巧用定积分求极限(数学分析)

1、知识准备

绪论

微积分学在大学的数学学习中占有相当重要的地位.然而,求极限又是微积分学中常常要面临的问题.因此,积累更多求极限的方法应是每位大学生必备的素养.

求极限的方法层出不穷,最常用的方法有极限的定义和性质,重要极限的结论,洛必达法则以及泰勒公式等.应用极限的定义时,往往是在极限的结果已经比较明显,只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果.但是,这种方法一方面叙述上比较麻烦,另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子.重要极限的结论形式上要求非常严格,也只能解决两种形式的极限问题.洛必达法则是用于解决“”型的极限和“”型极限的.泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题,通过泰勒展式后可以达到某些项抵消效果.但若仔细观察这些方法,其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识.事实上,微分学和积分学的关系正如中小学时代学习过的加法与减法,乘法与除法,乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样,他们互为逆运算.倘若也能用到积分学知识来解决求极限的问题,那么求极限的方法才算完美.而利用定积分求极限正体现了这一理念.

定积分的概念

下面首先让我们回顾一下定积分以及极限的定义:

定积分:设函数在闭区间上有定义,在闭区间内任意插入n-1个分点将分成n个区间,记,,作乘积(称为积分元),把这些乘积相加得到和式(称为积分形式)设,若极限存在唯一且该极限值与区是的分法及分点的取法无关,则称这个唯一的极限值为函数在上的定积分,记作,即.否则称在上不可积.

注1:由牛顿莱布尼兹公式知,计算定积分与原函数有关,故这里借助了不定积分的符号.

注2:若存在,区间进行特殊分割,分点进行特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等,但反之不成立,这种思想在考题中经常出现,请读者要真正理解.

注3:定积分是否存在或者值是多少只与被积函数式和积分区间有关与积分变量用什么字母表示无关,即

仔细观察定积分的定义,我们一定会发现定积分的极限有以下两个特征.第一,定积分是无穷项和式的极限,容易知道一般项在项数趋近于无穷大时极限值必然趋近于零,否则和式极限不存在.第二,定积分与某一连续函数有紧密的关系,它的一般项受到这一连续函数的约束,它是连续函数在某个区间上进行了无穷的分割,各小区间上任意的函数值与区间长度的乘积的累加.

对于极限,大学主要学习了数列的极限和函数的极限.数列的极限是用于解决离散的自然数的相关极限,而函数的极限则主要用于解决连续函数的相关极限.那么就让我们先一一来回忆它们吧！

极限的概念

数列的极限

设为数列, 为实数,若对任给的正数,总存在正整数,使得当时有, 则称数列收敛于,实数称为数列的极限,并记作或.

(读作:当趋于无穷大时, 的极限等于或趋于).由于限于取正整数,所以在数列极限的记号中把写成,即或.

若数列没有极限,则称不收敛,或称为发散数列.

注1:关于:①的任意性.定义１中的正数的作用在于衡量数列通项与常数a的接近程度,越小,表示接近得越好;而正数可以任意小,说明与常数a可以接近到任何程度;②的暂时固定性.尽管有其任意性,但一经给出,就暂时地被确定下来,以便依靠它来求出Ｎ;③的多值性.既是任意小的正数,那么等等,同样也是任意小的正数,因此定义１中的不等式中的可用等来代替.从而“”可用“”代替;④正由于是任意小的正数,我们可以限定小于一个确定的正数.

注2:关于:①相应性,一般地, 随的变小而变大,因此常把定义作来强调, 是依赖于的;一经给定,就可以找到一个;②多值性的相应性并不意味着是由唯一确定的,因为对给定的,若时能使得当时,有,则或更大的数时此不等式自然成立.所以不是唯一的.事实上,在许多场合下,最重要的是的存在性,而不是它的值有多大.基于此,在实际使用中的也不必限于自然数,只要是正数即可;而且把“”改为“”也无妨.

函数的极限

设函数在点的某一去心邻域内有定义.如果存在常数,对于任意给定的正数(不论它有多么小),总存在某正数,使得当满足不等式时,对应的函数值都满足不等式,那么常数就叫做函数当时的极限,记为.

可以看出，数列极限与函数极限定义的思想是一致的,都是相应的某个表达上的值无限地接近某个常数值.不同的是数列是离散的,数列中的项在跳跃式地接近,而函数是连续的,函数值在逐渐地接近,但二者都能与相应的常数值以任意程度地接近.

2、定积分与极限

定积分在求极限中应用概述

不难看出,无论是数列的极限还是函数的极限,它们都与定积分的定义存在着千丝万缕的关系,那么就让我们来揭晓它们之间玄机与奥秘吧.

事实上,定积分的定义中蕴含着一列数｛｝的和,并且只要充分地小,和式就可以任意地接近确定的实数J=,这正是极限思想的存在,即.这就为我们求极限提供了一种独特而有力的方法——利用定积分求极限.因为在积分学中有大量的积分公式,所以我们运用之解决众多类型的和式极限.

定积分求极限中应用思想的形成

先让我们看一个简单的例子:

例1.求极限.

分析:此极限式的求解,不容易直接用极限的定决,因为该法往往是用来一边计算一边证明某个极限结果已经比较明显的问题,因此这里不适合;重要极限的结论显然也在这里没有用武之地,因为形式上根本不同;再考虑洛必达法则,它不是无穷比无穷型的极限也非零比零型的极限,也不可能用到此法;那么泰勒公式呢泰勒公式往往是用来解决连续函数的极限问题,通过泰勒展式往往能把非多项式形式的表达式转化成多项式形式,以简化形式从而求解,看来这里也不适用.那是不是就没有什么合适的办法了呢答案当然是否定的,事实上,它从形式上与定积分的定义还是有一些相像的,那么就让我们尝试用定积分的办法来解决这个问题吧！

解:把此极限式转化为某个积分形式,从而计算定积分.为此做如下变形:

.

不难看出,其中的和式是函数在区间上的一个积分和(这里取得是等量分割,).所以,

J=.

从该例题的解法中可以看出,本题的关键是将极限和转化为积分和,从而利用了定积分将所求极限迎刃而解.于是,我们可以总结出定积分在求极限中应用的一般方法步骤:

Sept1将和式极限经过变形,使其成为积分形式.这里常取;

Sept2确定积分函数的上下限.

a=;

Sept3用x代换,写出定积分表达式,并求出原极限的值.

通过以上的一般方法步骤,我们在面对无穷项和式的极限问题时就有方可依,有法可循了.现在让我们再来看一个例子,并从中仔细体会以上方法步骤.

例2.求极限.

解:Sept1  化和式极限为积分形式.

原极限=.

显然,这里,被积函数可看成

Sept2  确定积分函数上下限.

Sept3  写出积分表达式并求出积分值.

原极限=.

对于本题,我们是紧紧按照刚刚总结出的方法步骤进行的,并顺利地求出了原题的极限值.这是一个具体的例子,那么我们是否可以总结出更为一般性结论呢答案自然是肯定的.

3、应用定积分求极限

一般性结论的综述及其应用

至此,我们可以得出如下结论:

结论1如果函数在区间上连续,将区间进行等分,

,那么，.

事实上,连续函数一定可积,而将区间进行n等分也是分割的一种特殊情况.根据定积分的定义,上述结论成立.

当然,并不是所有的用到定积分求极限的问题中都要严格用到上面总结出的三个步骤,我们可视情况灵活处理,比如无需用到某一步骤或者还需用到其他求极限的思想等.下面我们再看一组求极限的习题,以充分感受结论1的用途.

习题组1

1)

2)

3).

这组习题都是无穷项式子和的极限问题,都可以把定积分的思想应用到求极限中去.现在就让我们用结论1来解决这些求极限的问题,并从不同习题中寻找出异同,以加深对结论1的掌握和认识.

解: (1) 分析   原极限显然可以看成在上的定积分.故 

(2)分析  先通过恒等变形,原极限式=,被积函数,积分区间是,于是原极限值=;

(3)分析  原和式极限的通项是不可以看成是关于的某一个函数,但是注意到:

应用结论1,上面不等式左端可以取极限,即

=,上面不等式右端可以取极限,即

.

于是,由极限的迫敛性可知原极限值=.

这组题均典型地运用了定积分的计算,从而求出了各极限.我们发现,只要找到某个连续函数,并能把这个和式极限转化成积分形式,我们就只需计算出f(x)在[0,1]上的积分值,从而确定出原极限值.这三个习题中,例题1的式子无需再进行恒等变形,因为其形式上已经是f()了;习题2与习题3形式上直观上不是f()的形式,因为式子与式子都不含的项.为此,我们需要对习题2以及习题3极限的式子进行恒等变形,通过提取公因式等手段使其出现的因子.当然有的题可能不容易找到对应的连续函数,例如习题3,我们可以用极限的一些性质,如极限的迫敛性,从而间接地求出原和式极限的极限值.

一般性结论的深化及推广

接下来,我们对结论1进行适当的推广,以得到更多形式的极限的求法.

推论1如果函数均在上可积,

证明:首先, 均在上可积.

又由于,,所以,

于是,==.

例3.求极限:

.

解:由推论1可知,f(x)=

于是,原极限式=.

推论2设

例4.试求:.

推论3如果函数在区间上可积,且

.

证明:记A=,则   

例5.计算.

解:本题也可以直接运用推论3,

这三个推论是对结论1的必要补充与完善.形式上我们不仅有无穷项式子和的极限,还衍生出了无穷项式子乘积的极限.它们都是顺着结论1的思路继续进行探索,从形式上丰富了定积分在求极限中应用这一思想,但从本质上讲,它们与结论1是一致的.它们都紧紧抓住了定积分概念的实质,意识到定积分是无穷项和的极限,应用数学的一些基本性质,对各式子进行恒等变形,尽量把不同形式的极限向定积分定义中的和式上去靠拢.最终通过简单明了的定积分公式,求出定积分的值来,以确定出原极限的值.由这三个推论来看, 等形式的极限，我们都有方可循,用定积分的方法容易求出其极限来.对于任何一种数学方法,只要我们仔细地观察与推究,都能将其结论或应用范围加以推广,就像结论1.现在让我们来看一组习题,以体会以上诸推论.

现在,我们已经积累了多种求和式极限的方法,它们是今后应用定积分解决极限类问题的最佳模型与范例.那就再让我们来看一组习题,以熟悉与巩固

                                            等形式的极限吧.

下面这组习题综合用到了以上各结论与推论.

习题组2用定积分的方法计算下列各极限.

(1);

(2);

(3);

(4).

解:分析  以上例题都容易恒等变形,使其满足结论1或者推论1至推论3的条件.于是,

(1)

(2)

=，

=

(3) 

 ;

(4).

定积分在求极限中应用思想的转移

至此,我们已经深深的体会到了各种形式的定积分在极限中应用的作用.仅仅于此,我们尚不能满足,我们可以把定积分在求极限中的应用思想借鉴到其他方面.例如,利用这种思想方法来证明一些不等式,或者用之解决一些复杂一点的求极限问题.下面将举例说明.

例6.证明:若函数在上连续,且对于，有，则.

证明:已知与在上都可积.将进行等分,分点是.在第K个区间上取.由算数平均不小于几何平均,有

  .

体会:本例恰巧反过来,将积分和转化为极限和的形式,并运用了算术平均数不小于几何平均数这一结论,将问题化繁为简.较好地认识与掌握定积分与极限之间的关系是解决本问题的关键.该例题说明,我们应该充分认识到定积分在极限中的作用,并能做到灵活变通,适当情形下,二者可以相互转化,将问题化难为易,从而达到解决问题的目的.

例7.试求极限.

分析:该问题似乎不能直接运用结论1或推论1至推论3来求极限.因为极限的表达式不容易化成以上结论或者推论的情形.但是,该问题的解决就真用不到定积分了吗答案是否定的.在解决该问题之前,还是先让我们看一下沃利斯公式的由来吧！

沃利斯公式:.

证明:令,则当时用分部积分法容易求得

移项并整理后可得递推公式:由于

重复应用上面的递推公式可得

,

又由于

,再将式代入,便可以得到

,因为

,根据极限的迫敛性可知.而,故得沃利斯公式

.

现在让我们来仔细看看沃利斯公式究竟与定积分有什么关系吧!事实上,在计算定积分

时,我们巧妙地运用了定积分的递推表达式,这样我们才正真地寻找到了解决极限问题的金钥匙,看来定积分的运算还是在其中发挥了不可低估的作用.那么就让我们直接运用该公式来探究例8问题吧！

根据沃利斯公式,可知.

从某种程度上讲,我们利用了定积分方法解决了例8中极限的问题.倘若我们采用其方法来求这个极限,恐怕会走一些弯路.

定积分在求极限中应用思想的完善

我们知道反常积分也是定积分在极限下定义出来的.以上的所有求极限问题都是将极限的表达式整体转化成积分形式,从而应用了定积分巧妙地求出了原极限的结果,那么能不能把定积分在求极限中局部应用呢现在我们再来看一个有趣的问题,以便说明此问题.

例8.证明:.

分析:这个例题不同于前面所有的例题,前面的例题,我们都能迅速地将所求极限的表达式转化成,而本例不行,但它形式上与我们讨论的定积分在求极限中应用的例子非常相像,因为式子中有无穷多项和,所以我们就尝试用定积分的方法来求它吧！

把这个极限式子的分子进行适当变形.如果根据前面的经验,我们知道的.可是现在我们对两个问题有所质疑.第一,我们并没有把原极限式直接转化成积分形式;第二,即使局部用到了定积分,但我们知道的.事实上,原式经变形后,我们会发现分子与分母中的无穷大量是等价的.即

(这里我们统一了分子分母中的变量,统一用变量x,这里已经表示变量x是逐步趋近,由数学分析中归结原理”,这个手段是不影响极限结果的).

最后我们求得其结果,.

由此可以看到,在求极限的问题中,定积分的思想不仅可以对表达式整体使用,也可以对其进行局部使用.总之,只要我们善于思考书本上的一些概念以及分析它们之间联系,我们就往往能够游刃有余地把一种数学思想用于解决其他数学问题上.

最后,让我们再来总结一下,定积分在求极限中应用时所应该注意的几个问题.

第一,极限必须是无穷项和的极限,并且这些和的极限经过适当的恒等变形之后能转化为定积分的形式.

第二,应用定积分求极限时,往往还需要用到其他的一些求极限的方法和手段,例如极限的迫敛性,重要极限的结论,取对数手段等.

第三,求极限一类问题往往需要使用各种手段,这样才能做到事半功倍.

4、论文总结

再认识数学

通过以上探讨,我们重新认识了数学.我们在进行推理与应用时,是有深切体会的.数学本身是一门严谨的自然科学,因为它是一种思维的工具,是一种思想方法,它还是一种理性的艺术.

数学是一种思维的工具.第一,数学具抽象性.数学概念是以极度抽象的形式出现的.本文中讨论的定积分以及极限更是如此.与此同时,数学的研究方法也是抽象的,这就是说数学命题的真理性不能建立在经验之上,而必须依靠于严格的证明.当数学应用于实际问题的研究时,其关键在于能建立一个较好的数学模型.我们在运用定积分求极限时,就已经拥有了较好的数学模型——函数模型.在一个较好的数学模型上展开数学的推导和计算,以形成对问题的认识,判断和预测.这就是运用抽象思维去解决现实问题的体现.第二,数学赋予科学知识以逻辑的严密性和结论的可靠性,是使认识从感性阶段发展到理性阶段,并使理性认识进一步深化的重要手段.在数学中,每一个公式,定理都要严格地从逻辑上加以证明以后才能够确立.当我们发现了“结论1”之后,相继经过严密的推理与论证后才拓展到了“推论1”至“推论3”.第三,数学是一种辅助工具和表现方式.我们在解决数学问题本身时,还必须依赖于数学中的其他相关方法思路.另外数学反映的是一种复杂而抽象事物内部关系,但是我们仍然有简明的数学符号与形象鲜明的图形等来表示它.无论是定积分还是极限,其中都用到了丰富的数学符号,离开这些数学符号,我们的表达似乎显得寸步难行.

数学是一种思想方法.数学是研究量的科学.它研究客观对象量的变化,关系等,并在提炼量的规律性的基础上形成各种有关量的推导和演算的方法.数学的思想方法体现着它作为一般方的特征和性质,是物质世界质与量的统一,内容与形式的统一的最有效的表现方式.无论是定积分还是极限都离不开计算,这就意味着它们中都蕴含着量的变化.

数学还是一种理性的艺术.一般我们觉得,艺术与数学是两种风格与本质都有着明显不同的事物.它们一个处于高度理性化的峰顶,另一个则位于精神世界的枢纽地带;一个是自然科学的代表,另一个则是美学的杰作.但是,在种种表面上无关甚至完全不同的现象身后却隐藏着艺术与数学相当一致的一般意义.我们进行学术研究纯粹是我们进取以及求知欲的驱使.

艺术与数学都是公认的地球语言.艺术与数学在描绘万事万物的过程中,还同时完善了自身的表现形式,这种表现形式最基本的载体便是艺术与数学各自独特的语言特征.其共同特点有(1)超文化性.艺术与数学所表达的是一种带有普遍意义的人类共同的心声,因而它们可以超越时间和地域界限,实现不同文化群体之间的广泛传播和交流.(2)整体性.艺术的整体性来自于其艺术表现的普遍性和广泛性;数学的整体性来自于数学统一的符号体系,各个分支之间的有力联系,共同的逻辑法则和既约的表达方式.(3)简明性.它首先表现为很高的抽象程度,其次是凝冻与浓缩.(4)代表性.艺术与数学语言各自代表性可以诱发某种强烈的情感体验,唤起某种美的享受,而意义则在于把注意力转向思维,上升为理念,成为表现人类内心意图的方式.(5)形式性.在艺术与数学各自进行的符号与信息的含义交换中,其共同的特征就是达到了实体与形式的分离.我们研究的定积分在求极限中的应用,那种思想以及符号呈现方式可被世界人悦纳.

艺术与数学具有共同的精神价值.其共同的特点有:(1)自律性.数学价值的自律性是与数学价值的客观性相关联的;艺术的价值也是不能以人的意志而转移.艺术与数学的价值基本上是在自身框架内被鉴别,鉴赏和评价的.(2)超越性.它们可以超越时空,彰显永恒.在艺术与数学的价值超越过程中,现实得以扩张,延伸.艺术与数学的超越性还表现为超前的价值.(3)非功利性.艺术与数学的非功利性是其价值判断异于其他种类文化与科学的显著特征之一.(4)多样化,物质化与广泛化.在现代技术与商业化的推动下,艺术与数学的价值也开始发生升华,出现了各自价值在许多领域内的散射,渗透,应用,交叉等情况.定积分在求极限中的应用,不仅仅贡献于数学本身,它将逐渐在其他领域也发挥一定的作用.

结束语

我们已经见到了定积分在求极限问题中应用的各种形式.事实上,只要我们对学过的某些概念用心的体会,并加以深刻的思考,我们就可能将其精髓运用到数学的其他领域.正如我们这里把定积分与极限结合起来,并进行了适当推广,得到了较为满意的结论和推论.

本文主要给大家介绍了定积分在求极限中应用.一开始我们就回忆了定积分以及极限等大学数学学习中的重要概念.然后剖析它们之间的内在联系,进而寻找到了一种独特的求极限的办法——借助定积分求极限.当然,这种思想也并非空穴来风,它是源于教材中某些例题中具有创新性思想方法或者一些独特的步骤.因为不是所有的数学概念之间经过思考推理,相互之间就能建立起联系来.因此,在平时的数学学习中,我们务必对教材中的基本概念加深体会,尤其是要把相互之间或多或少存在着某种关系的概念加以比较与分析.然后对其进行大胆的假设,并进行一定的逻辑证明.如果我们的假设成立,那就是我们发现的新事物,这对于我们发散思维与创新思维都是大有裨益的;假设不成立,我们也可更好地掌握不同概念之间区别,这对于我们理解知识都是有好处的.所以,在我们平时的学习过程中,我们要积极去思考,并大胆地进行某些适当的假设,以提升我们创新思维能力.

求极限的方法可能还有更多,值得大家去思考与挖掘.希望本文能起到抛砖引玉的目的,能激发更多的数学爱好者携起手来探索出更多实用与巧妙的求极限的方法来.欢迎大家对本文进行批评与指正.

参考文献

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英文摘要

Abstract:In solving limit problem, we often think of the ways including the definition of limit, important limits, L’Hospital’s rule and Taylor’s formula etc. These methods have some limitations, however the definite integral is also limit form in essentially, it is also simple in calculation. This paper will focus on the applications of definite integral in solving the limit problems.

Keywords: Definite integral, Limit, Applications.