2023年全国硕士研究生招生考试《数学三》真题试卷【完整版】(文末含...

一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1．已知函数f（x，y）＝ln（y＋|xsiny|），则（　　）。

A．不存在，存在

B．存在，不存在

C．，均存在

D．，均不存在

2．函数的原函数为（　　）。

A．

B．

C．

D．

3．已知微分方程式y′′＋ay′＋by＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（　　）。

A．a＜0，b＞0

B．a＞0，b＞0

C．a＝0，b＞0

D．a＝0，b＜0

4．已知an＜bn（n＝1，2，...），若级数与均收敛，则“级数绝对收敛”是“绝对收敛”的（　　）。

A．充分必要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

5．设A，B为n阶可逆矩阵，E为n阶单位矩阵，M*为矩阵M的伴随矩阵，则＝（　　）。

A．

B．

C．

D．

6．二次型f（x1，x2，x3）＝（x1＋x2）2＋（x1＋x3）2－4（x2－x3）2的规范形为（　　）。

A．y12＋y22

B．y12－y22

C．y12＋y22－4y32

D．y12＋y22－y32

7．已知向量，若γ既可由α1，α2线性表示，也可由与β1，β2线性表示，则γ＝（　　）。

A．

B．

C．

D．

8．设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则E（|X－EX|）＝（　　）。

A．1/e

B．1/2

C．2/e

D．1

9．设X1，X2，...，Xn为来自总体N（μ1，σ2）的简单随机样本，Y1，Y2，...，Yn为来自总体N（μ2，2σ2）的简单随机样本，且两样本相互，记，，则（　　）。

A．

B．

C．

D．

10．设X1，X2为来自总体N（μ，σ2）的简单随机样本，其中σ（σ＞0）是未知参数，记σ＝a|x1－x2|，若E（σ）＝σ，则a＝（　　）。

A．

B．

C．

D．

二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分。请将答案写在答题纸指定位置上。

11. ＝        .

13．＝        .

14．设某公司在t时刻的资产为f（t），从0时刻到t时刻的平均资产等于f（t）/t－t.假设f（t）连续且f（0）＝0，则f（t）＝        .

15．已知线性方程组有解，其中a，b为常数，若，则＝        .

16．设随机变量X与Y相互，且X～B（1，p），Y～B（2，p），p∈（0，1），则X＋Y与X－Y的相关系数为        .

三、解答题：17～22小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本题满分10分）已知可导函数y＝y（x）满足aex＋y2＋y－ln（1＋x）cosy＋b＝0，且y（0）＝0，y′（0）＝0

（1）求a，b的值.

（2）判断x＝0是否为y（x）的极值点.

18．（本题满分12分）

已知平面区域

（1）求D的面积.

（2）求D绕x轴旋转所成旋转体的体积.

19．（本题满分12分）

已知平面区域D＝{（x，y）|（x－1）2＋y2≤1}，计算二重积分.

20．（本题满分12分）

设函数f（x）在[－a，a]上具有2阶连续倒数，证明：

（1）若f（x）＝0，则存在ξ∈（－a，a）使得；

（2）若f（x）在（－a，a）内取得极值，则存在η∈（－a，a），使得.

21．（本题满分12分）

设矩阵A满足对任意x1，x2，x3均有.

（1）求A。

（2）求可逆转矩阵P与对角矩阵Λ使得P－1AP＝Λ。

答案及解析

一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1．【答案】A

【解析】f（0，1）＝0，由偏导数的定义

，

因为，，所以不存在，

，所以存在.

2．【答案】D

【解析】当x≤0时，

当x＞0时，

原函数在（－∞，＋∞）内连续，则在x＝0处

，

所以C1＝1＋C2，令C2＝C，则C1＝1＋C，故

，

综合选项，令C＝0，则f（x）的一个原函数为.

3．【答案】C

【解析】微分方程y′′＋ay′＋by＝0的特征方程为λ2＋aλ＋b＝0，

当Δ＝a2－4b＞0时，特征方程有两个不同的实根λ1，λ2，则λ1，λ2至少有一个不等于零，

若C1，C2都不为零，则微分方程的解在（－∞，＋∞）无界；

当Δ＝a2－4b＝0时，特征方程有两个相同的实根λ1，2＝－a/2，

若C2≠0，则微分方程的解在（－∞，＋∞）无界；

当Δ＝a2－4b＜0时，特征方程的根为，

则通解为，

此时，要使微分方程的解在（－∞，＋∞）有界，则a＝0，再由Δ＝a2－4b＜0，知b＞0.

4．【答案】A

【解析】由条件知为收敛的正项级数，进而绝对收敛；

设绝对收敛，则由|bn|＝|bn－an＋an|≤| bn－an |＋| an |与比较判别法，得绝对收敛；

设绝对收敛，则由|an|＝|an－bn＋bn|≤| bn－an |＋| bn |与比较判别法，得绝对收敛.

5．【答案】B

【解析】结合伴随矩阵的核心公式，代入（B）计算知

故（B）正确.

6．【答案】B

【解析】由已知f（x1，x2，x3）＝2x12－3x22－3x32＋2x1x2＋2x1x3＋8x2x3，

则其对应的矩阵

由，得A的特征值为3，－7，0

故选（B）.

7．【答案】D

【解析】设r＝x1α1＋x2α2＝y1β1＋y2β2则x1α1＋x2α2－y1β1－y2β2＝0

又

故（x1，x2，y1，y2）T＝c（－3，1，－1，1）T，c∈R

所以r＝－cβ1＋cβ2＝c（－1，－5，－8）T＝－c（1，5，8）T＝k（1，5，8）T，k∈R

8．【答案】C

【解析】法1：由题可知EX＝1，所以，

故

选（C）

法2：随机变量X服从参数为1泊松分布，即期望E（X）＝1，

选（C）.

9．【答案】D

【解析】X1，X2，...，Xn的样本方差

Y1．Y2，...，Yn的样本方差

则，两个样本相互

所以，选D．

10．【答案】A

【解析】由题可知X1－X2～N（0，2σ2）.令Y＝X1－X2，则Y的概率密度为

，

.由E（σ）＝σ，得.故选（A）.

二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分。请将答案写在答题纸指定位置上。

11.【答案】2/3

【解析】

12．【答案】π/3

【解析】由题意可得，则

，

又因为，可得c′（y）＝c，由f（1，1）＝π/4可得c＝π/2，

即，故.

13．＝        .

【答案】

【解析】令，.

即有s′′（x）－s（x）＝0，解得s（x）＝C1ex＋C2e－x.

又由s（0）＝1，s′（0）＝0有C1＋C2＝1，C1－C2＝0，解得C1＝C2＝1/2.

故.

14．【答案】2et－2t－2

【解析】由题意可得方程，即.两边同时对t求导得

f（t）＝f′（t）－2t，即f′（t）－f（t）＝2t.由一阶线性微分方程通解公式有：

又由于f（0）＝0，则C－2＝0，即C＝2.故f（t）＝2et－2t－2.

15．【答案】8

【解析】由已知r（A）＝r（A，b）≤3＜4，故|A，b|＝0

即

故.

16．【答案】－1/3

【解析】因为X～B（1，p），所以DX＝p（1－p）.

因为Y～B（2，p），所以DY＝2p（1－p）.

Cov（X＋Y，X－Y）＝Cov（X＋Y，X）－Cov（X＋Y，Y）

 ＝Cov（X，X）＋Cov（Y，X）－Cov（X，Y）－Cov（Y，Y）

 ＝DX－DY＝p（1－p）－2p（1－p）＝－p（1－p）

因为X与Y相互，所以

D（X＋Y）＝DX＋DY＝3p（1－p），D（X－Y）＝DX＋DY＝3p（1－p）

故.

三、解答题：17～22小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本题满分10分）已知可导函数y＝y（x）满足aex＋y2＋y－ln（1＋x）cosy＋b＝0，且y（0）＝0，y′（0）＝0

（1）求a，b的值.

（2）判断x＝0是否为y（x）的极值点.

【解析】（1）在题设方程两边同时对x求导得

①

将x＝0，y＝0代入题设方程得a＋b＝0；

将x＝0，y＝0，y′（0）＝0代入①式得a－1＝0

综上：a＝1，b＝－1.

（2）在等式①两边再对x求导得

②

将x＝0，y＝0，y′（0）＝0代入②式得y′′（0）＝－a－1＝－2.

由于y′（0）＝0，y′′（0）＝－2，故x＝0是y（x）的极大值点.

18．（本题满分12分）

已知平面区域

（1）求D的面积.

（2）求D绕x轴旋转所成旋转体的体积.

【解析】（1）面积

（2）旋转体体积为

19．（本题满分12分）

已知平面区域D＝{（x，y）|（x－1）2＋y2≤1}，计算二重积分.

【解析】本题目先利用奇偶对称性化简，再切割积分区域，把积分区域分为三块，分别采用极坐标进 行计算：

分别采用极坐标进行计算：

所以：

20．（本题满分12分）

设函数f（x）在[－a，a]上具有2阶连续倒数，证明：

（1）若f（x）＝0，则存在ξ∈（－a，a）使得；

（2）若f（x）在（－a，a）内取得极值，则存在η∈（－a，a），使得.

【解析】（1）证明：，η介于0与x之间，

则①

②

①＋②得：③

又f′′（x）在[η2，η1]上连续，则必有最大值M与最小值m，即m≤f′′（η1）≤M；m≤f′′（η2）≤M；

从而；

由介值定理得：存在ξ∈[η2，η1] ⊂（－a，a），有，代入③得：

f（a）＋f（－a）＝a2 f′′（ξ）即

（2）证明：设f（x）在x＝x0∈（－a，a）取极值，且f（x）在x＝x0可导，则f′（x0）＝0.

又，γ介于0与x之间，则

从而

又| f′′（x）|连续，设M＝max{| f′′（γ1）|，| f′′（γ2）|}，则

又x0∈（－a，a）则|f（a）－f（－a）|≤M（a2＋x02）≤2Ma2，则即存在η＝γ1或η＝γ2∈（－a，a），有.

21．（本题满分12分）

设矩阵A满足对任意x1，x2，x3均有.

（1）求A

（2）求可逆转矩阵P与对角矩阵A使得P－1AP＝Λ.

【解析】（1）因为对任意的x1，x2，x3均成立，所以

（2）

所以A的特征值为λ1＝－2，λ2＝2，λ3＝－1.

λ1＝－2时，，可得特征向量α1＝（0，－1，1）T；

λ2＝2时，，可得特征向量α2＝（4，3，1）T；

λ3＝－1时，，可得特征向量α3＝（1，0，－2）T；

令，.

（22）（本题满分12分）

设随机变量X的概率密度为，令Y＝ex.

（1）求X的分布函数

（2）求Y的概率密度

（3）Y的期望是否存在？

【解析】（1）

（2）【法1】分布函数法

FY（y）＝P{Y≤y}＝P{eX≤y}.

当y＜0时，FY（y）＝0；

当y≥0时，FY（y）＝P{X≤lny}＝F（lny）＝y/（1＋y）；

所以Y的概率密度为.

【法2】公式法

因为y＝ex在（－∞，＋∞）上单调且处处可导，当x∈（－∞，＋∞），y＞0，此时x＝lny，所以Y的概率密度为

（3），所以不存在.