列一元一次方程解应用题中的思想方法

2．一元一次方程的解法步骤及每一个解题步骤应注意什么？

去分母：不漏乘加括号

   去括号：注意分配；括号前是负号时要变号

   移项：  注意要变号

合并同类项：

系数化“1”：注意约分和不要丢“—”号

自觉养成检验的习惯

3．列方程解应用题的步骤有哪些？关键是什么？

审题：分析题意，找出题中的数量关系及其关系；

设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x）；

列方程：根据相等关系列出方程；

解方程：求出未知数的值；

检验：检验求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案.

    关键：正确审清题意,找准“等量关系”

4．众所周知，数学思想是我们数学解题的灵魂，列一元一次方程解应用题也不例外，在列一元一次方程解应用题过程中也蕴含着许多的数学思想，如果能灵活的加以运用，往往能更好地解决列一元一次方程解应用题，现就列一元一次方程解应用题中的常见的思想方法举例说明.

一、设k法.利用一元一次方程解应用题时经常会遇到有关比例问题，这时若能巧妙地设出其中的平分为k，就能轻松地列出方程求解.

例1　一个三角形三条边长的比是2∶4∶5，最长的边比最短的边长6厘米，求这个三角形的周长.

分析　要求三角形的周长，若知道三边即可，由于三角形三条边长的比是2∶4∶5，可设这三条边长分别为2k，4k，5k，这样根据最长的边比最短的边长6厘米，即可列出方程求解.

二、数形结合思想.数形结合思想是指在研究问题的过程中，由数思形、由形想数，把数与形结合起来解析问题的思想方法. 

例2　如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成.设中间最小的一个正方形边长为1，则这个矩形色块图的面积为________.

分析　通过观察图形可以发现，除了边长为1的正方形，其余5个正方形中，右下角的两个大小相等，然后顺时针方向上的正方形边长依次大1.

解　设右下角两个边长相等正方形的边长为x，则顺时针方向的其余三个正方形的边长依次为x+1、x+2、x+3.根据矩形的对边相等，可得x+x+(x+1)＝(x+2)+(x+3)，解得x＝4.

所以(x+2)+(x+3)＝13，(x+2)+(x+1)＝11，即13×11＝143.

答　矩形的面积为143平方单位.

三、整体思想.在研究应用问题时，若能将所要思考的问题看成一个整体，通盘考虑，则可既便于列方程，又便于解方程.

例3　一个六位数左端的数字是1，如果把左端的数字1移到右端，那么所得新的六位数等于原数的3倍，求原来的六位数.

分析　本题若逐个设出各位数字，则未知数过多，不易列出方程.如果从整体思考，视后五位数为一个整体，方便简捷.

解　设原六位数为100000+x，则根据题意，得10x+1＝3(100000+x)，

解得x＝42857.

答　原六为数为142857.

四、分类思想.数学的思维是严密的，所以要求解许多的数学应用题时，为了使答案的完整，需要进行分情况来解决，从而有利于培养思维的慎密性.

例4　在一条直的长河中有甲、乙两船，现同时由A地顺流而下，乙船到B地时接到通知需立即返回到C地执行任务，甲船继续顺流航行.已知甲、乙两船在静水中的速度都是每小时7.5千米，水流的速度是每小时2.5千米，A、C两地间的距离为10千米，如果乙船由A地经B地再到达C地共用了4小时，问乙船从B地到达C地时，甲船离B地有多远？

分析　因为C地的位置不确定，它既可能在A、B两地之间，也可能在A地的上游，所以应进行分类讨论.

解　设乙船由B地航行到C地用了x个小时，那么甲、乙两船由A地航行到B地都用了(4－x)小时.下面分两种情况：

若C地在A、B两地之间，则根据题意，得(4－x)(7.5+2.5)－x(7.5－2.5)＝10，

解得x＝2.这时10×2＝20（千米）；

若C地在A地的上游，则根据题意，得x(7.5－2.5)－(4－x)(7.5+2.5)＝10，

解得x＝.这时10×＝（千米）.

答　乙船从B地到达C地时，甲船离B地有20千米或千米.

五、逆向思维.数学中有些问题，如果按照题意叙述由后往前推算就显得很简单，这种解决问题的方法叫逆推法。逆推法是解决数学问题的一种重要方法.有些数学问题若按常规思维方法考虑非常困难时，而用逆推法就有可能十分奏效.

例5　李飒的妈妈买了几瓶饮料，第一天，他们全家喝了全部饮料的一半零半瓶；第二天，李飒招待来家中做客的同学，又喝了第一天剩下的饮料的一半零半瓶；第三天，李飒索性将第二天所剩的饮料的一半零半瓶喝了.这三天，正好把妈妈买的全部饮料喝光，则李飒的妈妈买的饮料一共有多少瓶？

分析　如果设妈妈买的饮料一共有x瓶，则第一天喝了(+)瓶，第二天喝了[(x－－)+]瓶，第三天…，这种做法很繁.若能依据题意，反过来考虑，问题或许就简单多了.

解　设第三天李飒喝饮料之前，还有x瓶饮料，则－＝0.解得x＝1.这也是第二天喝饮料之后所剩的饮料瓶数.

设第二天喝饮料之前，还有y瓶饮料，则－＝1.解得y＝3，这也是第一天李飒喝饮料之后所剩的饮料瓶数.

再设李飒喝饮料之前，还有z瓶饮料，则－＝3.

解得z＝7，这就是李飒喝饮料之前妈妈买的饮料瓶数.

答　李飒的妈妈买的饮料一共有7瓶. 

列一元一次方程解应用题是七年级数学教学中的一大重点，而列一元一次方程解应用题又是学生从小学升入中学后第一次接触到用代数的方法处理应用题。因此，认真学好这一知识，对于今后学习整个中学阶段的列方程（组）解应用题大有帮助。因此将列一元一次方程解应用题的几种常见题型及其特点归纳下来，如下：

  （1）和、差、倍、分问题。

  此问题中常用“多、少、大、小、几分之几”或“增加、减少、缩小”等等词语体现等量关系。审题时要抓住关键词，确定标准量与比校量，并注意每个词的细微差别。

  （2）等积变形问题。

  此类问题的关键在“等积”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的面积、体积公式。

  （3）调配问题。

  从调配后的数量关系中找等量关系，常见是“和、差、倍、分”关系，要注意调配对象流动的方向和数量。

关于门票问题的一元一次方程方程

 （4）行程问题。

  要掌握行程中的基本关系：路程＝速度×时间。

  相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：各人走路之和等于总路程或同时走时两人所走的时间相等为等量关系。

  追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：两人的路程差等于追及的路程或以追及时间为等量关系。

  环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。

  航行问题：相对运动的合速度关系是：顺水速度＝静水中速度＋水流速度；逆水速度＝静水中速度－水流速度。

  行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点。

  （5）工程问题。

  其基本数量关系：工作总量＝工作效率×工作时间；合做的效率＝各单独做的效率的和。当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”，分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。

  （7）利润率问题。

  其数量关系是：商品的利润＝商品售价－商品的进价；商品利润率＝商品利润／商品进价×100％，注意打几折销售就是按原价的百分之几出售。

  （8）银行储蓄问题。

  其数量关系是：利息＝本金×利率×存期；本息＝本金＋利息，利息税＝利息×利息税率。注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率＝月利率×12＝日利率×365。

  （9）数字问题。

  要正确区分“数”与“数字”两个概念，这类问题通常采用间接设法，常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系。列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式，一个多位数是各位上数字与该位计数单位的积之和。

  （10）年龄问题其基本数量关系：大小两个年龄差不会

日历中的方程与我变胖了

日历中的方程主要是找出它们之间的关系和规律

我变胖了主要是体积关系和面积关系等

一、填空题

1.在一本挂历上，圈住四个数，这四个数恰好构成一个正方形，且它们的和为48，则这四个数为________.

2.有一根长12米的绳子围成了一个长方形，长为5米，将长减少_______米，它就成了一个“胖胖”的正方形.

3.有若干张卡片，上面写有数字，且后一张卡片比前一张的数大8，有一只小狗叼走了相邻的三张卡片，且它们之和为48，则这三张卡片上的数分别是________.

4.将一个底面积为28.26平方厘米，高为10厘米的铁盒锻压成底面积为78.5的“胖”铁盒，此时的高为_______.

三、判断题

1.锻压前的体积等于锻压后的体积.                                        （    ）

2.在日历上任意相邻的两个数之差为1.                                    （    ）

3.“胖”的物体比“瘦”的物体体积大.                                    （    ）

4.在日历上用正方形圈住4个数的和是10.                                （    ）

三、选择题

1.在日历上横着每两个数的差为________，竖着的差为________.（    ）

A.1,8                B.1,7                C.2,8                D.2,7

2.用一根长为10厘米的铁丝围成一个长方形，如果它的长比宽多1.4厘米，则这个长方形的面积为（    ）

A.5.76                B.4.76平方厘米        C.5.76平方厘米        D.4.76

3.小明比小芳糖的3倍还多10块，它们糖数之和为30块，那么小芳有糖（    ）

A.5块                B.6块                C.7块                D.8块

4.设最小的数为x,则日历中它所在的正方形中最大数表示为（    ）

A.x+7                B.x+1                C.x+2                D.x+8

四、解答题

1.在一本日历上，用一个长方形竖着圈住6个数，且它们的和为129，则这六个数分别为多少？

2.将一个底面半径是5厘米，高为10厘米的冰淇淋盒改造成一个直径为20厘米的圆柱体，若体积不变，高为多少？

数字问题

1、一个三位数，三个数位上的数的和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上数的3倍，求这三个数。

2、一个两位数，个位数字是十位数字的4倍，如果把个位数字与十位数字对调，那么得到的新数比原数大54，求原来的两位数。

3、m取什么整数时，关于x的方程的解是正整数，并求出方程的解。

4、、把99拆成4个数，使得第一个数加2，第二个数减2，第三个数乘2，第4个数除以2，得到的结果都相等？

销售问题

1、商品进价为400元，标价为600元，商店要求以利润率不低于5%的售价打折出售，最低可以打几折出售此商品？

2、某种商品进价为1600元，按标价的8折出售利润率为10%，问它的标价是多少？

3、甲种运动器械进价1200元，按标价1800元的9折出售，乙种跑步器，进价2000元，按标价3200元的8折出售，哪种商品的利润率更高些？

4、某商品的售价780元，为了薄利多销，按售价的9折销售再返还30元礼券，此时仍获利10%，此商品的进价是多少元？

5、某种商品进货后，零售价定为每件900元，为了适应市场竞争，商店按零售价的九折降价，并让利40元销售，仍可获利10%（相对于进价），问这种商品的进价为多少元？

6、某商场售货员同时卖出两件上衣，每件都以135元售出，若按成本计算，其中一件赢利25%，另一件亏损25%，问这次售货员是赔了还是赚了？

7、市场鸡蛋按个数计价，一商贩以每个0.24元购进一批鸡蛋，但在贩运途中，不慎碰坏了12个，剩下的蛋以每个0.28元售出，结果获利11.2元，问商贩当初买进多少鸡蛋？

8、某学校准备组织教师和学生去旅游，其中教师22名，现有甲、乙两家旅行社，其定价相同，并且都有优惠条件，甲旅行社表示教师免费，学生按八折收费；乙旅行社表示教师和学生一律按七五折收费，经核算后，甲、乙实际收费相同，问共有多少学生参加旅游？

9、某种商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售，将赔25元，而按定价的九折出售，将赚20元，这种商品的定价为多少元？

分配问题

1、甲、乙两班共90人，期中考试后，由甲班转入乙班4人，这时甲班人数是乙班人数的80%，问期中考试前两班各有多少人？

2、红光服装厂要生产某种学生服一批，已知每3米长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600米长的这种布料生产学生服，应分别用多少布料生产上衣和裤子，才能恰好配套？共能生产多少套？

3、某车间100个工人，每人平均每天可加螺栓18个或螺母24个，要使每天加工的螺栓与螺母配套（一个螺栓配两个螺母），应如何分配加工螺栓和螺母的工人？

4、我校数学活动小组，女生的人数比男生的人数的少2人，如果女生增加3人，男生减少1人，那么女生的人数比全组人数的多3人，求原来男女生的人数。

5、在全国足球甲A联赛的前11轮比赛中，某队保持连续不败（不败含取胜和打平）共积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，求该队在这11场比赛胜了多少场？

6、某校七年级举行数学竞赛，80人参加，总平均成绩63分，及格学生平均成绩为72分，不及格学生平均48分，问及格学生有多少人？

7、在全国足球甲级A组的前11轮（场）比赛中，W队保持连续不败，共积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平场得1分，那么该队共胜了多少场？

8、一批宿舍，若每间住1人，有10人无处住，若每间住3人，则有10间无人住，那么这批宿舍有多少间，人有多少个？

9、甲、乙两池共存水40吨，甲池注水4吨，乙池出水8吨后，两池水恰好相等，求甲、乙两池原有多少吨水？

路程与追及问题

1、甲、乙两人练习100米赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，如果甲让乙先跑1秒，那么甲经过几秒可以追上乙？

2、甲、乙两人相距285米，相向而行，甲从A地每秒走8米，乙从B地每秒走6米，如果甲先走12米，那么甲出发几秒与乙相遇？

3、一艘轮船从甲地顺流而行9小时到达乙地，原路返回需要11小时才能到达甲地，已知水流速度为2千米/时，求轮船在静水中的速度。

4、一船在两码头之间航行，顺水需4小时，逆水4个半小时后还差8公里，水流每小时2公里，求两码头之间的距离？

5、一队步兵正以5.4千米/时的速度匀速前进．通讯员从队尾骑马到队头传令后，立刻返回队尾，总共用了10分钟，如果通讯员的速度是21.6千米/时，求步兵列的长是多少？

6、从甲地到乙地，海路比陆路近40千米，上午10点，一艘轮船从甲地驶往乙地，下午1点，一辆汽车从甲地开往乙地，它们同时到达乙地，轮船的速度是每小时24千米，汽车的速度是每小时40千米，那么从甲地到乙地海路与陆路各是多少千米？

7、某居民生活用电基本价格为每度0.40元，若每月的用电量超过a度，超出部分按基本电价的70%收费。

（1）某户五月份用电84度，共交电费30.72元。求a

（2）若该户六月份的电费平均为每度0.36元，求该用户六月份共用电多少度？应交电费多少元？