惠州市2019届高三第一次调研考试文科数学试题及答案详细解析版(精美word版,精校版)

               文科数学           2018.07

全卷满分150分，时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1．已知集合，，则（   ）

(A)         (B)          (C)         (D) 

2．复数的共轭复数是（　　）

(A)           (B)             (C)           (D)

3．已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，其中一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（   ）

(A) 或       (B) 或        (C)      (D) 

4．下列有关命题的说法错误的是（   ）

(A)若“”为假命题，则与均为假命题；

(B)“”是“”的充分不必要条件；

(C)若命题，则命题；

(D)“”的必要不充分条件是“”.

5．已知等差数列的前项和为，且，，则（    ）  

(A)              (B)               (C)             (D)  

6．已知数据，，，，的平均值为2，方差为1，则数据，，，相对于原数据（    ）

(A) 一样稳定                         (B) 变得比较稳定    

 (C) 变得比较不稳定     (D) 稳定性不可以判断

7．如图所示,黑色部分和白色部分图形是由曲线，，，

及圆构成的.在圆内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是（    ）

(A)       (B)        (C)         (D) 

8．若实数x，y满足的约束条件，则函数的最大值是（    ）

(A)         (B)          (C)         (D) 

9．函数在内（    ）

（A）没有零点                           （B）有且仅有一个零点

（C）有且仅有两个零点                   （D）有无穷多个零点

10． “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体。它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）。其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线。当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（　　）

      (A)             (B)              (C)             (D)

11．已知函数 的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是（     ）

(A)         (B)          (C)         (D) 

12．已知函数是定义在上的偶函数，设函数的导函数为，若对任意都有成立，则（    ）

(A)            (B) 

(C)            (D) 

二．填空题：本题共4小题，每小题5分。

13．已知向量，且与共线，则的值为　　　．

14．过点作圆的切线，则切线的方程为      ．

15．已知等比数列的前项和为，若，则的公比等于     ．

16．已知点在同一个球的球面上，，，若四面体的体积为，球心恰好在棱上，则这个球的表面积为________．

三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

在中，角，，所对的边分别为，，，满足．

（1）求角的大小；

（2）若，，求的面积．

18．（12分）

某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．

(1)上表是年龄的频数分布表，求正整数的值；

(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？

(3)在(2)的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．

19．（12分）

如图，四棱锥中，底面为矩形，面，为的中点．

（1）证明：平面;

（2）设，，三棱锥的体积 ，求点到平面的距离．

20．（12分）

已知椭圆： 的离心率为，且椭圆过点．

过点作两条相互垂直的直线、分别与椭圆交于、、、四点． 

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若， ，探究：直线是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．

21．（12分）

已知函数．

（1）当时，求实数的值及曲线在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径．

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）若，直线的参数方程为（为参数），直线交圆C于A、B两点，求弦长的取值范围．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数．

（1）若恒成立，求的取值范围；

（2）当时，解不等式：．

惠州市2019届高三第一次调研考试

数学（文科）参

一、选择题（每小题5分，共60分）

2．C   【解析】，其共轭复数为；    

3．D

【解析】焦点在x轴上，则方程为（），所以，则，

故选D.

4．D

【解析】由题可知：时，成立，所以满足充分条件，但时，，所以必要条件不成立，故D错

5．B

【解析】由等差数列可知，所以，故选B .

6．C

【解析】因为数据，，，，的平均值为2，所以数据，，，的平均值也为2，因为数据，，，，的方差为1，所以，所以，所以数据，，，的方差为，因为，所以数据，，，相对于原数据变得比较不稳定．故选C.

7．A

【解析】由于图形关于原点成中心对称，关于坐标轴成轴对称，可知黑色部分图形构成四分之一个圆，由几何概型，可得，故选A.

8．B

【解析】画出不等式组表示的平面区域，在点处取得最大值，

∴．故选

9．B

【解】 （方法一）数形结合法，令，则，设函数和，它们在的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数在内有且仅有一个零点；

（方法二）在上，，，所以；

在，，所以函数是增函数，又因为，，所以在上有且只有一个零点．

10. B

【解析】因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合在一起的方形伞，所以其正视图和侧视图是一个圆。俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，所以俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选B；

11．D

【解析】分析：先根据函数的最小正周期为，求出的值，再由平移后得到为偶函数，可得，进而可得结果.

详解：由函数的最小正周期为 ，可得，

，将的图象向左平移个单位长度，得的图象，

平移后图象关于轴对称，，，，

故选D.

12．A

【解析】设在上是增函数，易得是偶函数，故选A.

二、填空题：（每小题5分，共20分）

13．          14.            15.           16. 

13．向量，，，又与共线，可得，解得．

14． 

【解析】点A在圆C上，且半径AC所在直线的斜率为，而直线，则切线的斜率

，由直线方程的点斜式得，故切线的方程为

15．【解析】由得，所以，

所以，所以.

16．

【解析】分析：确定 外接圆的直径为 圆心 为的中点，求出球心到平面 的距离，利用勾股定理求出球的半径，即可求出球的表面积．

详解：∵，  外接圆的直径为，圆心 为的中点

∵球心恰好在棱上，则为球的直径，则 由球的性质，平面，则平面，即为三棱锥的高，由四面体的体积为，可得 ，

∴球的半径为 

∴球的表面积为 ．

即答案为．

或者构造长方体，把三棱锥放入长方体比较简单。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．解：

（1）中，由条件及正弦定理得，    ……………………1分

∴.                            ……………………2分

∵，，                                          ……………………4分

∵，∴.                                              ……………………6分

（2）∵，，

由余弦定理得

，                                              ……………………8分

∴.                                               ……………………10分

∴.                             ……………………12分

18．(1)；(2) 第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人；(3).

解：

(1)由题设可知，，.      ……………………2分

(2)因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，

利用分层抽样在300名学生中抽取名学生，每组抽取的人数分别为：

第1组的人数为，第2组的人数为，第3组的人数为，

所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．                         ……………………6分

(3)设第1组的1位同学为，第2组的1位同学为，第3组的4位同学为，则从6位同学中抽两位同学有：

  共种可能．                 ……………………9分

其中2人年龄都不在第3组的有：共1种可能，

所以至少有1人年龄在第3组的概率为．                ……………………12分

19．（1）证明见解析        （2）到平面的距离为

(I）证：设BD交AC于点O，连结EO。 

因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点。

又E为PD的中点，所以EO∥PB    

又EO平面AEC，PB平面AEC

所以PB∥平面AEC。                                           ……………………5分

（II）解：由，可得.

作交于。

由题设易知，所以故，

又所以到平面的距离为        ……………………12分

法2：等体积法

由，可得.

由题设易知,得BC

假设到平面的距离为d，

又因为PB=

所以

又因为(或)，

，所以                              ……………………12分

20．（1）（2）

解：（Ⅰ）由题意知，，解得，

故椭圆的方程为.                             ……………………4分

（Ⅱ）∵，，∴、分别为、的中点.   ……………………5分

当两直线的斜率都存在且不为0时，设直线的方程为，    

则直线的方程为，，，，，

联立，得，∴，

∴，，                          ……………………8分

∴中点的坐标为；

同理，中点的坐标为，∴， ……………………9分

∴直线的方程为，

即，∴直线过定点；          ……………………10分

当两直线的斜率分别为0和不存在时，则直线的方程为，也过点；………………11分

综上所述，直线过定点.                          ……………………12分

21．

解：（1）函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），

求导，            ……………………2分

由f'（1）=0，解得m=﹣1                                   ……………………3分

从而f（1）=﹣1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=﹣1．　……………………5分　

（2）由，

当m≥0时，函数y=f（x）的减区间为（0，），增区间为（，+∞）     ……………………6分

当m＜0时，由，得，或，      ……………………7分

当m＜﹣2时，y=f（x）的减区间为（0，﹣）和（，+∞）增区间为（﹣，）；……………8分

当m=﹣2时，y=f（x）的减区间为（0，+∞）没有增区间．                 ……………………9分

当﹣2＜m＜0时，y=f（x）的减区间为（0，）和（﹣，+∞），增区间为（，﹣）…………10分

综上可知：当m≥0时，函数y=f（x）的减区间为（0，），增区间为（，+∞）；

当m＜﹣2时，y=f（x）的减区间为（0，﹣）和（，+∞）增区间为（﹣，）；

当m=﹣2时，y=f（x）的减区间为（0，+∞）没有增区间；

当﹣2＜m＜0时，y=f（x）的减区间为（0，）和（﹣，+∞），增区间为（，﹣）．…………12分

22．解：

（1）∵点C的直角坐标为，                     …………1分

∴圆C的直角坐标方程为．         …………2分

化为极坐标方程是            …………4分

（2）将代入圆C的直角坐标方程， 

得，即．                           …………6分

∴，．                                         …………7分

∴．     …………9分

∵，∴，

∴．即弦长|AB|的取值范围是      …10分

23．解：（1）由题意，得，对∀x∈R恒成立，即，

又，∴，

解得；  …………4分

（2）当时，不等式可化为，

当时，变形为，解得，此时不等式解集为；

当时，变形为，解得：，此时不等式解集为；

当时，不等式解得：，此时不等式解集为，

综上，原不等式的解集为．                …………10分