⎛

⎫-= ⎪⎝

⎭（

）

A.

1

3

B.13

-

C.

223

D.223

-

3.函数21

()log f x x

=的导函数为（）

A.ln 2()f x x

=

' B.1()ln 2

f x x '=

C.ln 2()f x x

=-

' D.1()ln 2

f x x =-

'4.设复数z 满足()()()()12i 12i 4

12i 12i 6

z z z z ⎧++-=⎪⎨

-++=⎪⎩，则z 的虚部为（

）

A.

12

B.1

2

-

C.

14

D.i 4

-

5.某气象兴趣小组利用身边的物品研究当地的降雨量．他们使用一个上底面半径为15cm 、下底面半径为12cm 、高为25cm 的水桶盛接降水．当水桶内盛水至总高的一半时，水的体积约占水桶总体积的（）

A.40%

B.44%

C.48%

D.52%6.已知平面非零向量,a b

满足|2|a b a b ⋅=+ ，则||||a b ⋅ 的最小值为（

）A.2

B.4

C.8

D.16

7.设集合(){}1

2

100

12

100{1,2,,2023},,,,A S A A A A A

A A ==⊆⊆⊆⊆∣ ，则集合S 的元素个数为（

）

A.100

2023

C B.101

2023

C C.2023

100 D.2023

1018.设随机变量(,)X B n p ，当正整数n 很大，p 很小，np 不大时，X 的分布接近泊松分布，即

e ()()(N)!

np i

np P X i n i -=≈∈．现需100个正品元件，该元件的次品率为0.01，若要有95%以上的概率购得100

个正品，则至少需购买的元件个数为（已知0.367879e

1

=…）（）

A .

100

B.101

C.102

D.103

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.已知递增的正整数列{}n a 的前n 项和为n S ．以下条件能得出{}n a 为等差数列的有（）

A.(

)

2

N

n S n n n *

=+∈ B.(

)

2

1N

n S n n *

=+∈

C.(

)

22N

n n a a n *

+=+∈ D.(

)

22N

n n a a n *

=∈10.已知11ln e e 1

0b a c a b c

-+-==>，则（

）

A.a b

≥ B.b c

≥ C.a c

≥ D.2b a c

≥+11.已知222222

:(3)9,:(4)1,:(1)(4)1P x y Q x y R x y +-=-+=++-= ．点,,A B C 分别在

,,P Q R 上．则（

）

A.AB 的最大值为9

B.AC

的最小值为2C.若AB 平行于x 轴，则AB

的最小值为4-

D.若AC 平行于y 轴，则AC

的最大值为1+12.已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，点P ，Q 分别在正方形1111D C B A 的内切圆，正方形11C D DC 的外接圆上运动，则（

）

A.2PQ CD ⋅≤+

B.||PQ ≥

- C.π8

PAQ ∠>

D.π2

PAQ ∠<

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.

已知多项式234

01234()f x a a x a x a x a x =++++满足对任意R,(cos )2cos4cos3f θθθθ∈=+，则

1234a a a a -+-=_________（用数字作答）．

14.冰雹猜想是指：一个正整数x ，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就析出偶数因数2n ，这样经过若干次，最终回到1．问题提出八十多年来，许多专业数学家前仆后继，依然无法解决这个问题．已知正整数列{}n a 满足递

推式*1*31,N ,2

,N ,22n n n n n a a a a a +⎧

+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩请写出一个满足条件的首项150a <，使得101a =，而

1(1,2,,9)i a i ≠= _____________．

15.设实数0a ≠

，不等式e 2x

ax a -≥对任意实数21x ≥-恒成立，则a 的取值范围为__________．

16.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>

的离心率2e ≠，C 的左右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆C 上满足

122

F AF π

∠=

．12F AF ∠的角平分线交椭圆于另一点B ，交y 轴于点D ．已知2AB BD = ，则e =_______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 为线段1AA 的中点，侧面11ABB A

的面积为

2

．

（1）若111AA A B =证明：11A C B D ⊥；

（2）求三棱柱111ABC A B C -的体积与表面积之比的最大值．

18.为调查某地区植被覆盖面积x （单位：公顷）和野生动物数量y 的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20个区块，得到样本数据(),(1,2,,20)i i x y i = ，部分数据如下：x …2.

7

3.6 3.2…y

…

57.8

.7

62.6

…

经计算得：

()()()20

20

20

20

2

1

1

1

1

60,1200,80,0i

i i i i i i i i x

y x x x x y y ======-=--=∑∑∑∑．

（1）利用最小二乘估计建立y 关于x 的线性回归方程；

（2）该小组又利用这组数据建立了x 关于y 的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系xOy 下，横坐标x ，纵坐标y 的意义与植被覆盖面积x 和野生动物数量y 一致，（ⅰ）比较前者与后者的斜率大小，并证明；（ⅱ）求这两条直线的公共点坐标．

附：y 关于x 的回归方程ˆˆˆy a bx

=+中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()

()

1

2

1

ˆˆˆ,n

i

i

i n

i i x x y y b a

y bx x x ==--==--∑∑．19.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知22c ab =．

（1）求cos C 的最小值；（2）证明：π

6

C A -≤

．20.设点A 为双曲线2

2

:13

y C x -=的左顶点,直线l 经过点(1,2)-,与C 交于不与点A 重合的两点P ,Q ．

（1）求直线,AP AQ 的斜率之和;

（2）设在射线AQ 上的点R 满足APQ ARP ∠=∠,求直线PR 的斜率的最大值．21.已知数列{}n a 满足：

①对任意质数p 和自然数n ，都1n p a n =+；②对任意互质的正整数对(,)m n ，都有mn m n a a a =．

（1）写出{}n a 的前6项，观察并直接写出n a 与能整除n 的正整数的个数的关系(

)N

n *

∈；

（2）设数列2n n a ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

的前n 项和为n S ，证明：()

5N 3n S n *<∈．22.已知直线l 与曲线2ln y x =相切于点(

)()2

000,ln e x x x >．证明：

（1）l 与曲线2ln y x =恰存在两个公共点(

)()()

2

'2

''00

,ln

,,ln x x x x x x <；

（2）

'

0023e x x +>．

2023届湖北省十七所重点中学高三第一次联考数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合{}{

}222,40

x A x B x x =>=-<，则A B = （

）

A.∅

B.

{2} C.{12}

x x << D.{14}

x x <<【答案】C

【分析】先求出集合,A B ，再由交集的定义即可得出答案.

【详解】因为{

}{}{

}{}

2

221,4022x

A x x x

B x x x x =>=>=-<=-<<，

A B = {12}x x <<.

故选：C.2.设1cos 3x =

，则sin 2x π⎛

⎫-= ⎪⎝

⎭（

）

A.

1

3

B.13

-

C.

3

D.3

-

【答案】B

【分析】根据三角函数的诱导公式即可求得.【详解】由题意得：

sin cos 2x x π⎛

⎫-=- ⎪⎝

⎭ ,

1

cos 3

x = ,

1sin cos 23x x π⎛

⎫∴-=-=- ⎪⎝

⎭,

故选：B

3.函数21

()log f x x

=的导函数为（）

A.ln 2()f x x

=' B.1()ln 2

f x x '=

C.ln 2()f x x

=-

' D.1()ln 2

f x x =-

'【答案】D

【分析】直接代入求导公式，运用复合函数的求得法则即可求解.【详解】依题知，

1

0x

>，即0x >，由求导公式：1

log ln a x x a

'

=

，复合函数的求导法则：设()u g x =，则()()

()()'''=⋅f g x f u g x

得：()21

1111ln 2ln 2ln 2

x f x x x x x

'

⎛⎫⎛⎫'=⨯=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D.4.设复数z 满足()()()()12i 12i 4

12i 12i 6

z z z z ⎧++-=⎪⎨

-++=⎪⎩，则z 的虚部为（

）

A.

12

B.1

2

-

C.

14

D.i 4

-

【答案】C

【分析】通过解方程组求得z ，进而求得z 的虚部.

【详解】依题意，()()()()12i 12i 4

12i 12i 6z z z z ⎧++-=⎪⎨-++=⎪⎩

，

两式相加并化简得5,5z z z z +==-，所以()()()12i 12i 54z z ++--=，

4i 110i z =-+，两边乘以1i 4-得51

i 24

z =+，

所以z 的虚部为1

4

.故选：C

5.某气象兴趣小组利用身边的物品研究当地的降雨量．他们使用一个上底面半径为15cm 、下底面半径为12cm 、高为25cm 的水桶盛接降水．当水桶内盛水至总高的一半时，水的体积约占水桶总体积的（）

A.40%

B.44%

C.48%

D.52%

【答案】B

【分析】根据圆台的体积公式求得正确答案.【详解】水桶的体积为

()221251

π15151212π54925323

⨯+⨯+⨯=⨯⨯，水的上底面半径为

15122722

+=，水的体积为22212727

2511953π1212π25322238⎛⎫⨯+

⨯+⨯=⨯⨯ ⎪⎝⎭，所以水的体积约占水桶总体积的11953

π2538100%44%1

π549253

⨯⨯⨯≈⨯⨯.故选：B

6.已知平面非零向量,a b

满足|2|a b a b ⋅=+ ，则||||a b ⋅ 的最小值为（

）A.2 B.4

C.8

D.16

【答案】C

【分析】根据向量数量积的定义和关系，把|2|a b a b ⋅=+

的两边平方，利用基本不等式进行转化求解即可．

【详解】设非零向量a ，b

的夹角为θ.

||||cos |2|0a b a b a b θ⋅==+>

，所以0cos 1θ<≤，

由|2|a b a b ⋅=+ 两边平方得：222

22||||cos 44a b a b a b θ=++⋅ ，

22422a b a b +≥ ，

222

||cos 224cos a b a b a b θθ∴≥+⋅ ，即2

cos 44cos a b θθ≥+ ，

即22

2

4(1cos )1111441cos cos cos cos 2a b θθθθθ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫≥=+=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦

，0cos 1θ<≤ ，∴

11cos θ

≥，即当11cos θ=时，||||a b 取得最小值，最小值为8.

故选：C ．

7.设集合(){}1

2

100

1

2

100{1,2,,2023},,,,A S A A A A A

A A ==⊆⊆⊆⊆∣ ，则集合S 的元素个数为（

）

A.100

2023C B.101

2023

C C.2023

100 D.2023

101【答案】D

【分析】由每个12023i ≤≤，在12100,,,A A A 中的从属关系，结合分步乘法计数原理求解即可.【详解】对每个12023i ≤≤，在12100,,,A A A 中的从属关系有以下101种：（1）123100,,,,i A i A i A i A ∈∈∈∈ ，（2）123100,,,,i A i A i A i A ∉∈∈∈ ，（3）123100,,,,i A i A i A i A ∉∉∈∈ ，…

（101）123100,,,,i A i A i A i A ∉∉∉∉ ．

由分步乘法计数原理，集合S 2023101个元素．故选：D

8.设随机变量(,)X B n p ，当正整数n 很大，p 很小，np 不大时，X 的分布接近泊松分布，即

e ()()(N)!

np i

np P X i n i -=≈∈．现需100个正品元件，该元件的次品率为0.01，若要有95%以上的概率购得100

个正品，则至少需购买的元件个数为（已知0.367879e

1

=…）（）

A.100

B.101

C.102

D.103

【答案】D

【分析】结合题意记随机变量X 为购买a 个元件后的次品数．(100)0.95P X a ≤-≥，记100t a =-，分别计算

0,1,2,3t =，求解即可得出答案.

【详解】记随机变量X 为购买a 个元件后的次品数．

由题意，此时X 可看成泊松分布．则(100)0.95P X a ≤-≥，记100t a =-，则

()

()0.011000

0.011000.95!

i

t t

i e

t i -+=+⎡⎤⎣⎦≥∑

．由于t 很小，故大致有

1

0.95!t

i i e =≥∑．分别计算0,1,2,3t =，左边约等于0.37，0.74，0.91，0.98，故3t ≥，即103a ≥．故选：D .

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.已知递增的正整数列{}n a 的前n 项和为n S ．以下条件能得出{}n a 为等差数列的有（）

A.(

)

2

N

n S n n n *

=+∈ B.(

)

2

1N

n S n n *

=+∈C.()

22N n n a a n *

+=+∈ D.(

)

22N

n n a a n *

=∈【答案】ACD

【分析】用n S 与n a 的关系，计算判断A 和B ；按n 的奇偶求出n a ，再结合递增的正整数列推出11n n a a +-=判断C ；按给定条件求出数列{}

12n a -的通项，再结合递增的正整数列求出n a 判断D 作答.

【详解】对于A ，2n ≥时，22

1(1)(1)2n n S S n n n n n --=+----=，当1n =时，12a =满足2n a n =，

而且N n *∈时，12n n a a +-=，则{}n a 为等差数列，A 正确；

对于B ，22

11(1)121n n S S n n n --=+---=-，当1n =时，12a =不满足上式，

得2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩

，因此数列{}n a 不是等差数列，B 错误；

对于C ，(

)22N

n n a a n *

+-=∈，即{}n

a 为隔项等差数列，且{}n

a 是递增的正整数列，

则210a a ->，321220a a a a -=+->，2120a a >->，且*

21N a a -∈，有211a a -=，即211a a =+，

于是21112(1)121n a a n a n -=+-=-+-，2212(1)12n a a n a n =+-=-+，因此11n a a n =-+，所以{}n a 为等差数列，C 正确；对于D ，(

)22N

n n a a n *

=∈，N n

a

*∈，

N n *∈，1222n n a a -=，即数列{}12n a -是以1a 为首项，2为公比的等比数列，11122n n a a --=，则122n n

a a =，

从12n a -到2n a 中间恰有1122121n n n ----=-项：11212221,,,n n n a a a --++- ，它们是递增的正整数，而1

12

n a -到12n a 中间恰有1122121n n n ----=-个递增的正整数：11111(21),(22),,(21)n n n a a a --++- ，

于是得11

12(2

)n n i a i a --+=+，{}11,2,,21n i -∈- ，又11122n n a a --=，122n n a a =，

令112,2,N n n k i i i --=+≤∈，即有1k a ka =，又11**{|2,2,N,N }N n n k k i i i n --=+≤∈∈=，故对N n *∀∈，1n a na =，显然数列{}n a 是等差数列，D 正确.故选：ACD

10.已知11ln e e 1

0b a c a b c

-+-==>，则（

）

A.a b ≥

B.b c

≥ C.a c

≥ D.2b a c

≥+【答案】BC

【分析】通过多次构造函数，结合函数的性质、选项及11ln e e 1

0b a c a b c

-+-==>进行求解.

【详解】设1ln ()x f x x +=

，2ln ()x f x x

'

=-，当1x >时，()0f x '<，()f x 为减函数；当01x <<时，()0f x '>，()f x 为增函数；所以()f x 的最大值为

(1)1f =，即11ln e e 101b

a c a

b c

-+-<==≤.因为1e 0b

b

->，所以0b >.

设()()1e 0x g x x x -=>，()()12

1e 0x

x g x x --

'+=<，所以当0x >时，()g x 为减函数；

因为(1)1g =，()1(1)g b g ≤=，所以1b ≥.由e 101c c -<

≤可得11e e 1

c <≤-，所以b c >，故B 正确

.设()ln e 2x x x ϕ=-+，()1e x x ϕ'=

-，当1e x >时，()0x ϕ'<，()ϕx 为减函数；当1

0e

x <<时，()0x ϕ'>，()ϕx 为增函数；所以()ϕx 的最大值为10e ϕ⎛⎫

= ⎪⎝⎭，所以()0x ϕ≤，即ln e 2x x ≤-.

e 11ln 1e 2e 1

c a a a c a a a

-++--=≤=.设()e 11

e x h x x x

-=

=-，易知()h x 为增函数，由()()h c h a ≤可得a c ≥，故C 正确.因为()()1e 0x

g x x x

-=>为单调递减函数，1ln ()x f x x +=在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，且()g x 的图象经过()f x 图象的最高点，所以当11ln e

0b

a a b

-+=>时，,a b 的大小无法得出，故A 不正确.

令e a =，则12e e b b -=，得e 2

2e e e e 22

b

b =<⋅，易知e x y x =在()0,∞+为增函数，所以e 2b <，

所以2b a c ≥+不成立，故D 不正确.故选：BC.

【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的常用方法：

（1）作差比较法：作差，构造函数，结合函数最值进行比较；

（2）作商比较法：作商，构造函数，结合函数最值进行比较；（3）数形结合法：构造函数，结合函数图象，进行比较；

（4）放缩法：结合常见不等式进行放缩比较大小，比如，ln 1,e 1x x x x ≤-≥+等.

11.已知222222:(3)9,:(4)1,:(1)(4)1P x y Q x y R x y +-=-+=++-= ．点,,A B C 分别在

,,P Q R 上．则（

）

A.AB 的最大值为9

B.AC 的最小值为2

C.若AB 平行于x 轴，则AB 的最小值为4-

D.若AC 平行于y 轴，则AC 的最大值为1+

【答案】AB

【分析】根据圆心距和两圆的位置关系可得选项AB 正确；将Q 沿x 轴方向向左平移的过程，使得平移后的圆与

P

有公共点的最短平移距离即AB 的最小值，可求得AB 的最小值为4

同理可得AC 的最大值为1即CD 错误.

【详解】因为22:(3)9P x y +-= 的圆心为()0,3P ，半径13r =，

()2

2:41Q x y -+= 的圆心为()4,0Q ，半径21r =，

22:(1)(4)1R x y ++-= 的圆心为()1,4R -，半径31r =，

所以531PQ =>+,,P Q 两圆相离；31PR =

<-，,P R 两圆内含.

对于选项A ：12319AB r r PQ PQ ≤++=++=，当且仅当,,,A B P Q 四点共线时取到等号，故A 正确；

对于B ：因为2PR =

<，所以两圆内含，则

312AC PR ≥--=

,,,A C P R 四点共线时取到等号，故B 正确．

对于C ：试想一个将Q 向左平移的过程，使得平移后的圆与Q 有公共点的最短平移距离即AB 的最小值，如下图所示：

当Q 平移到1Q （图中虚线位置）时与P 相切，此时1AB QQ =，

易知13,4,4OP PQ OQ ===，所以1OQ ==

所以14AB QQ ==-，故C 错误；

同理如下图所示：

当 R 平移到1R （图中虚线位置）时与P 相切，作1,AM R N 垂直于y 轴，,PD AC RE AC ⊥⊥，所以

11

34AM PA PM R N

PR PN

=

=

=

，所以3,4AM DP AD PM ====

115

,,144

RE CE DE =

==，

所以15

114

AC AD DE EC =++=++=+AC

的最大值为1，可得D 错误.故选：AB

12.已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，点P ，Q 分别在正方形1111D C B A 的内切圆，正方形11C D DC 的外接圆上运动，则（

）

A.2PQ CD ⋅≤+

B.||PQ ≥

- C.π8

PAQ ∠>

D.π2

PAQ ∠<

【答案】AB

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示公式、模的坐标表示公式、夹角公式逐一判断即可.

【详解】以A 为原点，1,,AD AA AB

为x ，y ，z

轴正向建立空间直角坐标系．

设点(1cos ,2,1sin ),(2,1,1)P Q ααββ++++，

()()2,0,2,2,0,0C D ，()0,0,2CD =-

，()

1cos sin PQ αββα=--- ，

A

：2(sin )2PQ CD αβ⋅=≤+

，故正确．

B

：

2222||(1cos )1)sin )52cos PQ αββαα=-+-+-=-

-sin βαβ

-5β≥--，

记t β=

，2

2||555PQ t ≥-≥-=-=，故正确；

C ：取11C

D 的中点M ，AM 穿过一侧的外接圆，取11A B 的中点M '，则AM '不穿过，故必存在点P ，使得AP 经过外接圆，设公共点为Q ，此时,,P A Q 共线，故不正确；

D

：假设成立，则2(1cos )2(1)(1sin )(1)0AP AQ αβαβ⋅=+++++>

恒成立，取5π,π4αβ==，则0AP AQ ⋅= ，即π

2

PAQ ∠=，故不正确．故选：AB.

【点睛】关键点睛：建立空间直角系，利用空间向量数量积、模的坐标表示公式进行求解是解题的关键.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知多项式234

01234()f x a a x a x a x a x =++++满足对任意R,(cos )2cos4cos3f θθθθ∈=+，则

1234a a a a -+-=_________（用数字作答）．

【答案】1

【分析】根据二倍角公式进行三角恒等变换，化简后可得即可求解.

【详解】解：由题意得：

(cos )2cos 4cos3f θθθ

=+()222cos 21cos cos 2sin sin 2θθθθθ

=-+-22224(2cos 1)2cos (2cos 1)2sin cos θθθθθ

=--+--42324(4cos 4cos 1)22cos cos 2(1cos )cos θθθθθθ=-+-+---423316cos 16cos 22cos cos 2cos 2cos θθθθθθ=-++--+23423cos 16cos 4cos 16cos θθθθ=--++，

由2

3

4

01234()f x a a x a x a x a x =++++可知：

0123423116

a a a a a =⎧⎪=-⎪⎪

=-⎨⎪=⎪=⎪⎩12343(16)4161a a a a ∴-+-=---+-=.

故答案为：1

14.冰雹猜想是指：一个正整数x ，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就析出偶数因数2n ，这样经过若干次，最终回到1．问题提出八十多年来，许多专业数学家前仆后继，依然无法解决这个问题．已知正整数列{}n a 满足递

推式*

1*31,N ,2

,N ,22n n n n n a a a a a +⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩请写出一个满足条件的首项150a <，使得101a =，而

1(1,2,,9)i a i ≠= _____________．

【答案】12或13（写出一个即可）

【分析】由递推公式，结合101a =及条件1(1,2,,9)i a i ≠= ，依次逆推出981,,,a a a ⋅⋅⋅即可.

【详解】因为*

1*31,N ,2

,N ,22

n n n n n a a a a a +⎧+∉⎪⎪=⎨

⎪∈⎪⎩101a =，所以若9a 为偶数，则91022a a ==，若9a 为奇数，则1091

03

a a -==与已知矛盾；故92a =；所以若9a 为偶数，则24a a ==，若8a 为奇数，则9811

33a a -==与已知矛盾；故84a =；所以若7a 为偶数，则7828a a ==，若7a 为奇数，则871

13

a a -=

=与已知矛盾；故78a =；所以若6a 为偶数，则67216a a ==，若6a 为奇数，则7618

33a a -==与已知矛盾；故616a =；所以若5a 为偶数，则56232a a ==，若5a 为奇数，则561

53

a a -==；故532a =或55a =；余下推导用图表示可得：

()()()()5121282563285214284124816802040510133612⎧⎧⎧⎪⎪⎪←←⎨⎪←←⎪⎨⎪⎩⎪⎪

←←⎪⎪⎩←←←←←⎨

⎧⎪⎧⎪←←⎪⎪⎨

←←⎨⎪⎪⎩

⎪⎪

←←⎩⎩

舍舍舍舍故答案为：12或13（写出一个即可）.

15.设实数0a ≠

，不等式e 2x

ax a -≥对任意实数21x ≥-恒成立，则a 的取值范围为__________．

【答案】30,3⎛ ⎝⎦

【分析】分析可知令0x =，得303a <≤，证明对任意的30,3a ⎛∈ ⎝⎦，

不等式e 2x ax a -≥恒成立即可，构造函数(

)e 2x

g a ax a

=--，结合导数却定函数单调性分段证名即可.

【详解】解：令0x =，得303

a <≤

．

下证：对任意的0,3a ⎛∈ ⎝⎦

，不等式e 2x ax a -≥恒成立．令(

)e 2x

g a ax a

=--①当0x >时，()g a 单调递减，所以(

)32333x g a g x ⎛⎫≥=- ⎪ ⎪⎝⎭

令e x t =，则ln x t =

，则只需证明()03

t

t ϕ=-

≥在()0,∞+上恒成立

由()3t t ϕ=-

'()t ϕ'单调递增，且(1)0ϕ'=，故()t ϕ在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，

所以()(1)0t ϕϕ≥=成立；

②当102x -

≤<

时，12

2e e 212

x

a x -

-≥=>，()g a 单调递减，(

)32333x g a g x ⎛⎫≥=-- ⎪ ⎪⎝⎭

由①可知()t ϕ在1,02⎡⎫

-⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以()(0)(1)0t ϕϕϕ>>=成立．

综上，得证0,

3a ⎛∈ ⎝

⎦

．故答案为：30,3⎛ ⎝⎦

.

16.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>

的离心率e ≠，C 的左右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆C 上满足

122F AF π

∠=

．12F AF ∠的角平分线交椭圆于另一点B ，交y 轴于点D ．已知2AB BD = ，则e =_______．【答案】

32

【分析】根据题意，作图，计算得20AF a ex =-，10AF a ex =+，再设角平分线交x 轴于(,0)T m ，根据角平分线的性质，得到(

)

2

0,0T e x ，进而得到直线AB 的方程，再得到D 点，利用2AB BD =

，得到B 点，然后利用点差法，通过计算化简，可得答案.

【详解】

由点A 在椭圆C 上，且122

F AF π

∠=，设点()()000,,A x y a x a -<<，且1(,0)F c -，2(,0)F c ，则

1AF =

=

0a ex =

=+，同理20AF a ex =-，

设角平分线交x 轴于(,0)T m ，根据角平分线的性质，可知

111

011

sin 4522AF T S AF AT FT y =⋅⋅=⋅⋅ △，222011

sin 4522AF T S AT AF F T y =⋅⋅=⋅⋅ △，

2021

10

a ex T

c m F m c a x AF T AF e F --=++∴==

，解得，2

0m e x =，得()20,0T e x ．可得直线()()2002

0:1y AB y x e x e x =

--．进而可得20

2

(0,1e y D e -⋅-，由2AB BD =

，可得()

2002

(13)(,

)331x y e B e ⋅--，设AB 中点为M ，则023

M x x =．()20

02

223,331x e M y e ⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭

，点差法的结论，证明如下：

设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，M 为AB 中点，

故22

112222

2222

11

x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得，()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，

又由1202x x x +=，1202y y y +=，可整理得，

()()

0120122

2

220x x x y y y a b --+

=，

最后化简得，2

0122012y y y b x x x a

-⋅

=--，进而得到，2

221OM AB

b k k e a

=-=-，

得

()()22022

220

23121e y e e x

-=--．

因为122

F AF π∠=，所以22

21200+0F A A F x y c ⋅=-= ，

联立22

200220022+0+1x y c x y a b ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，解得()

4

202

2222

02b y c a c b x c ⎧=⎪⎪

⎨-⎪=⎪⎩

，所以()

()

2

2

24

022222

121e y b

x e a c b -==

--，故()2

22

231221e e e -=--，解得32

e =．故答案为：

3

2

．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 为线段1AA 的中点，侧面11ABB A

的面积为

2

．（1）若111AA A B =证明：11A C B D ⊥；

（2）求三棱柱111ABC A B C -的体积与表面积之比的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）

1

8

【分析】（1）取AB 中点H ，连接11,,A H C H CH ，证明1CH B D ⊥得到1B D ⊥平面1ACH ，得到证明.（2）计算()2

332

S t =+，38t V =，再利用均值不等式计算得到答案.【小问1详解】

取AB 中点H ，连接11,,A H C H CH ，111A AH A B D ≅，111AA H A B D ∠=∠，则1AH B D ⊥．

1AA ⊥平面ABC ，CH ⊂平面ABC ，故1AA CH ⊥，

CH AB ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂平面11A B BA ，故CH ⊥平面11A B BA ，

1B D ⊂平面11A B BA ，故1CH B D ⊥．

又1A H CH H = ，1,A H CH ⊂平面1ACH ，故1B D ⊥平面1

ACH ．而1

AC ⊂平面1ACH ，故11A C B D ⊥．【小问2详解】

设0AB t =>，表面积()2

133********

S t t t =⨯⨯⨯+⨯=+，

体积213222428

t

V t t t t t =

⨯⨯⨯=⋅=．

()

218

43V S t =≤=+，当且仅当t =等号成立．18.为调查某地区植被覆盖面积x （单位：公顷）和野生动物数量y 的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20个区块，得到样本数据(),(1,2,,20)i i x y i = ，部分数据如下：x … 2.7 3.6 3.2…y

…

57.8

.7

62.6

…

经计算得：

()()()20

20

20

20

2

1

1

1

1

60,1200,80,0i

i i i i i i i i x

y x x x x y y ======-=--=∑∑∑∑．

（1）利用最小二乘估计建立y 关于x 的线性回归方程；

（2）该小组又利用这组数据建立了x 关于y 的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系xOy 下，横坐标x ，纵坐标y 的意义与植被覆盖面积x 和野生动物数量y 一致，（ⅰ）比较前者与后者的斜率大小，并证明；（ⅱ）求这两条直线的公共点坐标．

附：y 关于x 的回归方程ˆˆˆy a bx =+中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()

()

1

2

1

ˆˆˆ,n

i

i

i n

i i x x y y b a

y bx x x ==--==--∑∑．【答案】（1）ˆ836y

x =+（2）（ⅰ）前者斜率小于后者，证明见解析；（ⅱ）(3,60)【分析】（1）利用题中所给数据结合最小二乘法即可得解；

（2）（ⅰ）设前者和后者的斜率分别为12,k k ，分别求出12,k k ，再结合相关系数的公式与性质即可得出结论；（ⅱ）根据两直线均过样本中心点结合（ⅰ）中结论即可得出答案.【小问1详解】解：601200

3,602020

x y =

===,ˆˆ08,60243680b

a ===-=，故回归方程为ˆ836y

x =+；【小问2详解】

解：（ⅰ）设前者和后者的斜率分别为12,k k ，

x 关于y 的线性回归方程为 ()()

()

1

111

2

1ˆˆˆ,n

i

i i n

i

i x

x y y x a b y y

b y

==--=+=-∑∑()()

()

()()()

20

202

1

11220

20

2

1

1

11

ˆ,ˆi i i i i i

i

i i i x x y y y y k b

k b

x

x x

x y y ====---===-=

--∑∑∑∑，

则()()()()2

2021120

20222

1

1

i i i i i

i i x x y y k r k x x y y ===⎡⎤

--⎢⎥⎣⎦==--∑∑∑，r 为y 与x 的相关系数，又12||1,,0r k k ≤>，故1

2

1k k ≤，即12k k ≤，下证：12k k ≠，

若12k k =，则||1r =，即836(1,2,,20)i i y x i =+= 恒成立，代入表格中的一组数据得：58.18 2.736≠⨯+，矛盾，故12k k <，即前者斜率小于后者；

（ⅱ）注意到，两直线都过()x y ，且12k k <，故公共点仅有(3,60)．19.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c

．已知2c =．

（1）求cos C 的最小值；

（2）证明：π

6

C A -≤．【答案】（1）212

-（2）证明见解析

【分析】（1）结合余弦定理、基本不等式求得cos C 的最小值.（2）结合正弦定理、基本不等式求得1sin()2C A -≤，进而证得π

6

C A -≤.【小问1详解】

由余弦定理，22222222

cos 12222

a b c ab c ab C ab ab ab +---=≥==-

，当且仅当a b =

，即::a b c =时等号成立．【小问2详解】方法一：

当C A ≤时，π06

C A -≤<

．当C A >时，设线段AC 的中垂线交AB 于点D ．

()22222222

2

,2cos c a c b b c AD DB c AD A b c a b c a

-===-=+-+-．在CDB △中，由正弦定理，

sin sin()B CD AD

C A DB DB

==-

．

22

2222AD b DB b ==⎛⎫ ⎪⎝⎭

，当且仅当,2a a a =-=时等号成立.

故sin 1sin()22

B C A -≤

≤，由（1）2

cos 102

C ≥->．故π02C A C <-<<．

则π

6

C A -≤

．方法二：

由正弦定理，22sin sin sin sin )C A A B A -=-．

由二倍角公式，22

1

sin sin (cos 2cos 2)2

S C A A C =-=-．而1

[cos()cos()]sin()sin()2

S A C A C A C A C C A C A =

-++----=-+，故2

2sin 2sin (2sin sin )sin 1sin()sin sin 22

B A B A B

C A B B ⎛⎫

⎪-⎝⎭-=≤=≤

，

当且仅当22

sin sin ,sin sin ,22

A B A A B a b =

-=

=时第一个等号成立.由（1）2

cos 102

C ≥->，故π02C A C <-<<．

则π

6

C A -≤

．20.设点A 为双曲线2

2

:13

y C x -=的左顶点,直线l 经过点(1,2)-,与C 交于不与点A 重合的两点P ,Q ．

（1）求直线,AP AQ 的斜率之和;

（2）设在射线AQ 上的点R 满足APQ ARP ∠=∠,求直线PR 的斜率的最大值．【答案】（1）3-（2）5

12

-

【分析】（1）平移，利用齐次化的方法求解

（2）利用平面几何知识，将几何问题转化为2AP AQ AR =⋅，求出R 的坐标，最后直线PR 的斜率用,AP AQ 的斜率表示，即可求解【小问1详解】由题知(1,0)A -.

由于平移不改变斜率,作平移变换1x x y y ''=+⎧⎨=⎩

.

则A 点的坐标变为(0,0)A ,点(1,2)-的坐标变为(0,2)

双曲线C 方程变为(

)

22

113y x ''

--=,即22203

y x x '''

--=①

设点(),x y ''与A 点连线的斜率为k ,则y

k x

'

'=.

①式两边同除以2

x ',得2

21103y x x '''⎛⎫--= ⎪⎝⎭

,即212103k x '+-=②

由题知,直线PQ 不过点(0,0)A ,所以设直线:1PQ mx ny ''+=因为直线PQ 过点(0,2)P ,所以21n =,即12n =

,所以1:12

PQ mx y '

'+=

所以11122y m m k x x '''⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,代入(2)得212103

k k m ++-=方程的两根即为AP ,AQ 的斜率,由韦达定理123k k +=-所以直线AP ,AQ 的斜率之和为3-【小问2详解】

(2)设AP 斜率为1,k AQ 斜率为2

k 联立2

21203y x x y k x ''⎧--

=='''

⎪⎨⎪⎩,得1221166,33k P k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭.联立2

22203y x x y k x ''⎧--

=='''

⎪⎨⎪⎩

,得2222266,33k Q k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭.

由APQ ARP ∠=∠可知,AP 为PQR 外接圆的切线,且2AP AQ AR =⋅设()

2,R r k r (

)()

()2

2

1222

2

2

2

136161,33k k r

AP AQ AR k k ++=

⋅=--所以

(

)()

()2

2122

2

22

1

3616133k k r

k k ++=--即

(

)(

)

()2

2122

2

2

2

161133k k r

k k ++=--,即(

)()(

)()

22

12

2

2

21261331k k r k k +-=

-+(

)()()()()()()()22

12

1

1

2

2

2222

21

1

2

1221

2

22

21

221

1

2

613663313661363331PQ

k k k k k k r k k k k

k k k r k

k

k k +-----+-==

+------+()()()()()()()()221

2

2

1

221

2

221

2

221

2

133113131k k k k k k k k k k +---+=+---+()()()()()()()()

()()()222222222

1

2

1

1

2

1

2

1

2

1212

2222221

2

1

2

1

2

133********k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k +---+-+++-==

+---+-()()

()2

2

22

22

1212121212121223

152654121212

k k k k k k k k k k k k k k +++-++++=

==≤-

+--当12123

1

k k k k +=-⎧⎨

=-⎩时取等

所以,直线PR 的斜率的最大值为512

-

【点睛】关键点点睛：本题的关键是条件APQ ARP ∠=∠的等价转化，需要运用初中学习的弦切角定理.另外就是

对含有1k ，2k 这个式子的处理，运算量很大，分子展开后还需要因式分解，最终转化为21k k ⋅的二次函数问题.21.已知数列{}n a 满足：

①对任意质数p 和自然数n ，都1n p a n =+；②对任意互质的正整数对(,)m n ，都有mn m n a a a =．

（1）写出{}n a 的前6项，观察并直接写出n a 与能整除n 的正整数的个数的关系(

)N n *

∈；

（2）设数列2n n

a ⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

的前n 项和为n S ，证明：()

5N 3n S n *<∈．【答案】（1）{}n a 的前6项分别为1，2，2，3，2，4；n a 的大小与能整除n 的自然数个数相同．（2）证明见解析

【分析】（1）根据题意赋值可得{}n a 的前6项，然后根据前6项的值即可得出结论；

（2）方法一：由（1）得出*

*1,N 22

1,N 2

2n n n a n n +⎧∉⎪⎪≤⎨⎪+∈⎪⎩，然后分2n k =和21n k =-两种情况进行证明即可；

方法二：设1112121

2221

111

112222

22n n n T ⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫

=++++++++

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

121

112

22n n n n

⋅⋅⋅⎛⎫

++++ ⎪⎝⎭

，利用不等式的放缩即可求解.【小问1详解】

令0n =，则1011a =+=；令2,1p n ==，则2112a =+=；令3,1p n ==，则3112a =+=；令2,2p n ==，则4213a =+=；令5,1p n ==，则5112a =+=；令2,3m n ==，所以6234a a a ==，所以{}n a 的前6项分别为1，2，2，3，2，4．

观察归纳可知，n a 的大小与能整除n 的自然数个数相同．【小问2详解】方法一：

由（1），因为大于2n 小于n 的数不被n 整除，故*

*

1,N 22

1,N 2

2n n n a n n +⎧∉⎪⎪≤⎨

⎪+∈⎪⎩当2n k =为偶数时，

212342121123142112111222222222222k k k k k S -++-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫

+++ ⎪ ⎪ ⎪≤++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

2222311321312122k k ⋅⋅+⋅++=

+++

⋅ 244311321

314k k ⋅+⋅++=+++ 122344444142424314

33333

4444k

-⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+⋅+⋅+ ⎪ ⎪-=

+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1

4444(1)3344k k k k +⎛⎫+++ ⎪+- ⎪ ⎪⎝⎭

1

4

4(1)5153334

43

k k k +++

=

--<⋅．

21n k =-为奇数时，2125

3

k k S S -<<

，得证．方法二：设1112121

2221111

112222

22n n n T ⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=++++++++

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1

21

112

22n n n n ⋅⋅⋅⎛⎫

++++ ⎪⎝⎭

．先说明(

)N

n n S T n *

≤∈．

n T 中为

1

(1,2,,)2k

k n = 的项数恰为(1,)ij k i j n =≤≤的正整数解数k a ，故12

12222n n n n a a a T S ≥

+++= ．再证()5

N 3

n T n *<

∈．1n =时，115

23

T =

<成立；2n ≥时，221212

1111111112221

11222111222n

n

n n n n T ⎛⎫⎛⎫⎛

⎫--- ⎪ ⎪ ⎪=+++

⎪

⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪

⎝⎭⎝

⎭⎝

⎭

12111212121

n

<

+++--- 211111322n -⎛⎫≤++++ ⎪⎝⎭ 121511323n -⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭．22.已知直线l 与曲线2

ln y x =相切于点(

)()2

00

0,ln e x x x >．证明：

（1）l 与曲线2ln y x =恰存在两个公共点(

)()()

2

'2

''00

,ln ,,ln x x x x x x <；

（2）'

0023e x x +>．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【分析】（1）将原函数与切线方程作差构造函数，证明该函数有2个零点即可；（2）将原问题转化为均值不等式，利用（1）所构造的函数特性求解.【小问1详解】

'

2ln x y x

=，所以在()2

00

,ln x x 处的切线方程为()200002ln ln x y x x x x =-+，令()2

20

000

2ln ()ln ln x f x x x x x x =-

--，则原问题转化为()f x 存在2个零点：'00,x x ，并且'00x x ＜，'002ln 2ln ()x x f x x x =

-令()()'002ln 2ln x x h x f x x x ==-，则()'

2(1ln )x h x x

-=，显然()h x 在(0,e)递增，(e,)+∞递减，0e x ＞，∴()()0e 0h h x =＞，0

2ln (1)0x h x =-<，故存在唯一的1(1,e)x ∈，使得()()'

110,()

f

x h x f x ==在()10,x 递减，()10,x x 递增，()0,x +∞递减，

并且()22

2000002000002ln 2ln 111ln ln 10x x f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=-

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

＞，()()2201110002ln ln ln x f x x x x x x =-

--，()'00111

11010100

2ln ln 2ln ln ln 0,,ln x x x x x f x x x x x x x x =

-=∴== ，

()2222

01110001010

002ln ln ln ln ln ln 2ln 2ln ln x x f x x x x x x x x x x x ⎛⎫=--

-=--+ ⎪⎝⎭

()()1010ln ln ln ln 2x x x x =-+-，

1010,ln ln 0x x x x ∴- ＜＜，下面证明10ln ln 2x x +＞：

令11ln t x =，则101t ＜＜，00ln t x =，则01t ＞，由于0110ln ln x x x x =，即01

01e e

t t t t

=，考察函数()e t t p t =

，则()'

1e t

t p t -=，当1t ＞时单调递减，01t ＜＜时单调递增，()11e

p =，并且当0t ＞时，()0p t ＞，()

p t

的图像大致如下图：

下面证明极值点偏移问题：令()()()222e e

t

t t t

k t p t p t --=--=

-()1t ＞，

()()2'

2

e e 1e t t k t t -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭

，21,2,e e 0t t

t t t -∴-- ＞＞＞，()'0k t ＜，()k t 是减函数，()()10k t k =＜，∴102t t +＞，即10ln ln 2x x +＞，()10f x ∴＜，

由于()00f x =，()f x 的大致图像如下图：

故存在()''00001,,0x x f x x ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，并且只有当'0x x ＜时，()＞0f x ，当'0x x ＞时()0f x ≤；

【小问2详解】

先证明2'300e x x >，即3

'0

20e x x >，由（1）的结论知，只需证明320e 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即332200022000e 2ln e ln ln 0x x x x x x ⎛⎫---> ⎪⎝⎭

，即2

3333322000003333300000e e e e e ln ln ln 2ln 1ln 2ln ln 2ln 10x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+---=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ＞，整理，只需()()()3000300

31ln 3ln e 1e 2ln x x x x x --->->，令0ln 1t x =>，即证

()()33313e 12t t t t ----＞，即333(1)(3)()e 112t t t t t ϕ---⎡⎤=+>⎢⎥⎣⎦，333

'29e (1)()0,()2t t t t t

ϕϕ--=>在(1,)+∞递增()(1)1t ϕϕ>=，得证．由均值不等式：'''23000000000

,233e x x x x x x x x x '∴+=++＞＞＞，故0023e x x '+>．【点睛】本题难度很大，先要将公共点问题转化为零点问题，在判断()1f x 的符号的时候需要用到极值点偏移的知识，在草图上画出()'f x 的图像，在判断出()f x 的图像，并且只有当

'0x x ＜时，()f x 才大于零这个图形特征，才能在第二问中运用基本不等式.