抛物线专题复习讲义及练习 答案

1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ()：

2.抛物线的焦半径、焦点弦

①的焦半径;的焦半径；

② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.

③ AB为抛物线的焦点弦，则  ，，=

考点1 抛物线的定义

题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换

[例1 ]已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为            

【解题思路】将点P到焦点的距离转化为点P到准线的距离

[解析]过点P作准线的垂线交准线于点R，由抛物线的定义知，，当P点为抛物线与垂线的交点时，取得最小值，最小值为点Q到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为3

【名师指引】灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关

【新题导练】

1.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、、成等差数列， 则有       （　　）

A．             B． 

C．             D. 

［解析］C   由抛物线定义，即：． 

2. 已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时,

    M点坐标是                                          (     )

A.      B.        C.      D. 

[解析] 设M到准线的距离为,则，当最小时，M点坐标是，选C

考点2  抛物线的标准方程

题型:求抛物线的标准方程

[例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：

(1)过点(-3,2)            (2)焦点在直线上

【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论.

[解析] (1)设所求的抛物线的方程为或,

      ∵过点(-3,2)      ∴

      ∴

      ∴抛物线方程为或,

前者的准线方程是后者的准线方程为

   (2)令得，令得，

     ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,

     ∴，此时抛物线方程;焦点为(0,-2)时

     ∴，此时抛物线方程.

     ∴所求抛物线方程为或,对应的准线方程分别是.

【名师指引】对开口方向要特别小心，考虑问题要全面

【新题导练】

3.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值          

[解析]

4. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且，求此抛物线的方程

[解析] 设点是点在准线上的射影，则，由勾股定理知，点A的横坐标为，代入方程得或4，抛物线的方程或

考点3  抛物线的几何性质

题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证

[例3 ]设A、B为抛物线上的点,且(O为原点),则直线AB必过的定点坐标为__________.

【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置

［解析］设直线OA方程为,由解出A点坐标为

解出B点坐标为，直线AB方程为,令得，直线AB必过的定点

【名师指引】（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB, 求交点即可；（2）B点坐标可由A点坐标用换k而得。

【新题导练】

6. 若直线经过抛物线的焦点，则实数        

[解析]-1

7.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射影为,则                                                        (    )

     A.     B.     C.      D.   

[解析]C

基础巩固训练

1.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线（  ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.有且仅有一条     B.有且仅有两条      C.1条或2条      D.不存在

[解析]C     ，而通径的长为4．

2.在平面直角坐标系中，若抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为5，则点P的纵坐标为　（　　）

A. 3                B. 4              C. 5              D. 6

[解析] B  利用抛物线的定义，点P到准线的距离为5，故点P的纵坐标为4．

3.两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且则抛物线的焦点坐标为(  ) 

A． B． C． D．

[解析] D. 

4. 如果，，…，是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，，…，，F是抛物线的焦点，若成等差数列且，则=（  ）．

A．5B．6C． D．9 

[解析]B     根据抛物线的定义，可知（，2，……，n），成等差数列且,,=6

5、抛物线准线为l，l与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AB⊥l，垂足为B，则四边形ABEF的面积等于（ ）

    A．       B．        C．           D．

[解析] C. 过A作x轴的垂线交x轴于点H，设，则，

四边形ABEF的面积=

6、设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为             ．

[解析].  

过A 作轴于D，令，则即，解得．

综合提高训练

7.在抛物线上求一点，使该点到直线的距离为最短，求该点的坐标

[解析]解法1：设抛物线上的点，

点到直线的距离，

当且仅当时取等号，故所求的点为

解法2：当平行于直线且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为，代入抛物线方程得，

由得，故所求的点为

8. 已知抛物线（为非零常数）的焦点为，点为抛物线上一个动点，过点且与抛物线相切的直线记为．

（1）求的坐标；

（2）当点在何处时，点到直线的距离最小？

解：（1）抛物线方程为 

故焦点的坐标为 

（2）设 

直线的方程是

9. 设抛物线（）的焦点为 F，经过点 F的直线交抛物线于A、B两点．点 C在抛物线的准线上，且BC∥X轴．证明直线AC经过原点O．

证明:因为抛物线（）的焦点为，所以经过点F的直线AB的方程可设为

    ，代人抛物线方程得

        ．

    若记，，则是该方程的两个根，所以

．

因为BC∥X轴，且点C在准线上，所以点C的坐标为，

故直线CO的斜率为

即也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．

10.椭圆上有一点M（-4，）在抛物线（p>0）的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.

（1）求椭圆方程；

（2）若点N在抛物线上，过N作准线l的垂线，垂足为Q距离，求|MN|+|NQ|的最小值.

解：（1）∵上的点M在抛物线（p>0）的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.

∴c=-4，p=8……①

∵M（-4，）在椭圆上

∴……②

∵……③

∴由①②③解得：a=5、b=3

∴椭圆为

由p=8得抛物线为

设椭圆焦点为F（4，0），

由椭圆定义得|NQ|=|NF|

∴|MN|+|NQ|≥|MN|+|NF|=|MF|

=，即为所求的最小值.