三角恒等变换知识总结

2014/10/24

一、基本内容串讲

1． 两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±= 对其变形：tan α＋tan β=tan(α+β)(1- tan αtan β)，有时应用该公式比较方便。

2． 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：

sin 2sin cos ααα=. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.

22tan tan 21tan ααα

=

-. 要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．特别注意公式的三

角表达形式，且要善于变形， 22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式常用。

3.辅助角公式：sin cos 4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭cos 2sin 6x x x π⎛⎫±=± ⎪⎝

⎭

()sin cos a x b x x ρ+=+.

4.简单的三角恒等变换

（1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。

（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。

（3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。

（4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。

5.常用知识点：

（1）基本恒等式：22sin sin cos 1,tan cos ααααα

+==（注意变形使用，尤其‘1’的灵活应用，求函数值时注意角的范围）；

（2）三角形中的角：A B C π++=，sinA sin(B ),cosA cos(B C)C =+=-+；

（3）向量的数量积：cos ,a b a b a b =，

1212a b x x y y =+，12120a b x x y y ⊥⇔+=1221//0a b x y x y ⇔-=； 二、考点阐述

考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式

1、sin 20cos 40cos 20sin 40+的值等于（ ）

2、若tan 3α=，4

tan 3β=，则tan()αβ-等于（ ）

3、若3,4π

αβ+=则(1tan )(1tan )αβ--的值是________．

4、(1tan1)(1tan 2)(1tan3)(1tan 44)(1tan 45)+︒+︒+︒+︒+︒=_______________.

考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式

5、cos 5πcos 52π

的值等于（ ） (提示:构造分子分母)

6、cos 20cos 40cos60cos80=（ ）

7、 已知322A π

π<<，且3

cos 5A =，那么sin 2A 等于（ ）

考点3运用相关公式进行简单的三角恒等变换

8、已知,41)4tan(,52

)tan(=-=+πββα则)4tan(π

α+的值等于（ ）

9、已知,31

cos cos ,21

sin sin =+=+βαβα则)cos(βα-值等于（）

10、函数22()cos ()sin ()11212f x x x π

π

=-++-是（ ）

（A ）周期为2π的奇函数 （B ）周期为2π的偶函数

（C ）周期为π的奇函数 （D ）周期为π的偶函数

4、常见题型及解题技巧（另外总结）

（一）关于辅助角公式：()sin cos a x b x x ρ+=+.

其中

cos ϕϕ==）

如：1.若方程sin x x c =有实数解，则c 的取值范围是____________.

2.2cos 3sin 2y x x =-+的最大值与最小值之和为_____________.

7．若2

tan(),45π

α+=则tan α=________.

（二）三角函数式的化简与求值

[例1] 1.00

00cos15sin15cos15sin15-+； 2.00sin 50(1);

3. 求tan 70tan 503tan 70tan 50+-值;

4.△ABC 不是直角三角形，求证：C B A C B A tan tan tan tan tan tan ••=++

（三）三角函数给值求值问题

1. 已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6

)的值是_____________; 2. 已知54cos(),cos ,,135

αββαβα+==均为锐角，求sin 的值。 3.33350,cos ,sin 4445413ππππβααβ⎛⎫⎛⎫<<

<<-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()sin αβ+的值．

（四） 三角函数给值求角问题

1.若

且A,B 均为钝角,求A+B 的值. 2.已知,(,)22

ππαβ∈-，且tan ,tan αβ

是方程240x ++=的两个根，求αβ+． 3.已知αβγ，均为锐角，且1tan 2α=

，1tan 5β=，1tan 8γ=，则αβγ++的值（ ） Ａ．π6 Ｂ．π4

Ｃ．π3 Ｄ．5π4

4.已知1tan 7α=,1tan 3

β=,并且,αβ均为锐角，求2αβ+的值. （五）综合问题（求周期，最值，对称轴，增减区间等） 1.(2010·北京)已知函数2()2cos 2sin f x x x =+.

(1)求()3

f π

的值；(2)求()f x 的最大值和最小值． 2.已知函数()2sin()cos f x x x π=-.

(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区间[,]62

ππ-

上的最大值和最小值；（3）求函数在(,)ππ-的单调区间。

三、解题方法分析

1．熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上寻找切入点

【方法点拨】三角函数中出现的公式较多，要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系，做到真正的理解、记熟、用活。解决问题时究竟使用哪个公式，要抓住问题的实质，善于联想，灵活运用。

例1设2132tan13sin 50cos 6sin 6,,,221tan 132cos 25

a b c =-==+则有（ ）

【点评】：本题属于“理解”层次，要能善于正用、逆用、变用公式。例如：

sin αcos α=α2sin 21，cos α=αα2sin sin2，ααα2cos sin cos 22=-，αα

α2tan tan -12tan 2=，

2)cos (sin cos sin 21αααα±=±，αα2cos 22cos 1=+，αα2sin 22cos 1=-，

2

2cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α，tan α＋tan β=tan(α+β)(1- tan αtan β)等。另外，三角函数式asinx+bcosx 是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为)x sin(b a 22φ++即asinx+bcosx=)x sin(b a 22φ++（其中tan b a ϕ=

）是常用转化手段。特别是与特殊角有关的sin ±cosx ，±sinx ±3cosx ，要熟练掌握其变形结论。

2．明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上寻找突破口

（1）运用转化与化归思想，实现三角恒等变换`

【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归的思想，

应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证明中角、名称、形式的变换问题。

例2． 已知2π＜β＜α＜

4π3，cos （α－β）=1312，sin （α+β）=－5

3，求sin2α的值．（－6556 （本题属于“理解”层次，解答的关键在于分析角的特点， 2α=（α－β）+（α+β））

例2解答：

例3．化简：［2sin50°+sin10°（1+3tan10°）．

【解析】：原式=

．

【点评】：本题属于“理解”层次, 解题的关键在于灵活运用“化切为弦”的方法，再利用两角和与

差的三角函数关系式整理化简．化简时要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数

尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的尽量求出值来。

（2）运用函数方程思想，实现三角恒等变换

【方法点拨】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换。因此，有时在三角恒等变

换中，可以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解。 例4：已知sin （α+β）=

32，sin （α－β）=43，求2tan()tan tan tan tan()αβαββαβ+--⋅+的值．。 【解析】

2tan()tan tan tan tan()αβαββαβ+--⋅+=2tan()tan()(1tan tan )tan tan()

αβαβαβααβ+-+-⋅⋅+=βαtan tan =－17 【点评】：本题属于“理解”层次，考查学生对所学过的内容能进行理性分析，善于利用题中的条件

运用方程思想达到求值的目的。

（3）运用换元思想，实现三角恒等变换

【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简，促使未知向已知转化，可以利用特定的关系，把某个

式子用新元表示，实行变量替换，从而顺利求解，解题时要特别注意新元的范围。

例5：若,2

2sin sin =+βα求βαcos cos +的取值范围。 【解析】：令cos cos t αβ+=，则2221(sin sin )(cos cos ),2

t αβαβ+++=+

【点评】：本题属于“理解”层次，解题的关键是将要求的式子βαcos cos +看作一个整体，通过

代数、三角变换等手段求出取值范围。

3．关注三角函数在学科内的综合，从知识联系上寻找结合点

【方法点拨】三角函数在学科内的联系比较广泛，主要体现在与函数、平面向量、解析几何等知识的

联系与综合，特别是与平面向量的综合，要适当注意知识间的联系与整合。

例6：已知：向量(3,1)a =- ，(sin 2,b x =cos 2)x ，函数()f x a b =⋅

（1）若()0f x =且0x π<<，求x 的值； 12x π

=或712

π （2）求函数()f x 取得最大值时，向量a 与b 的夹角．

【解析】：∵()f x a b =⋅2cos 2x x -

（2）2sin(2)6

x π=- ∴max ()2f x =，当()2f x =时，由||||cos ,2a b a b a b ⋅=⋅<>= 得cos ,1||||

a b a b a b ⋅<>==⋅，0,a b π≤<>≤ ∴,0a b <>= 【点评】：本题属于“理解”中综合应用层次，主要考查应用平面向量、三角函数知识

的分析和计算能力.

四、课堂练习

1．s in165º= （ ） A ．2

1 B ．23 C ．426+ D ． 426- 2．s in14ºcos16º+sin76ºcos74º的值是（ ） A ．

23 B ．21 C ．23 D ．21- 3．已知(,0)2x π

∈-，4cos 5

x =，则=x 2tan （ ） A ．247 B ．247- C ．724 D ．724- 4．化简2sin （4π－x ）·sin（4

π+x ），其结果是（ ） Ａ．sin2x Ｂ．cos2x Ｃ．－cos2x Ｄ．－sin2x

5．sin 12π—3cos 12

π的值是 （ ） A ．0 B ． —2 C ． 2 D ． 2 sin

125π 6．)( 75tan 75tan 12的值为︒︒-

A ．32

B ．332

C ． 32-

D ．332- 7．若3

cos 2

5θ=，4sin 25θ=-，则角θ的终边一定落在直线（ ）上。 A ．7240x y += B ．7240x y -= C ．2470x y += D ．2470x y -=

7 8．()()._________sin sin cos cos =+++ββαββα

9．

15tan 115tan 1+-＝

10．tan 20tan 403tan 20tan 40++的值是 .

11．求证：2cos 1sin 24cot tan 22

θθθθ=-． 12．已知1

tan 23

α=，求tan α的值．

13．已知,135)4sin(,40=-<4cos(2cos x x

+π的值。

14．若()π,0∈A ,且137cos sin =+A A , 求A A A

A cos 7sin 15cos

4sin 5-+的值。

15．在△ABC 中，若sin A sin B =cos 22C ，则△ABC 是（ ）

A ．等边三角形

B ．等腰三角形

C ．不等边三角形

D ．直角三角形

16．化简θθθ

θ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+．

17.求证：αα

αααtan 1tan 1sin cos cos sin 2122+-=-⋅-a ．

18． 已知sin α=1312，sin （α+β）=54，α与β均为锐角，求co s 2β

．

.