“双勾函数”的性质及应用(最新整理)

问题引入：求函数

的最小值．

y =

问题分析：将问题采用分离常数法处理得，

，此时

y =

=+

如果利用均值不等式，即，等式成立的条件

为

2y =

显然无实数解，所以“”

不成立，因而最小值

=

=

=不是，遇到这种问题应如何处理呢？这种形式的函数又具有何特征呢？是否与我们所熟知2的函数具有相似的性质呢?带着种种疑问，我们来探究一下这种特殊类型函数的相关性质．

一、利用“二次函数”的性质研究“双勾函数”的性质1．“双勾函数”的定义

我们把形如（为常数，）的函数称为“双勾函数”．因为函数()k

f x x x

=+

k 0k >（为常数，）在第一象限的图像如“√”，而该函数为奇函数，其图()k

f x x x

=+

k 0k >像关于原点成中心对称，故此而得名．

2．类比“二次函数”与“双勾函数”的图像

3．类比“二次函数”的性质探究“双勾函数”的性质（1）

“二次函数”的性质

①当时，在对称轴的左侧，随着的增大而减小；在对称轴的右侧，随着0a >y x y x

二次函数图像

“双勾函数”图像

的增大而增大；当时，函数有最小值 ．

2b

x a

=-y 244ac b a -②当时，在对称轴的左侧，随着的增大而增大；在对称轴的右侧，随着0a 的增大而减小．当时，函数有最大值．

2b

x a

=-y 244ac b a -（2）“双勾函数”性质的探究①当时，在

随着的增大而减小；在

随着0x >x =y

x x =y

x

的增大而增大；当有最小值．

x =

y ②当时，在随着的增大而增大；在

的右侧，0x x x =y 随着

的增大而减小．当有最大值

x x =

y -综上知，函数在和上单调递增，在和

上单()f x (

,-∞

)+∞[调递减．

下面对“双勾函数”的性质作一证明．

证明：定义法．设R ，且，则

12,x x ∈12x x <．1212121212121212

()()()()()(1x x x x k a k k f x f x x x x x x x x x x x ---=+

--==--A 以下我们怎样找到增减区间的分界点呢？

首先，∴就是一个分界点，另外我们用“相等分界法”，令，

0x ≠0x =120x x x ==

可得到因此又找到两个分界点

．这样就把的定义域2

010k

x -

=x =

()f x 分为，

，四个区间，再讨论它的单调性．

(,-∞

[)+∞设，，

120x x <<≤120x x -<120x x >120x x k <<∴．120x x k -<∴，即．121212121212

()()()()0x x x x k k k f x f x x x x x

x x ---=+

--=>A 12()()

f x f x >∴在上单调递减．

(

)f x

同理可得，在上单调递增；在上单调递增；在上

()f x )+∞(,-∞[

单调递减．

故函数在和上单调递增，在和上单调递()f

x (,-∞

)

+∞[

减．

性质启发：由函数的单调性及在其单调区间的端点处取值的()(0)k

f x x k x

=+

>()f x 趋势，可作出函数的图像，反过来利用图像可形象地记忆该函数的单调性及有关()y f x =性质．此性质是求解函数最值的强有力工具，特别是利用均值不等式而等号不成立时，更彰显其单调性的强大功能．

4．“二次函数”与“双勾函数”在处理区间最值问题上的类比（1）“二次函数”的区间最值

设，求在上的最大值与最小值．f x ax bx c a ()()=++≠2

0f x ()x m n ∈[]，分析：将配方，得对称轴方程，f x ()x b

a

=-2①当时，抛物线开口向上．

a >0若必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值；-

∈b

a m n 2[]，若，此时函数在上具有单调性，故在离对称轴较远端-∉

b a m n 2[]，[]m n ，x b a

=-

2点处取得最大值，较近端点处取得最小值．②当时，抛物线开口向下．

0a <若必在顶点取得最大值，离对称轴较远端点处取得最小值；-

∈b

a m n 2[]，若，此时函数在上具有单调性，故在离对称轴较远端-∉

b a m n 2[]，[]m n ，x b a

=-

2点处取得最小值，较近端点处取得最大值．以上，作图可得结论．①当时，

a >0；

max

121()()()22()1()()()

22b f m m n a f x b f n m n a ⎧

-+⎪⎪=⎨⎪-<+⎪⎩

如图如图，≥，．

min

345()()2()()()22()()2b f n n a b b f x f m n a a b f m m a ⎧->⎪⎪

⎪

=--⎨⎪

⎪

-<⎪⎩

如图如图如图，≤≤，

图

1图2图3图4图5

②当时，

a <0；

max

678()()2()()()22()()2b f n n a b b f x f m n a a b f m m a ⎧

->⎪⎪

⎪

=--⎨⎪

⎪

-<⎪⎩

如图如图如图，≤≤，．

min

9101()()()22()1()()()

22b f m m n a f x b f n m n a ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-<+⎪⎩

如图如图，≥，（2）“双勾函数”的区间最值

设，求在上的最大值与最小值．()(0)k

f x x k x

=+

>f x ()x m n ∈[]，分析：①当时，其图像为第一象限部分．

0x >

，则函数必在界点

[]m n ，x

=函数值；

，此时函数在上具有单调性，故在离直线

[]m n ，[]m n ，

x =得最大值，较近端点处取得最小值．

②当时，其图像为第三象限部分．

0x <若，则函数必在界点

最小值需比较两个端点处[]m n

，x =的函数值；

若，此时函数在上具有单调性，故在离直线

[]m n ，[]m n ，x =处取得最小值，较近端点处取得最大值．

以上，作图可得结论．①当时，

0x >

图7

图9

图10

max

()(,()max{(),([,](,()(.f m n f x f m f n m n f n m ⎧>⎪⎪

=⎨⎪<⎪⎩如图11)如图12)如图

13)min

()(,()[,](,()(.

f n n f x f m n f m m ⎧>⎪⎪

=⎨⎪<⎪⎩如图11)如图12)如图13)②当时，

0x

()(,()([,](,()(.

f n n f x f m n f m m ⎧>⎪⎪

=⎨⎪<⎪⎩，-如图14)如图15)，-如图

16)min

()(,()min{(),()},[,](,()(.

f m n f x f m f n m n f n m ⎧>⎪⎪

=⎨⎪<⎪⎩，如图14)如图15)，如图16)二、实践平台

例1某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在吨至吨之间时，其生产的总成150250本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式近似地表示为

y x ．问：

2

30400010

x y x =-+

图11图12

图13

图14

图15

图16

（1）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成本；

（2）每吨平均出厂价为万元，年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利16润．

分析：将问题归结为“双勾函数”问题，利用“双勾函数”的性质，可使问题轻松获解．解：（1）由题意可知，每吨平均成本为万元．y

S x

=即，因为函数在区间上为减函400014000030(301010y x S x x x x

=

=+-=+-(0,200]数，在区间上为增函数．

[200,)+∞所以当时，函数有最小值为200x =4000140000

30()301010y x S x x x x

=

=+-=+-（万元），140000

(200301010200

S =

+-=最小所以当年产量为吨时，每吨的平均成本最低，最低成本为万元．

20010（2）设年获得总利润为万元，

Q 则，

221

1616304000(230)12901010

x Q x y x x x =-=-+-=-+当，

230(150,250)x =∈1290Q =最大故当年产量为吨时，可获得最大利润万元．

2301290评注：本题的关键是用年产量吨把每吨平均成本及利润表示出来，然后再求其最值，x 在求解最值时我们要用到“双勾函数”的单调性，记住这个结论可以简化计算过程．函数的单调性除一些理论上的应用外，它还可以灵活有效地解决现实生活中与之相关的实际问题．

例2甲、乙两地相距km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过km/h ，已知汽s c 车每小时的运输成本（以元为单位），由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度(km/h)v 的平方成正比，比例系数为，固定部分为元．

b a （1）把全程运输成本（元）表示为(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域．y v （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶．分析：要计算全程的运输成本()，而已知每小s bv v

a

bv a v s y )()(2+=+=

v <0≤c 时的运输成本，只需计算全程的时间，由题意不难得到全程运输成本

()，所要解决的问题是求何时取最小值，显

s bv v a bv a v s y )()(2+=+=v <0≤c bv v

a

+然要对的大小进行讨论，讨论的标准也就是与

的大小．c c b

a

解：（1）依题意知：汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为

，因此全程运输成本为s

v

，又据题意，故所求函数及其定义域分别为：s bv v

a

bv a v s y ⋅+=+⋅=

)()(2v <0≤c

，．

)(bv v a

s y +⋅=],0(c v ∈（2）设，

()()a

a

b u f v bv b v v v

==+=+∴在上是减函数，在上是增函数．u ],

0(b

a )+∞①若

，结合“双勾函数”的性质知，b

a

≤c 当时运输成本最小．b

a

v =

y ②若

，函数在上单调递减，所以当时，全程运输成本最小． 　c b

a

>],0(c c v =评注：解应用题时，首先要训练读题能力，成功地完成对数学文字语言、符号语言、图形语言的理解、接受和转换，继而对题中各元素的数量关系进行加工和提炼，分清主次，并建立数学模型解决实际问题．

例3（2006安徽高考）已知函数在R 上有定义，对任意实数和任意实数，()f x 0a >x 都有．

()()f ax af x =（Ⅰ）证明；

(0)0f =（Ⅱ）证明其中和均为常数；

0()0.kx x f x hx x ⎧=⎨<⎩

，≥，

，k h （Ⅲ）当（Ⅱ）中的，设，讨论在内0k >1

()()(0)()

g x f x x f x =

+>()g x (0)+∞，的单调性并求最值．

分析：承接第（Ⅱ）问的结论，将问题归结为“双勾函数”的单调性与函数最值的求解问题．

证明：（Ⅰ）令，则，∵，∴．0x =()()00f af =0a >()00f =（Ⅱ）①令，∵，∴，则．

x a =0a >0x >()()2f x xf x =假设时，R ），则，而，∴

0x ≥()f x kx =(k ∈()2

2

f x

kx

=()2

xf x x kx kx =⋅=，即成立．

()()2f x xf x =()f x kx =②令，∵，∴，x a =-0a >0x <(

)()

2

f x

xf x -=-假设时，则，而，

0x <()f x hx =()h R ∈()2

2

f x hx -=-()2

xf x x hx hx

-=-⋅=-

∴，即成立．∴成立．()

()2

f x

xf x -=-()f x hx =(),0

,0

kx x f x hx x ≥⎧=⎨<⎩（Ⅲ）当时， 0x >()()()2111

(k g x f x kx k x f x kx x

=

+=+=+由“双勾函数”性质知在上为减函数，在上为增函数，1(0,]k 1[,)k

+∞所以当时，．1

x k

=

min [()]2g x =评注：数学高考试题注重“考基础、考能力、考思想”．所以熟悉数学化归的思想，有意识地运用数学变换的方法去灵活解决有关的数学问题，将有利于强化在解决数学问题中的应变能力，有利于提高解决数学问题的思维能力和技能、技巧． 适当进行化归、转化能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口，是分析问题中思维过程的主要组成部分． 本题就是转化思想应用的一个典型，通过转化将本来抽象的问题归结到“双勾函数”区间最值的求解，让我们有一种豁然开朗的感觉．

例4（2001广东高考）设计一幅宣传画，要求画面面积为cm ，画面的宽与高的48402

比为，画面的上、下各留cm 空白，左、右各留cm 空白．怎样确定画面的高与(1)λλ<85宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求，那么为何值时，能使宣传23[,]34

λ∈λ画所用纸张面积最小?

分析：设定变元，寻找它们之间的内在联系(等量关系)，选用恰当的代数式表示问题x 中的这种联系，建立函数模型，将问题归结为“双勾函数”区间最值问题，并运用“双勾函数”性质进行求解．

解：设画面高为cm ，宽为cm ，则x x λ2

4840x λ=设纸张面积为cm ，则有

S 2

,

2(16)(10)(1610)160S x x x x λλλ=++=+++将代入上式得,

,

x

=5000S =+

，则，

(0)t

t =>5

8()5000)(0)S t t t t

=++>函数在上为减函数，在

上为增函数，S

)+∞所以当

时，取最小值，t =

S

此时，高：cm ，宽：cm ．55(1)88λ=

<88x =

=5

88558

x λ=⨯=

如果，则，23

[,]34λ∈)t ∈⊆+∞

所以函数在上为增函数，故当取最小值，此时．S t =

S 2

3

λ=评注：函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的

一种动态刻画． 要充分重视解题过程中的推理，注意运用推理来简化运算．充分利用题目给出的信息，抽象其数学特征，建立函数关系．很明显，只有在对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程中，具备有标新立异、独树一帜的深刻性、独创性思维，才能构造出函数原型，达到解决问题的目的．

在高考中可以利用“双勾函数”考查均值不等式、函数的单调性、函数最值等问题，其应用相当广泛，应用效果相当明显．因此也是高考中的热点和难点，倍受命题者的青睐．但只要我们能熟知“双勾函数”的性质，便不难使此类问题获解．