专题4.4 立体几何中最值问题(解析版)

一．方法综述

高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练．

立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解.

二．解题策略

类型一  距离最值问题

【例1】【河南省焦作市2019届高三三模】在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，则|AF|的最大值为（　　）

A．    B．1    C．    D．2

【答案】B

【解析】

以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则C1（4，4，4），设E（0，0，z），z∈[0，4]，F（x，0，0），x∈[0，4]，则|AF|＝x．＝（4，4，4﹣z），＝（x，0，﹣z）．因为C1E⊥EF，所以 ，即：z2+4x﹣4z＝0，x＝z﹣．

当z＝2时，x取得最大值为1．|AF|的最大值为1．

故选：B．

【指点迷津】建立空间直角坐标系，求出坐标，利用C1E⊥EF，求出|AF|满足的关系式，然后求出最大值即可．利用向量法得到|AF|的关系式是解题的关键，故选D.

【举一反三】

1、【江西省吉安市2019届高三上学期期末】若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的棱长为　　

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【解析】

解：根据三视图知，该几何体是一个正四棱锥，画出图形如图所示；

则，，底面CDEB，

结合图形中的数据，求得，

在中，由勾股定理得，

同理求得，

．故选：A．

2、【河南省顶级名校2019届高三第四次联合测评】在侧棱长为的正三棱锥中，侧棱OA，OB，OC两两垂直，现有一小球P在该几何体内，则小球P最大的半径为

A．    B．

C．    D．

【答案】B

【解析】

当小球与三个侧面，，及底面都相切时，小球的体积最大

此时小球的半径最大，即该小球为正三棱锥的内切球

设其半径为

由题可知

因此

本题正确选项：

3、如右图所示，在棱长为2的正方体中， 为棱的中点，点分别为面和线段上的动点，则周长的最小值为_______． 

【答案】

【解析】将面与面折成一个平面，设E关于的对称点为M，E关于 对称点为N,则周长的最小值为. 

类型二  面积的最值问题

【例2】【河南省郑州市2019年高三第二次质量检测】在长方体中，，，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面没有公共点，则三角形面积的最小值为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】

补全截面EFG为截面EFGHQR如图，

其中H、Q、R分别为、的中点，易证平面ACD1∥平面EFGHQR，

∵直线D1P与平面EFG不存在公共点， 

∴D1P∥面ACD1，∴D1P面ACD1，

∴P∈AC，∴过P作AC的垂线，垂足为K，则BK=,此时BP最短，

△PBB1的面积最小，

∴三角形面积的最小值为，

故选：C．

【指点迷津】截面问题，往往涉及线面平行，面面平行定义的应用等，考查空间想象能力、逻辑思维能力及计算求解能力.解题的关键是注意明确截面形状，确定几何量.本题由直线与平面没有公共点可知线面平行，补全所给截面后，易得两个平行截面，从而确定点P所在线段，得解．

【举一反三】

1、【湖南省衡阳市2019届高三二模】如图，直角三角形，，，将绕边旋转至位置，若二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积的最小值为（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】

如图，，，分别为，，的中点，作面，作面，连，，易知点即为四面体的外接球心，，，.设，，则，，，.

【处理一】

消元化为二次函数..

【处理二】

柯西不等式..所以.

2、如图，在正四棱柱中，，点是平面内的一个动点，则三棱锥的正视图与俯视图的面积之比的最大值为（   ）

A．1                B．2           C ．                 D．

【答案】B

 的正视图与俯视图的面积之比的最大值为2；故选B．

3、【福建省2019届高三模拟】若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有侧面和底面中，面积的最大值为（   ）

A．2    B．    C．3    D．

【答案】C

【解析】

由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，其中，为的中点，平面，，.

所以，，.

又因为，，

所以，故，

所以.故选C.

类型三   体积的最值问题

【例3】如图，已知平面平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，，是平面上的一动点，且有，则四棱锥体积的最大值是（    ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】A

【指点迷津】本题主要考查面面垂直的性质，棱锥的体积公式以及求最值问题. 求最值的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图像法，本题首先根据线面关系将体积最值转化为函数求最值问题，然后应用方法①解答的.

【举一反三】

1、已知与是四面体中相互垂直的棱，若，且，则四面体的体积的最大值是

A.     B.     C.     D. 

【答案】A

2、如图，已知平面，、是上的两个点，、在平面内，且，，在平面上有一个动点，使得，则体积的最大值是（     ）  

A.    B.        C.         D.

【答案】C

【解析】.和均为直角三角形．∽..学科&网

过作,垂足为.则.令,.

则,即,.

底面四边形为直角梯形面积为.学科&网

.故C正确.

3.【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第三次测评】已知一个高为l的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，内有 一个体积为的球，则的最大值为（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】

依题意，当球与三棱锥的四个面都相切时，球的体积最大，

该三棱锥侧面的斜高为，

，

，

所以三棱锥的表面积为，

设三棱锥的内切球半径为，

则三棱锥的体积，

所以，所以，

所以，

故选A.

类型四    角的最值问题

【例4】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为.

【答案】

【解析】建立坐标系如图所示.设，则.设，则，由于异面直线所成角的范围为，所以.，令，则，当时取等号.所以，当时，取得最大值.

【指点迷津】空间的角的问题，只要便于建立坐标系均可建立坐标系，然后利用公式求解.解本题要注意，空间两直线所成的角是不超过90度的.几何问题还可结合图形分析何时取得最大值.当点M在点P处时，EM与AF所成角为直角，此时余弦值为0（最小），当点M向左移动时，.EM与AF所成角逐渐变小，点M到达点Q时，角最小，余弦值最大.

【举一反三】

1、矩形ABCD中，，，将△ABC与△ADC沿AC所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围（包含初始状态）为（    ）

A.     B.      C.     D. 

【答案】C

 2、在正方体中，是中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（   ）

A．             B．             C．           D．

【答案】A

3.【云南省昆明市云南师范大学附属中学2019届高三上学期第四次月考】如图，在正方体中，点P为AD的中点，点Q为上的动点，给出下列说法：

可能与平面平行；

与BC所成的最大角为；

与PQ一定垂直；

与所成的最大角的正切值为；

．

其中正确的有______写出所有正确命题的序号

【答案】

【解析】

解：由在棱长为1的正方体中点P为AD的中点，点Q为上的动点，知：

在中，当Q为的中点时，，由线面平行的判定定理可得PQ与平面平行，故正确；

在中，当Q为的中点时，，，，可得，故错误；

在中，由，可得平面，即有，故正确；

在中，如图，点M为中点，PQ与所成的角即为PQ与所成的角，当Q与，或重合时，PQ与所成的角最大，其正切值为，故正确；

在中，当Q为的中点时，PQ的长取得最小值，且长为，故正确．

故答案为：．

4、在正四面体中，点是棱的中点，点是线段上一动点，且，设异面直线与所成角为，当时，则的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

设P到平面ABC的射影为点O,取BC中点D,

以O为原点，在平面ABC中，以过O作DB的平行线为x轴，以OD为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，如图，

设正四面体P−ABC的棱长为，

则，

由,得，∴，

∵异面直线NM与AC所成角为α, ，∴，设，则∴，

∵，∴.∴cosα的取值范围是.

三．强化训练

一、选择题

1、【甘肃省2019届高三第一次高考诊断】四棱锥的顶点均在一个半径为3的球面上，若正方形的边长为4，则四棱锥的体积最大值为（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】

设正方形的中心为，当在于球心的连线上时，四棱锥高最高，由于底面面积固定，则高最高时，四棱锥体积取得最大值.设高为，，球的半径为，故，解得.故四棱锥的体积的最大值为.故选D.

2．【广东省东莞市2019届高三第二次调研】已知一个四棱锥的正主视图和俯视图如图所示，其中，则该四棱锥的高的最大值为　　

A．    B．    C．4    D．2

【答案】A

【解析】

解：如图所示，

由题意知，平面平面ABCD，设点P到AD的距离为x，

当x最大时，四棱锥的高最大，

因为，

所以点P的轨迹为一个椭圆，

由椭圆的性质得，当时，x取得最大值，

即该四棱锥的高的最大值为．

故选：A．

3．【四川省教2019届高三第三次诊断】已知四棱锥的底面四边形的外接圆半径为3，且此外接圆圆心到点距离为2，则此四棱锥体积的最大值为（   ）

A．12    B．6    C．32    D．24

【答案】A

【解析】

由锥体的体积公式v=，可知，当s和h都最大时，体积最大.

由题得顶点P到底面ABCD的距离h≤2.当点P在底面上的射影恰好为圆心O时，即PO⊥底面ABCD时，PO最大=2，即

  ,

此时,

即四边形ABCD为圆内接正方形时，四边形ABCD的面积最大，

所以此时四边形ABCD的面积的最大值=,

所以.

故选：A

4．【安徽省蚌埠市2019届高三第一次检查】某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，三棱锥表面上的点M在俯视图上的对应点为A，三棱锥表面上的点N在左视图上的对应点为B，则线段MN的长度的最大值为　　

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】

由三视图可知，该三棱锥的底面是直角三角形，

一条侧棱与底面垂直（平面），

为几何体的直观图如图，在上，重合，

当与重合时，

线段的长度的最大值为．

故选D．

5．如图，在矩形中， ,点为的中点， 为线段（端点除外）上一动点现将沿折起，使得平面平面设直线与平面所成角为，则的最大值为（  ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】C

【解析】

如图：在矩形中，过点作的垂线交于点，

交于点设，

6．【2019年4月2019届高三第二次全国大联考】已知正四面体的表面积为，点在内（不含边界）. 若，且，则实数的取值范围为（  ）

A．    B．

C．    D．

【答案】A

【解析】

设正四面体的棱长为

则，解得

则正四面体的高为

记点到平面、、的距离分别为

则

因为，所以，则

故

又，故

即实数的取值范围为

本题正确选项：

二、填空题

7．【山东省青岛市2019届高三3月一模】在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，面，且，若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为__________．

【答案】

【解析】

在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积时，对应的球应该是内切球，此时球的半径最大，设内切球的球心为O半径为R，连接球心和ABCD四个点，构成五个小棱锥，根据体积分割得到，五个小棱锥的体积之和即为大棱锥的体积，，根据AB垂直于AD，PD垂直于AB可得到AB垂直于面PDA，故得到AB垂直于PA， 同理得到BC垂直于PC，表面积为：， 

此时球的表面积为：  .

故答案为：.

8．【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考】如图，已知正四棱柱和半径为的半球O，底面ABCD在半球O底面所在平面上，，，，四点均在球面上，则该正四棱柱的体积的最大值为______．

【答案】4

【解析】

设正四棱柱的高为h，底面棱长为a，则正四棱柱的底面外接圆直径为，所以，．

由勾股定理得，即，得，其中，

所以，正四棱柱的体积为，其中，

构造函数，其中，则，令，得．

当时，；当时，．

所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，则．

因此，该正四棱柱的体积的最大值为4．

9．【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考】如图，已知圆柱和半径为的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最大值为_____．

【答案】2π

【解析】

解：设圆柱的底面圆半径为r，高为h；

则h2+r2＝R2＝3；

所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π（3﹣h2）h＝π（3h﹣h3）；

则V′（h）＝π（3﹣3h2），

令V′（h）＝0，解得h＝1；

所以h∈（0，1）时，V′（h）＞0，V（h）单调递增；

h∈（1，）时，V′（h）＜0，V（h）单调递减；

所以h＝1时，V（h）取得最大值为V（1）＝2π．

故答案为：2π．

10．【江西省上饶市2019届高三二模】一个棱长为的正方体形状的铁盒内放置一个正四面体，且能使该正四面体在铁盒内任意转动，则该正四面体的体积的最大值是_____.

【答案】

【解析】

由题该正四面体在铁盒内任意转动，故其能在正方体的内切球内任意转动，内切球半径为6，设正四面体棱长为a, 将此正四面体镶嵌在棱长为x的正方体内，如图所示：则x=，外接球的球心和正方体体心O重合，∴外接球的球半径为：=6,a=4又正四面体的高为∴该正四面体的体积为

故答案为

11．【河北省衡水市第二中学2019届高三上期中】已知体积为的正四棱锥外接球的球心为，其中在四棱锥内部.设球的半径为，球心到底面的距离为.过的中点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是___________.

【答案】

【解析】

如图取底面的中心为，

连接平面，且球心在上，

由条件知，，连接，，

则，

于是底面的边长为.

又，故四棱锥的高是，

所以，即，

从而，，于是，

过的中点的最小截面圆是以点为圆心的截面圆，

该截面圆的半径是，

故所求面积为.

12．【江西省临川第一中学等九校2019届高三3月联考】如图所示，三棱锥的顶点，，，都在同一球面上，过球心且，是边长为2等边三角形，点、分别为线段，上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为__________．

【答案】

【解析】

过球心 ，

又是边长为的等边三角形，

，

,三角形是等腰直角三角形，

， 

，

又因为,在平面内，

由线面垂直的判定定理可得平面 ,

即平面，

设，

 ，

则三棱锥体积

，

当且仅当，即时取等号，故答案为.

13．【安徽省蚌埠市2019届高三下学期第二次检查】正三棱锥中，，点在棱上，且.正三棱锥的外接球为球，过点作球的截面，截球所得截面面积的最小值为__________．

【答案】

【解析】

因为，所以，

所以，同理，

故可把正三棱锥补成正方体（如图所示），其外接球即为球，直径为正方体的体对角线，故，设的中点为，连接，

则且，所以，

当平面时，平面截球的截面面积最小，

此时截面为圆面，其半径为，故截面的面积为．填．

14．【江西师范大学附属中学2019高三上学期期末】若一个四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球的体积最小时，它的高为_________．

【答案】

【解析】

设四棱锥底面边长为a，高为h，底面对角线交于O，由条件四棱锥P-ABCD为正四棱锥，其外接球的球心M在高PO上，设外接球半径为R，在直角三角形MAO中

，，又该四棱锥的体积为9，所以

所以，，，时，时，

所以时R极小即R最小，此时体积最小.

故答案为3.

15．【江西省上饶市2019届高三二模】已知正方体的棱长为，平面与对角线垂直且与每个面均有交点，若截此正方体所得的截面面积为，周长为，则的最大值为______.

【答案】

【解析】

因为平面与对角线垂直，所以平面与对角面平行，作出图象，为六边形,设则,所以，由对称性得平面过对角线中点时截面面积取最大值为，则的最大值为.

16．【河南省洛阳市2019届高三第二次统考】正四面体中，是的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该四面体内切球的体积为_____.

【答案】

【解析】

如下图，正方体中作出一个正四面体

将正三角形和正三角形沿边展开后使它们在同一平面内，如下图：

要使得最小，则三点共线，即：，

设正四面体的边长为，在三角形中，由余弦定理可得：

，解得：，

所以正方体的边长为2，正四面体的体积为：，

设四正面体内切球的半径为，由等体积法可得：，

整理得：，解得：，

所以该四面体内切球的体积为.

17．【2019届湘赣十四校高三联考第二次考试】如图，正三棱锥的高，底面边长为4，，分别在和上，且，当三棱锥体积最大时，三棱锥的内切球的半径为________．

【答案】

【解析】

设，

 ，

当时，取得最大值，此时为中点，经过点，且，，所以可求，，因此易求，，，，又∵ ，∴.