2023年天津市中考数学真题(解析版)

数学

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页，试卷满分120分．考试时间100分钟．

答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回．祝你考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1．每题选出答案后，用2B 铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点．

2．本卷共12题，共36分．

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.计算()122骣�鞔-琪桫的结果等于（

）A.5

2 B.1 C.1

4 D.1

【答案】D

【解析】

【分析】根据有理数的乘法法则，进行计算即可．【详解】解： 1212

；故选D ．

【点睛】本题考查有理数的乘法．熟练掌握有理数的乘法法则，是解题的关键．

2.估计的值应在（）

A.1和2之间

B.2和3之间

C.3和4之间

D.4和5之【答案】B

【解析】

．

【分析】由于4＜6＜9 ，从而有23

【详解】解：∵4＜6＜9，

，

∴23

故选B．

【点睛】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．

3.如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据主视图的定义判断．

【详解】根据主视图的定义，从正面（图中箭头方向）看到的图形应为两层，上层有2个，下层有3个小正方形，

故答案为：C．

【点睛】本题考查主视图的定义，注意观察的方向，掌握主视图的定义判断是解题的关键．

4.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）

A.全

B.面

C.发

D.展

【答案】A

【解析】

【分析】根据轴对称的定义判断即可；

【详解】解：全面发展四个字中，可以看作是轴对称图形的是全；

故选A．

【点睛】本题考查了轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴；掌握定义是解题关键．

5.据2023年5月21日《天津日报》报道，在天津举办的第七届世界智能大会通过“百网同播、万人同屏、

亿人同观”，全球网友得以共享高端思想盛宴，总浏览量达到935000000人次，将数据935000000用科学记数法表示应为（

）A.9

0.93510 B..3510 C.793.510 D.693510 【答案】B

【解析】

【分析】根据科学记数法的表示方法进行表示即可．

【详解】解：350000009.3510 ；

故选B ．【点睛】本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法：

11100 n a a ，n 为整数，是解题的关键．

6.sin 452

的值等于（）A.1 B. C.

D.2【答案】B

【解析】

【分析】先根据特殊角的三角函数值进行化简，再进行二次根式的加法运算即可．

【详解】解：sin 45222

故选：B ．

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和二次根式的加法运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．

7.计算

21211x x 的结果等于（）A.1

B.1x

C.11x

D.211x 【答案】C

【解析】

【分析】根据异分母分式加减法法则进行计算即可．【详解】解：

21212111111x x x x x x x

12

11x x x

1

11x x x 1

1x ；

故选：C ．

【点睛】本题考查了异分母分式加减法法则，解答关键是按照相关法则进行计算．

8.若点 123,2,,1,)2(,A x B x C x 都在反比例函数2

y x 的图象上，则123,,x x x 的大小关系是（

）

A.321x x x

B.213x x x

C.132x x x

D.231

x x x 【答案】D

【解析】

【分析】根据反比例函数的性质，进行判断即可．【详解】解：2

y x ，20 ，

∴双曲线在二，四象限，在每一象限，y 随x 的增大而增大；

∵ 123,2,,1,)2(,A x B x C x ，

∴1230,0x x x ，

∴231x x x ；

故选D ．

【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．

9.若12,x x 是方程2670x x 的两个根，则（）

A.126x x

B.126x x

C.127·6x x

D.12·7

x x 【答案】A

【解析】

【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．

【详解】解：方程2670x x 中的1,6,7a b c ，

12,x x ∵是方程2670x x 的两个根，

126b x x a

，12·7c x x a

，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．

10.如图，在ABC 中，分别以点A 和点C 为圆心，大于12

AC 的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M ，N 两点，直线MN 分别与边,BC AC 相交于点D ，E ，

连接AD ．若,4,5BD DC AE AD ，则AB 的长为（）

A.9

B.8

C.7

D.6

【答案】D

【解析】【分析】由作图可知直线MN 为边AC 的垂直平分线，再由BD DC 得到5AD DC BD ，则可知,,A B C 三点在以D 为圆心BC 直径的圆上，进而得到90BAC ，由勾股定理求出AB 即可．

【详解】解：由作图可知，直线MN 为边AC 的垂直平分线，

∵5

AD ∴5DC AD ，

∵BD DC ，

∴5AD DC BD ，

∴,,A B C 三点在以D 为圆心BC 直径的圆上，

∴90BAC ，

∵4AE ，

∴8

AC

∴6AB ．

故选：D ．

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，圆的基本性质和勾股定理，解答关键是熟练掌握

常用尺规作图的作图痕迹，由作图过程得到新的结论．

11.如图，把ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE V ，点B ，C 的对应点分别是点D ，E ，且点E 在BC 的延长线上，连接BD ，则下列结论一定正确的是（）

A.CAE BED

B.AB AE

C.ACE ADE

D.CE BD

【答案】A

【解析】

【分析】根据旋转的性质即可解答．

【详解】根据题意，由旋转的性质，

可得AB AD ，AC AE ，BC DE ，故B 选项和D 选项不符合题意，

=ABC ADE

∵=ACE ABC BAC

行+ =ACE ADE BAC 行+，故C 选项不符合题意，

=ACB AED

行∵=ACB CAE CEA

行+∵=AED CEA BED

行+ =CAE BED 行，故A 选项符合题意，

故选：A ．

【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键．12.如图，要围一个矩形菜园ABCD ，共中一边AD 是墙，且AD 的长不能超过26m ，其余的三边,,AB BC CD 用篱笆，且这三边的和为40m ．有下列结论：

①AB 的长可以为6m ；

②AB 的长有两个不同的值满足菜园ABCD 面积为2192m ；

③菜园ABCD 面积的最大值为2200m ．

其中，正确结论的个数是（）

A.0

B.1

C.2

D.3

【答案】C

【解析】【分析】设AB 的长为m x ，矩形ABCD 的面积为2m y ，则BC 的长为 402m x ，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据AD 的长不能超过26m ，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可．

【详解】设AB 的长为m x ，矩形ABCD 的面积为2m y ，则BC 的长为 402m x ，由题意得

2

2402240210200y x x x x x ，其中040226x ，即720x ，

①AB 的长不可以为6m ，原说法错误；

③菜园ABCD 面积的最大值为2200m ，原说法正确；

②当 2

210200192y x 时，解得8x 或12x ，∴AB 的长有两个不同的值满足菜园ABCD 面积为2192m ，说法正确；

综上，正确结论的个数是2个，

故选：C ．

【点睛】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键．

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13.不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为________．【答案】

710##0.7【解析】

【分析】直接利用概率公式求解即可．

【详解】解：由题意，从装有10个球的不透明袋子中，随机取出1个球，则它是绿球的概率为710

，

故答案为：7

10．

【点睛】本题考查求简单事件的概率，理解题意是解答的关键．

14.计算 22xy 的结果为________．

【答案】24

x y 【解析】

【分析】直接利用积的乘方运算法则计算即可求得答案．

【详解】解： 2224

xy x y 故答案为：24x y ．

【点睛】本题考查了积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．

15.计算 的结果为________．

【答案】1

【解析】

【分析】根据平方差公式，二次根式的性质及运算法则处理．

【详解】解：22761

故答案为：1

【点睛】本题考查平方差公式、二次根式性质及运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．

16.若直线y x 向上平移3个单位长度后经过点 2,m ，则m 的值为________．

【答案】5

【解析】

【分析】根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点 2,m 代入即可求得m 的值．

【详解】解：∵直线y x 向上平移3个单位长度，

平移后的直线解析式为：3y x =+．

∵平移后经过 2,m ，

235m ．

故答案为：5．

【点睛】本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减．

17.如图，在边长为3的正方形ABCD 的外侧，作等腰三角形ADE ，52

EA ED ．

（1）ADE V 的面积为________；

（2）若F 为BE 的中点，连接

AF 并延长，与CD 相交于点G ，则AG 的长为________．

【答案】

①.3②.【解析】

【分析】（1）过点E 作EH AD ，根据正方形和等腰三角形的性质，得到AH 的长，再利用勾股定理，求出EH 的长，即可得到ADE V 的面积；

（2）延长EH 交AG 于点K ，利用正方形和平行线的性质，证明 ASA ABF KEF ≌，得到EK 的长，进而得到KH 的长，再证明AHK ADG △∽△，得到

KH AH GD AD ，进而求出GD 的长，最后利用勾股定理，即可求出AG 的长．

【详解】解：（1）过点E 作EH AD ，

∵正方形ABCD 的边长为3，

3AD ，

ADE ∵ 是等腰三角形，52

EA ED

，EH AD ，1322

AH DH AD ，

在Rt AHE 中，2EH

，1132322

ADE S AD EH ,

故答案为：3；

（2）延长EH 交AG 于点K ，

∵正方形ABCD 的边长为3，

90BAD ADC ，3AB ，

AB AD ，CD AD ，

EK AD ∵，

AB EK CD ∥∥，

ABF KEF ，

∵F 为BE 的中点，

BF EF ，

在ABF △和 KEF 中，

ABF KEF BF EF AFB KFE

， ASA ABF KEF ≌，

3EK AB ，

由（1）可知，12

AH AD

，2EH ，1KH ，

KH CD ∥∵，AHK ADG △∽△，

KH AH GD AD

，2GD \\=，

在Rt ADG V

中，AG ，

．

【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判

定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关

键．

18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形ABC 内接于圆，且顶点A ，B 均在格点上．

（1）线段AB 的长为________；

（2）若点D 在圆上，AB 与CD 相交于点P ．请用无刻度．．．

的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q ，使CPQ 为等边三角形，并简要说明点Q 的位置是如何找到的（不要求证明）________．

【答案】（1（2）画图见解析；如图，取,AC AB 与网格线的交点E ，F ，

连接EF 并延长与网格线相交于点G ；连接DB 与网格线相交于点H ，连接HF 并延长与网格线相交于点I ，连接A I 并延长与圆相交于点K ，连接CK 并延长与GB 的延长线相交于点Q ，则点Q 即为所求

【解析】

【分析】（1）在网格中用勾股定理求解即可；

（2）取,AC AB 与网格线的交点E ，F ，连接EF 并延长与网格线相交于点M ，连接MB ；连接DB 与网格线相交于点G ，连接GF 并延长与网格线相交于点H ，连接AH 并延长与圆相交于点I ，连接CI 并延长与MB 的延长线相交于点Q ，则点Q 即为所求，连接PQ ，,AD BK ，过点E 作ET 网格线，过点G 作GS 网格线，由图可得 Rt Rt AAS AJF BLF ≌，根据全等三角形的性质可得 Rt Rt ASA IMF HNF ≌和

SAS AIF BHF ≌，根据同弧所对圆周角相等可得 AD BK

，进而得到12 和60PCQ ，再通过

证明 ASA CAP CBQ ≌即可得到结论．【小问1详解】

解：AB ；

．

【小问2详解】

解：如图，取,AC AB 与网格线的交点E ，F ，连接EF 并延长与网格线相交于点G ；连接DB 与网格线相交于点H ，连接HF 并延长与网格线相交于点I ，连接A I 并延长与圆相交于点K ，连接CK 并延长与GB 的延长线相交于点Q ，则点Q 即为所求；

连接PQ ，,AD BK ，过点E 作ET 网格线，过点G 作GS 网格线，

由图可得：∵AJF BLF ，AFJ BFL ，AJ BL ，

∴ Rt Rt AAS AJF BLF ≌，

∴FJ FL ，AF BF ，

∵MJ NL ，

∴FJ MJ FL NL ，即FM FN ，

∵IMF HNF ，IFM HFN ，

∴ Rt Rt ASA IMF HNF ≌，

∴FI FH ，

∵AFI BFH ，AF BF ，

∴ SAS AIF BHF ≌，

∴FAI FBH ，

∴ AD BK ，

∴12 ，

∵ABC 是等边三角形，

∴60ACB ，即1+60PCB ，

∴2+60PCB ，即60PCQ ，

∵ET GS ，ETF GSF ，EFT GFS ，

∴ Rt Rt AAS ETF GSF ≌，

∴EF GF ，

∵AF BF ，AFE BFG ，

∴ SAS AFE BFG ≌

，∴EAF GBF ，

∴60GBF EAF CBA ，

∴18060CBQ CBA GBF ，

∴CBQ CAB ，

∵CA CB ，

∴ ASA CAP CBQ ≌

，∴CQ CP ，

∵60PCQ ，

∴PCQ △是等边三角形，此时点Q 即为所求；

故答案为：如图，取,AC AB 与网格线的交点E ，F ，连接EF 并延长与网格线相交于点G ；连接DB 与网格线相交于点H ，连接HF 并延长与网格线相交于点I ，连接A I 并延长与圆相交于点K ，连接CK 并延长与GB 的延长线相交于点Q ，则点Q 即为所求．

【点睛】本题考查作图—复杂作图，勾股定理、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识是关键．

三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19.解不等式组211412x x x x ①

②

请结合题意填空，完成本题的解答．

（1）解不等式①，得________________；

（2）解不等式②，得________________；

（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（4）原不等式组的解集为________________．

【答案】（1）2

x （2）1

x （3）见解析

（4）21

x 【解析】

【分析】分别解两个不等式，然后根据公共部分确定不等式组的解集，再利用数轴表示解集即可．

【小问1详解】

解：解不等式①，得2x ，

故答案为：2x ；

【小问2详解】

解：解不等式②，得1x ，

故答案为：1x ；

【小问3详解】解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

【小问4详解】

解：原不等式组的解集为21x ，

故答案为：21x ．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组并把解集在数轴上表示，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键．

20.为培养青少年的劳动意识，某校开展了剪纸、编织、烘焙等丰富多彩的活动，该校为了解参加活动的学生的年龄情况，随机调查了a 名参加活动的学生的年龄（单位：岁）．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．

请根据相关信息，解答下列问题：

（1）填空：a 的值为________，图①中m 的值为________；

（2）求统计的这组学生年龄数据的平均数、众数和中位数．

【答案】（1）40，15；

（2）平均数是14，众数是15，中位数是14．

【解析】

【分析】（1）根据条形图求出各组数据总和可得到a ，再根据百分比的定义求m 即可；

（2）根据平均数，众数，中位数的定义求解即可；

【小问1详解】

解：由题意，561310a ，

13岁学生所占百分比为：6%100%15%40m

，故答案为：40，15；

【小问2详解】

观察条形统计图，∵1251361413151614561316

x ，∴这组数据的平均数是14．

∵在这组数据中，15出现了16次，出现的次数最多，

∴这组数据的众数是15．

∵将这组数据按由小到大的顺序排列，处于中间的两个数都是14，有

1414142

，∴这组数据的中位数是14．

【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到信息是解决问题的关键．

21.在O 中，半径OC 垂直于弦AB ，垂足为D ，60AOC ，E 为弦AB 所对的优弧上一点．

（1）如图①，求AOB 和CEB 的大小；

（2）如图②，CE 与AB 相交于点F ，EF EB ，过点E 作O 的切线，与CO 的延长线相交于点G ，若3OA ，求EG 的长．

【答案】（1）120AOB ，30CEB

（23

【解析】

【分析】（1）根据半径OC 垂直于弦AB ，可以得到 AC BC

，从而得到AOC BOC ，结合已知条件60AOC 即可得到2120AOB AOC ，根据12

CEB AOC 即可求出30CEB ；（2）根据30CEB ，结合EF EB ，推算出75EBF EFB ，进一步推算出30GOE AOE AOG ，在Rt OEG △中，tan ,3EG GOE OE OA OE

，再根据3tan 30EG 即可得到答案．

【小问1详解】

解：在O 中，半径OC 垂直于弦AB ，

∴ AC BC

，得AOC BOC ．∵60AOC ，

∴2120AOB AOC ．

∵1122

CEB BOC AOC ，∴30CEB ．

【小问2详解】

解：如图，连接OE ．

同（1）得30CEB ．

∵在BEF △中，EF EB ，

∴75EBF EFB ．

∴2150AOE EBA ．

又180120AOG AOC ，

∴30GOE AOE AOG ．

∵GE 与O 相切于点E ，

∴OE GE ，即90OEG ．

在Rt OEG △中，tan ,3EG GOE OE OA OE

，

∴3tan 30EG 【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质和直角三角函数，解题的关键是灵活运用相关知识．22.综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．

如图，塔AB 前有一座高为DE 的观景台，已知6m,30CD DCE ，点E ，C ，A 在同一条水平直线上．

某学习小组在观景台C 处测得塔顶部B 的仰角为45 ，在观景台D 处测得塔顶部B 的仰角为27 ．（1）求DE 的长；

（2）设塔AB 的高度为h （单位：m ）．

①用含有h 的式子表示线段EA 的长（结果保留根号）；②求塔AB 的高度（tan 27 取0.53 1.7，结果取整数）．

【答案】（1）3m

（2）① 33m h ；②11m

【解析】

【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可；（2）①分别在Rt DCE V 和Rt BCA 中，利用锐角三角函数定义求得33EC ，CA h ，进而可求解；②过点D 作DF AB ，垂足为F ．可证明四边形DEAF 是矩形，得到 33m DF EA h ，3m FA DE ．在Rt BDF △中，利用锐角三角函数定义得到tan BF DF BDF ，然后求解即可．

【小问1详解】

解：在Rt DCE V 中，30,6DCE CD ，∴132

DE CD ．即DE 的长为3m ．

【小问2详解】

解：①在Rt DCE V 中，cos EC DCE CD

，∴cos 6cos303EC CD DCE 在Rt BCA 中，由tan AB BCA CA

，AB h ，45BCA ，则tan 45AB CA h

.

∴EA CA EC h

即EA 的长为 m h ．

②如图，过点D 作DF AB ，垂足为F ．

根据题意，90AED FAE DFA ，

∴四边形DEAF 是矩形．

∴ m DF EA h ，3m FA DE ．

可得 3m BF AB FA h ．

在Rt BDF △中，tan BF BDF DF

，27BDF ，

∴tan BF DF BDF ．即 3tan 27h h ．∴ 333tan 2733 1.70.511m 1tan 2710.5

h ．答：塔AB 的高度约为11m ．

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键．

23.已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍0.6km ，体育场离宿舍1.2km ，张强从宿舍出发，先用了10min 匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了30min ，之后匀速步行了10min 到文具店买笔，在文具店停留10min 后，用了20min 匀速散步返回宿舍．下面图中x 表示时间，y 表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．

请根据相关信息，回答下列问题：

（1）①填表：张强离开宿舍的时间/min

1102060

张强离宿舍的距离/km 1.2②填空：张强从体育场到文具店的速度为________km/min ；

③当5080x 时，请直接写出张强离宿舍的距离y 关于时间x 的函数解析式；

（2）当张强离开体育场15min 时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为0.06km/min ，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）

【答案】（1）①0.12，1.2，0.6；②0.06；③ 0.650600.03 2.46080y x y x x

；（2）0.3km

【解析】

【分析】（1）①根据图象作答即可；②根据图象，由张强从体育场到文具店的距离除以时间求解即可；③当5060x 时，直接根据图象写出解析式即可；当6080x 时，设y 与x 的函数解析式为y kx b ，利用待定系数法求函数解析式即可；

（2）当张强离开体育场15min 时，即55x 时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，当李明在回宿舍的途中遇到张强时，他俩离宿舍的距离是相等的，可列方程为

0.03 2.4 1.20.0655x x ，求解即可．

【小问1详解】

①1.21010.12km ，

由图填表：张强离开宿舍的时间/min

1102060张强离宿舍的距离/km

0.12 1.2 1.20.6

故答案为：0.12，1.2，0.6；

②张强从体育场到文具店的速度为 n 0.650400.km 06/mi ，

故答案为：0.06；

当5060x 时，

0.6y ；

当6080x 时，设y 与x 的函数解析式为y kx b ，

把 60,0.6,80,0代入，得0.660080k b k b

，解得0.032.4k b

，∴0.03 2.4y x ；

综上，张强离宿舍的距离y 关于时间x 的函数解析式为 0.650600.03 2.46080y x y x x

；【小问2详解】

当张强离开体育场15min 时，即55x 时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，当李明在回宿舍的途中遇到张强时，他俩离宿舍的距离是相等的，

∴

0.03 2.4 1.20.0655x x 解得70x ，

当70x 时， 1.20.0670550.3km ，

所以，他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是0.3km ．

【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．

24.在平面直角坐标系中，O 为原点，菱形ABCD 的顶点(0,1),A B D ，矩形EFGH 的顶

点1130,,,0,222E F H ．

（1）填空：如图①，点C 的坐标为________，点G 的坐标为________；

（2）将矩形EFGH 沿水平方向向右平移，得到矩形E F G H ，点E ，F ，G ，H 的对应点分别为E ，F ，G ，H ．设EE t ，矩形E F G H 与菱形ABCD 重叠部分的面积为S ．

①如图②，当边E F 与AB 相交于点M 、边G H 与BC 相交于点N ，且矩形E F G H 与菱形ABCD 重叠部分为五边形时，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围：②当2311334

t 时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（1）

3,2，33,2 ．（2）①

332t 3316

S 【解析】【分析】（1）根据矩形及菱形的性质可进行求解；

（2）①由题意易得3,1EF E F EH E H ，然后可得60ABO ，则有32

EM ，进而根据割补法可进行求解面积S ；②由①及题意可知当23332

3t 时，矩形E F G H 和菱形ABCD 重叠部分的面积S 是增大的，当3311324

t 时，矩形E F G H 和菱形ABCD 重叠部分的面积S 是减小的，然后根据题意画出图形计算面积的最大值和最小值即可．

【小问1详解】

解：∵四边形EFGH 是矩形，且1130,,3,,0,222E F H ，∴3,1EF GH EH FG ，∴33,2G

；连接,AC BD ，交于一点H ，如图所示：

∵四边形ABCD 是菱形，且(3,0),(0,1),(23,1)A B D ，

∴ 2230012AB AD ，,1,3AC BD CM AM OB BM MD OA ，∴2AC ，

∴ 3,2C ，

故答案为 3,2，33,2

；

【小问2详解】

解：①∵点10,2E ，点13,2F ，点30,2H

，

∴矩形EFGH 中，EF x ∥轴，EH x 轴，3,1EF EH ．

∴矩形E F G H 中，E F x ∥轴，E H x 轴，3,1E F E H ．

由点 3,0A ，点 0,1B ，得3,1OA OB ．

在Rt ABO △中，tan 3OA

ABO OB 60ABO ．

在Rt BME △中，由11

tan 60,122EM EB EB ，得3

2EM ．

∴13

28BME S EB EM △．同理，得3

8BNH S △．

∵EE t ，得EE H H S EE EH t 矩形．

又BME BNH EE H H S S S S △△矩形，

∴3

4S t ，

当2

EE EM 时，则矩形E F G H 和菱形ABCD 重叠部分为BE H ，

∴t 的取值范围是32

t ②由①及题意可知当23332

3t 时，矩形E F G H 和菱形ABCD 重叠部分的面积S 是增大的，当

24t 时，矩形E F G H 和菱形ABCD 重叠部分的面积S 是减小的，

∴当2t 时，矩形E F G H 和菱形ABCD 重叠部分如图所示：

此时面积S 最大，最大值为1S ；当113

4t 时，矩形E F G H 和菱形ABCD 重叠部分如图所示：

由（1）可知B 、D 之间的水平距离为D 到G F 44 ，

由①可知：60D B ，

∴矩形E F G H 和菱形ABCD 重叠部分为等边三角形，

∴该等边三角形的边长为3

142tan 602

，

∴此时面积S 最小，最小值为1122416

；

综上所述：当2311334t 时，则316

S ．【点睛】本题主要考查矩形、菱形的性质及三角函数、图形与坐标，熟练掌握矩形、菱形的性质及三角函数、图形与坐标是解题的关键．

25.已知抛物线2y x bx c (b ，c 为常数，1c )的顶点为P ，与x 轴相交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴相交于点C ，抛物线上的点M 的横坐标为m ，且2

b c m ，过点M 作MN AC ，垂足为N ．

（1）若2,3b c ．

①求点P 和点A 的坐标；

②当MN M 的坐标；

（2）若点A 的坐标为 ,0c ，且MP AC ∥，当3AN MN 时，求点M 的坐标．

【答案】（1）①点P 的坐标为 1,4 ；点A 的坐标为 3,0 ；②点M 的坐标为

2,3 （2）521,

24

【解析】

【分析】（1）①待定系数法求解析式，然后化为顶点式，即可求得P 的坐标，令0y ，解方程，即可求得A 的坐标；②过点M 作ME x 轴于点E ，与直线AC 相交于点F ．得出OA OC ．可得Rt AOC 中，

45OAC ．Rt AEF 中，EF AE

．设点 2,23M m m m ，点 ,0E m ．根据MN 方程即可求解；

（2）根据题意得出抛物线的解析式为 21y x c x c ．得点

2,1M m m c m c ，其中12c c m ．则顶点P 的坐标为21(1),2

4c c ，对称轴为直线1:2c l x ．过点M 作MQ l 于

点Q ，则90MQP ，点 21,12c Q m c m c

．由MP AC ∥，得45PMQ ．于是MQ QP ．得出1221,21c m c m (舍)．，同(Ⅰ)，过点M 作ME x 轴于点E ，与直线AC 相交于点F ，则点 ,0E m ，点 ,1F m m ，点

2,1M m m ．根据已知条件式，建立方程，解方程即可求解．

【小问1详解】

解：①由2,3b c ，得抛物线的解析式为223y x x ．

∵2223(1)4y x x x =--+=-++，

∴点P 的坐标为 1,4 ．

当0y 时，2x 2x 30 ．解得123,1x x ．又点A 在点B 的左侧，

∴点A 的坐标为 3,0 ．

②过点M 作ME x 轴于点E ，与直线AC 相交于点F ．

∵点 30A ,，点 0,3C ，

∴OA OC ．可得Rt AOC 中，45OAC ．

∴Rt AEF 中，EF AE ．

∵抛物线223y x x 上的点M 的横坐标为m ，其中3<1m ，

∴设点 2,23M m m m ，点 ,0E m ．

得 33EF AE m m ．即点 ,3F m m ．

∴ 222333FM m m m m m ．

Rt FMN 中，可得45MFN ．

∴FM ．又MN 得2FM ．即232m m ．解得122,1m m (舍)．∴点M 的坐标为 2,3 ．

【小问2详解】

∵点 ,0A c 在抛物线2y x bx c 上，其中1c ，∴20c bc c ．得1b c ．

∴抛物线的解析式为 21y x c x c ．

得点 2,1M m m c m c ，其中12c

c m ．

∵ 22

21(1)124c c y x c x c x ，

∴顶点P 的坐标为21(1),24c

c

，对称轴为直线1:2c

l x ．

过点M 作MQ l 于点Q ，则90MQP ，点 21,12c

Q m c m c ．

由MP AC ∥，得45PMQ ．于是MQ QP ．∴ 2

21(1)124c

c m m c m c ．

即2(2)1c m ．解得1221,21c m c m (舍)．同(Ⅰ)，过点M 作ME x 轴于点E ，与直线AC 相交于点F ，则点 ,0E m ，点 ,1F m m ，点 2,1M m m ．

∵33AN MN AF FN MN

2111m m m 即22100m m ．解得125

,22m m (舍)．

∴点M 的坐标为521,24

．

待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．