2014高考数学模拟试卷(三)

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第（15）题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

注意事项：

1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．

2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．

4、保持卷面清洁，不折叠，不破损．

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

参考公式：

样本数据的标准差：                   锥体体积公式：    

         　 其中为底面面积，为高

其中为样本平均数                          　  球的表面积，体积公式：

柱体体积公式：                              

其中为底面面积，为高                   　   其中R为球的半径

第I卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．集合，集合，则与的关系是（   ）

   A．            B．            C．        D． 

2．复数的虚部是（   ）

   A．                B．                C．            D． 

3．已知向量， ，则向量所在的直线可能为（    ）

   A．轴                                    B．第一、三象限的角平分线

C．轴                                    D．第二、四象限的角平分线

4．下列函数中，在区间上为增函数的是（    ）

   A．            B．            C．        D． 

5．设，若是的必要而不充分条件，则实数的取值范围是（  ）

 A．                                B．       

 C．                     D．

6．在中，角的对边边长分别为，

则的值为（    ）

   A．38                B．37                C．36            D．35

7．函数是 （  ）

    A．周期为的偶函数      B．周期为的非奇非偶函数   

C．周期为的偶函数    D．周期为的非奇非偶函数

8．若在区间上取值，则函数在R上有两个相异极值点的概率是（   ）

   A．                B．                C．            D． 

9．设,函数的图象可能是（     ） 

10．平面向量的集合到的映射由确定，其中为常向量．若映射满足对恒成立，则的坐标不可能是（   ）

A．        B．       C．         D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分,共25分．

11．设等差数列的前项和为，若，则=        .

12.为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前个小组的频率之比为，第小组的频数为，则抽取的学生人数是　　　　．

13．已知点、分别为双曲线的左焦点、右顶点，点满足，则双曲线的离心率为        .

14．设有算法如右图：如果输入A=144, B=39,则输出的结果是       .

15、（在给出的二个题中，任选一题作答. 若多选做，则按所做的第一题给分）

   （1）（极坐标与参数方程）设直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系得另一直线的方程为，若直线与间的距离为，则实数的值为              ．

   （2）（不等式选讲）在三角形中，所对的边长分别为， 其外接圆的半径，则的最小值为___________.

三、解答题：本大题共75分．其中(16)～(19)每小题12分,(20)题13分,(21)题14分.解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤

16.（本小题满分12分）

在中，角，所对的边分别为，，，且，.

（Ⅰ）求的值；   

（Ⅱ）若，求的面积.

17.（本小题满分12分）

在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮. 现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是，.两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮. 假设每人每次投篮命中与否均互不影响.

（Ⅰ）求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；

（Ⅱ）若投篮命中一次得1分，否则得0分. 用ξ表示甲的总得分，求ξ的分布列和数学期望．

18.（本小题满分12分）

如图，在三棱柱中，每个侧面均为正方形，

为底边的中点，为侧棱的中点.

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值. 

19.（本小题满分12分）

已知函数，．

（Ⅰ）求函数的导函数；

（Ⅱ）当时，若函数是上的增函数，求的最小值；

（Ⅲ）当，时，函数在上存在单调递增区间，求的取值范围．

20.（本小题满分13分）

已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点，过点的直线与椭圆在第一象限相切于点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求直线的方程以及点的坐标；

（Ⅲ）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，满足？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．

21（本小题满分14分）

若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列，则称这个数列为调和数列．已知数列是调和数列，对于各项都是正数的数列，满足．

（Ⅰ）证明数列是等比数列；

（Ⅱ）把数列中所有项按如图所示的规律排成一个三角形

数表，当时，求第行各数的和；

（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列，证明：．

2014高考数学模拟试卷（三）参及评分标准

一、选择题（每小题5分，共50分）

    1．B  依题意得， ，选B.

    2．B  ，故选B.

    3．A  ，其横坐标恒大于零，纵坐标等于零，

向量所在的直线可能为轴，选A.

    4．C  结合函数图象知：选项A、D中函数在上有增有减，选项B中函数在上为减函数，只有选项C中函数在上是增函数.

    5.A由得：，由得：，又是的必要而不充分条件，所以

 且，．

6．D  由余弦定理得：

，故选D.

7. B，定义域不关于原点对称，函数既不是奇函数又不是偶函数，

8．C  易得，函数在R上有两个相异极值点的充要条件是且其导函数的判别式大于0，即且，又在区间上取值，则，点满足的区域如图中阴影部分所示，其中正方形区域的面积为3，阴影部分的面积为，故所求的概率是.

9．B可得   是函数的两个零点

当时，则；当时, 则当时，则故选B.

10．B 令，则

即，或，故选B．

二、填空题（每小题5分,共25分）

11．45  由，得，.

12． 由图可知前组的频率为，所以第组

13．   ，则， ，.

14．3．（1）A=144，B=39，C=27；（2）A=39，B=27，C=12；（3）A=27，B=12，C=3；（4）A=12，B=3，C=0.所以A=3．

15．（1）【答案】或

【解析】将直线的方程化为普通方程得，将直线的方程化为直角坐标方程得，由两平行线的距离公式得或

（2）

三、解答题

16．解：（Ⅰ）因为，，

所以.

由已知得.

所以

.    …………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以 且.

由正弦定理得.

又因为，

所以，.

所以.       …………………………12分

17．（Ⅰ）解：记 “3次投篮的人依次是甲、甲、乙” 为事件A.

由题意， 得．

答：3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是．      …………………… 6分

（Ⅱ）解：由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，则

，

，

，

．

所以，的分布列为：

18．解法一：证明：（Ⅰ）设的交点为O,连接，连接.

因为为的中点，为的中点,

所以∥且.又是中点，

所以∥且,

所以∥且.

所以，四边形为平行四边形.所以∥.

又平面,平面,则∥平面.   ………………4分

(Ⅱ) 因为三棱柱各侧面都是正方形，所以，.

所以平面.

因为平面，所以.

由已知得，所以,

所以平面.

由（Ⅰ）可知∥，所以平面.

所以.

因为侧面是正方形，所以.

又，平面，平面,

所以平面.                ………………………………………8分

（Ⅲ）解: 取中点，连接.  

在三棱柱中，因为平面，     

所以侧面底面.

因为底面是正三角形，且是中点，

所以，所以侧面.

所以是在平面上的射影.

所以是与平面所成角.

.            …………………………………………12分

解法二：如图所示，建立空间直角坐标系.

设边长为2，可求得，,

，，，，

，，.

（Ⅰ）易得，，

.  所以， 所以∥.

又平面,平面,则∥平面.  ………………4分

（Ⅱ）易得，，， 

所以.

所以

又因为，，

所以平面.            …………………………………………… 8分

（Ⅲ）设侧面的法向量为,

因为, ,，，

所以，.

由  得解得

不妨令，设直线与平面所成角为．

所以.

所以直线与平面所成角的正弦值为． ………………………12分

19．（Ⅰ）解：．     …………………………………2分

（Ⅱ）因为函数是上的增函数，所以在上恒成立.

则有，即．

设（为参数，），

则.

当，且时，取得最小值．

（可用圆面的几何意得的最小值）  ………………………7分

（Ⅲ）当时，是开口向上的抛物线，显然在上存在子区间使得，所以的取值范围是．

当时，显然成立．

③当时，是开口向下的抛物线，要使在上存在子区间使，应满足  或

解得，或，所以的取值范围是．

则的取值范围是．       …………………………………………12分

20．解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，由题意得

解得，故椭圆的方程为． ……………………4分

（Ⅱ）因为过点的直线与椭圆在第一象限相切，所以的斜率存在，故可设直线的方程为．

由得．   

因为直线与椭圆相切，所以.

整理，得.

解得．

所以直线方程为．

将代入式，可以解得点横坐标为1，故切点坐标为．……8分

（Ⅲ）若存在直线满足条件，设直线的方程为，代入椭圆的方程得．

因为直线与椭圆相交于不同的两点，设两点的坐标分别为， 

所以．

所以．

又，，

因为，即，

所以．即，

所以，解得．

因为为不同的两点，所以.

于是存在直线满足条件，其方程为．      …………………………13分

21．解：（Ⅰ）证明：因为，且数列中各项都是正数，

所以．

设，   ①

因为数列是调和数列，故，．

所以，．   ②

由①得，代入②式得，

所以，即.

故，所以数列是等比数列．       …………………………4分

（Ⅱ）设的公比为，则，即．由于，故．

于是．

注意到第行共有个数，

所以三角形数表中第1行至第行共含有个数.

因此第行第1个数是数列中的第项.

故第行第1个数是， 

所以第行各数的和为．  ………… 9分

（Ⅲ）因为，所以.

所以．

又，

，

所以 

.

所以…………………………14分